Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

37. Границя функції в точці

Розглянемо функції f, g, h, графіки яких зображено на рисунку 37.1, і точку х0. Незважаючи на те що поведінка цих функцій у точці х0 істотно різниться, усі вони мають таку властивість: якщо значення аргументу обирати все ближче й ближче до числа х0, то відповідні значення функції все менше й менше відрізнятимуться від числа а.

Рис. 37.1

Іншими словами, якщо довільна послідовність значень аргументу, відмінних від х0, прямує до числа х0, то відповідна послідовність значень функції прямує до числа а.

У такому випадку число а називають границею функції в точці х0. Цей факт, наприклад, для функції y = f(x) записують так:

(використовують також і запис: f(х) а при х х0).

Наприклад, за допомогою рисунка 37.2 можна зробити висновок, що

Рис. 37.2

Рис. 37.3

Якщо звернутися до рисунка 37.3, то можна записати:

На рисунку 37.4 зображено графік функції Бачимо, що

Рис. 37.4

Рис. 37.5

Розглянемо функцію (рис. 37.5). Якщо послідовність значень аргументу х прямує до 0, то члени відповідної послідовності значень функції стають усе більшими й більшими і можуть стати як завгодно великими. Тому не існує числа, до якого прямують значення функції f за умови, що значення аргументу прямують до 0.

Отже, функція не має границі в точці х0 = 0.

Розглянемо функцію

При х > 0 отримуємо: f(х) = 1, при х < 0 отримуємо: f(х) = -1. Графік функції f зображено на рисунку 37.6.

Якщо значення аргументу х, де х ≠ 0, прямують до 0, то неможливо стверджувати, що значення функції f прямують до якогось певного числа. Справді, коли послідовність значень аргументу прямує до нуля і ці значення є від’ємними, то відповідна послідовність значень функції прямує до —1, а коли послідовність значень аргументу прямує до нуля і ці значення є додатними, то відповідна послідовність значень функції прямує до 1.

Рис. 37.6

Отже, функція у точці х0 = 0 не має границі.

Тепер, коли ви отримали уявлення про границю функції в точці, сформулюємо строге означення.

Розглянемо функцію f і точку х0, для якої існує послідовність відмінних від х0 значень аргументів, яка збігається до точки х0. Доцільно прийняти таке означення.

Означення. Число а називають границею функції f у точці х0, якщо для будь-якої збіжної до х0 послідовності x1, х2, …, хn, … значень аргументу функції f таких, що хn ≠ Х0 для всіх n ∈ ℕ, відповідна послідовність f(х1), f(x2), …, f(xn), … значень функції збігається до числа а.

Зверніть увагу на умову хn ≠ Х0 В означенні границі. Ця умова означає, що границя функції в точці х0 не залежить від значення f(х0), а також дозволяє функції мати границю в точці, у якій вона не визначена (прикладами є функції, графіки яких зображено на рисунку 37.1).

Також зазначимо, що збіжність послідовності (f(хn)) для будь-якої послідовності (хn) є істотною умовою. Якщо можна вказати хоча б одну послідовність (хn), де хn ≠ Х0

для якої відповідна послідовність (f(хn)) не буде збігатися до числа а, то це означатиме, що число а не є границею функції f у точці х0.

На рисунку 37.7 зображено графік деякої функції. Для точки х0 із області визначення не існує збіжної до х0 послідовності відмінних від х0 значень аргументів функції. Для таких функцій границю в точці х0 не означають.

Рис. 37.7

На рисунку 37.8 точка х0 є такою, що праворуч (ліворуч) від неї немає точок, які належать області визначення функції f.

Рис. 37.8

У кожному з випадків, зображених на цьому рисунку, для будь-якої послідовності (хn) аргументів функції f, де xn ≠ х0 для всіх n ∈ ℕ і відповідна послідовність (f(хn)) значень функції прямує до числа а. Це означає, що число а є границею функції f у точці х0.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть границю

Розв’язання. Розглянемо довільну послідовність (хn) значень аргументу функції таку, що і хn ≠ 10 для всіх n ∈ ℕ. Тоді відповідна послідовність (f(хn)) значень функції задається формулою

Скориставшись теоремами про арифметичні дії зі збіжними послідовностями та теоремою про границю кореня, отримуємо:

Оскільки послідовність (хn) вибрано довільно, то

ПРИКЛАД 2 Знайдіть границю функції у точці

Розв’язання. Розглянемо довільну послідовність (хn) таку, що для всіх n ∈ ℕ. Тоді відповідна послідовність (уn) значень функції задається формулою

Маємо:

Оскільки послідовність (хn) вибрано довільно, то отримуємо, що

ПРИКЛАД 3 Доведіть, що функція не має границі в точці х0 = 0.

Розв’язання. Розглянемо послідовність значень аргументу функції f, задану формулою загального члена

Очевидно, що і хn ≠ 0 для всіх n ∈ ℕ.

Послідовність відповідних значень функції задається формулою

Ця послідовність не має границі.

Ми навели приклад збіжної до нуля послідовності (хn), де хn ≠ 0 для всіх n ∈ ℕ, такої, що відповідна послідовність значень функції (f(хn)) не має границі. Отже, функція f не має границі в точці х0 = 0.

ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція f(х) = sin не має границі в точці х0 = 0.

Розв’язання. Розглянемо послідовності (аn) і (bn) значень аргументу функції f такі, що

Очевидно, що і аn ≠ 0, bn ≠ 0 для всіх n ∈ ℕ.

Оскільки для будь-якого n ∈ ℕ, то послідовність (f(аn)) є стаціонарною послідовністю: 1, 1, 1, … .

Оскільки для будь-якого n ∈ ℕ, то послідовність (f(bn)) є стаціонарною послідовністю: -1, -1, -1, … .

Маємо:

Ми навели приклад двох збіжних до нуля послідовностей, члени яких відмінні від нуля. Відповідні їм послідовності значень функції f мають різні границі. Отже, функція f не має границі в точці х0 = 0.

Графік функції f(x) = sin, побудований за допомогою комп’ютерної програми, зображено на рисунку 37.9.

Рис. 37.9

ПРИКЛАД 5 Знайдіть границю функції f(x) = xsin у точці хn = 0.

Розв’язання. Розглянемо довільну послідовність (хn) таку, що і хn ≠ 0 для всіх n ∈ ℕ. Маємо:

Оскільки то за теоремою про двох конвоїрів

Оскільки послідовність (хn) було вибрано довільно, то це означає, що Графік функції f(x) = xsin , побудований за допомогою комп’ютерної програми, зображено на рисунку 37.10.

Рис. 37.10

ВПРАВИ

37.1. Побудувавши графік функції f, укажіть (без обґрунтування), чи має функція f границю в точці х0:

37.2. Побудувавши графік функції f, укажіть (без обґрунтування), чи має функція f границю в точці х0:

37.3. Чи має функція, графік якої зображено на рис. 37.11, границю в точці х0?

Рис. 37.11

37.4. На рисунку 37.12 зображено графік функції y = f(x).

1) Чому дорівнює значення функції f у точці х0 = 1?

2) Чи існує границя функції f у точці х0= 1? У разі ствердної відповіді запишіть з використанням відповідної символіки, чому вона дорівнює.

3) Чи існує границя функції f у точці х0 = 2? У разі ствердної відповіді запишіть з використанням відповідної символіки, чому вона дорівнює.

Рис. 37.12

37.5. За допомогою означення знайдіть границю функції в точці:

37.6. За допомогою означення знайдіть границю функції в точці:

37.7. Визначена на R. функція f є такою, що для кожного х0∈ ℝ. Чи можна стверджувати, що f(х) = 0 для кож ного х ∈ ℝ?

37.8. Доведіть, що де с — деяке число.

37.9. Доведіть, що

37.10. Наведіть приклад такої функції f, що:

37.11. Наведіть приклад такої функції f, що:

37.12. Знайдіть:

37.13. Знайдіть:

37.14. Доведіть, що функція не має границі в точці х0 = 2.

37.15. Доведіть, що функція не має границі в точці х0 = -1.

37.16. Доведіть, що функція f(х) = не має границі в точці х0 = 0.

37.17. Доведіть, що функція f(х) = cos не має границі в точці х0 = 0.

37.18. Доведіть, що функція Діріхле не має границі в жодній точці.

37.19. Доведіть, що

37.20. Доведіть, що де — функція Діріхле.

37.21. Функція f є такою, що D(f) = ℚ і (x) = 1 для будь-якого х ∈ ℚ. Чи має функція f границю в точці:

1) х0 = 0; 2) х0 = ?

37.22. Функція f визначена на ℝ і Знайдіть границю

37.23. Функція f визначена на ℝ і Знайдіть границю

37.24. Чи існує функція f така, що D(f) = ℝ і функціяf не має границі в жодній точці х0 ∈ ℝ, але при цьому функція у = sin f(х) має границю в кожній точці х0 ∈ ℝ?

37.25. Відомо, що функція у = | (х) | має границю в кожній точці х0 ∈ ℝ. Чи можна стверджувати, що функція y = f(x) має границю хоча б в одній точці х0 ∈ ℝ?

37.26. Чи існує така функція f, що f(х) > 0 для всіх х ∈ D(f) і для всіх р ∈ ℕ справджується рівність

37.27. Про визначену на ℝ функцію f відомо, що для довільного x ∈ ℝ послідовність (уn), де прямує до нуля. Чи обов’язково





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити