Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

Означення границі функції в точці за Коші

Означення, наведене в п. 37, називають означенням границі функції в точці за Гейне1. Проте можна ввести поняття границі функції в точці іншим способом, не використовуючи границю послідовності.

На рисунку 37.13 зображено графік функції f і на осях абсцис та ординат позначено відповідно точки х0 і а, де Зазначимо, що f(х0) ≠ а.

Рис. 37.13

Нехай є — деяке додатне число. На осі ординат розглянемо інтервал (а - ε; а + ε). На осі абсцис йому відповідає такий інтервал І, який містить точку х0, що для будь-якого х ∈ I⋂ D(f), x ≠ x0, відповідні значення функції f належать проміжку (а - ε; а + ε), тобто виконуються нерівності а - ε < f(х) < а + ε. Іншими словами, для будь-якого х є І ⋂ D(f), х ≠х0, виконується нерівність | f(х) - а | < ε.

Звузимо проміжок на осі ординат, тобто розглянемо інтервал (а - εх; а + ε1), де 0 < ε1 < ε. Тоді для числа можна вказати такий інтервал I1 осі абсцис, який містить точку х0, що для будь-якого Х ∈ I1 ⋂ D(f), х ≠ х0, виконується нерівність | f(х) - а | < ε1 (рис. 37.13).

1 Гейне, Генріх Едуард (1821-1881) — німецький математик, член-кореспондент Прусської і Ґеттингенської академій наук. Основні його здобутки — у галузі теорії функцій, математичної фізики.

На рисунку 37.14 зображено графік такої функції f, що х0∉ D(f). Рисунок 37.15 відповідає функції f, для якої f(х0) = а.

Рис. 37.14

Рис. 37.15

У кожному з випадків, зображених на рисунках 37.13-37.15, для будь-якого ε > 0 можна вказати такий інтервал I, який містить точку х0, що для всіх х ∈ I ⋂ D(f) і х ≠ х0виконується нерівність | f(х) - а | < ε.

Наведені міркування дозволяють дати таке означення границі функції f у точці х0.

Означення. Число а називають границею функції f у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є існує такий інтервал І, який містить точку х0, що для будь-якого х ∈ I ⋂ D(f) і х ≠ х0 виконується нерівність | f(х) - а | < ε.

У цьому означенні розглядають такі функції f і точки х0, що для будь-якого інтервалу I, який містить точку х0, множина (f ⋂ D(f)) \ {х0} не є порожньою. Наприклад, для функції, графік якої зображено на рисунку 37.7, границю в точці х0 не означають.

Якщо інтервал І містить точку х0, то існує таке додатне число 5, що проміжок (х0 - δ; х0 + δ) належить І (рис. 37.16).

Тоді, якщо точка х0 належить інтервалу І, то цей інтервал містить множину, яка є розв’язком подвійної нерівності 0 < | х - х0| < δ, де δ — деяке додатне число.

Тепер наведене означення границі функції f у точці можна переформулювати так.

Рис. 37.16

Означення (Коші). Число а називають границею функції f у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є існує таке додатне число δ, що для всіх х ∈ D(f) з нерівностей 0 < |х - х0| < δ випливає нерівність | f(x) - а | < ε.

Рисунок 37.17 ілюструє це означення.

Рис. 37.17

ПРИКЛАД 1 За допомогою означення Коші границі функції в точці доведіть, що

Розв’язання. Для кожного додатного числа є розглянемо нерівність | (2х + 3) - 5 | < ε. Перетворивши її, запишемо: | х - 1| < .

Отримана нерівність підказує, яким чином для даного ε > 0 можна знайти потрібне число δ > 0.

Нехай δ = . Тоді з умови 0 < | х - 1 | < δ = випливає, що | 2х - 2 | < ε. Звідси | (2х + 3) - 5 | < ε. Сказане означає, що число а = 5 є границею функції у = 2х + 3 в точці х0 = 1.

ПРИКЛАД 2 Використовуючи означення Коші границі функції в точці, доведіть, що функція не має границі в точці х0 = 0.

Розв’язання. Припустимо, що границя функції f у точці х0 = 0 існує і дорівнює а. Покажемо, що, наприклад, для ε = 1 неможливо підібрати таке δ > 0, щоб з нерівностей 0 < | х - 0 | < δ випливала нерівність

Якщо 0 < х < δ, то нерівність набуває вигляду | 1 - а | < 1. Звідси 0 < а < 2.

Якщо -δ < х < 0, то нерівність набуває вигляду | -1 - а | < 1. Звідси -2 < а < 0.

Оскільки не існує значень а, які б задовольняли кожну з нерівностей 0 < а < 2 і -2 < а < 0, то функція f у точці х0 = 0 не має границі.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити