Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

38. Теореми про арифметичні дії з границями функцій у точці

Вивчаючи границю функції у точці, будемо використовувати такі поняття.

Означення. Проміжок виду (х0 - δ; х0 + δ), де δ > 0, називають δ-околом точки х0.

Означення. Множину виду (х0 - δ; х0) U (х0; х0 + δ), де δ > 0, називають проколотим δ-околом точки х0.

Поняття 8-околу та проколотого δ-околу точки х0 проілюстровано на рисунках 38.1 38.2 відповідно.

Рис. 38.1

Рис. 38.2

У попередньому пункті ви навчилися обчислювати границю функції в точці за допомогою означення. Полегшити процес пошуку границі дають змогу теореми про границю суми, добутку й частки двох функцій.

У теоремах 38.1-38.3 будемо розглядати функції, що визначені в одних і тих самих точках деякого проколотого δ-околу точки х0.

Теорема 38.1 (границя суми). Якщо функції f i g мають границю в точці х0, то функція у = f(x) + g (х) також має границю в точці х0, причому

Доведення. Позначимо

Нехай (хn) — довільна збіжна до х0 послідовність значень аргументу функцій f і g, де xn ≠ х0 для всіх n ∈ ℕ. Тоді відповідні послідовності (f(хn)) і (g(xn)) значень функцій є збіжними до чисел а і b відповідно. За теоремою 34.1 послідовність (f(xn) + g(xn)) також є збіжною, при чому

Оскільки послідовність (хn) було вибрано довільно, то це означає, що

Розглянемо функції

Кожна із цих функцій має границю в точці х0 = 0. Проте функція у = f(x) + g(x) визначена лише в точці х0 = 0 і тому не має границі в цій точці. Цей приклад показує важливість вимоги того, що функції f i g мають бути визначені в одних і тих самих точках деякого проколотого δ-околу точки х0.

Теорема 38.1 залишається справедливою для будь-якої скінченної кількості доданків. Цей факт можна довести за допомогою методу математичної індукції.

Теорема 38.2 (границя добутку). Якщо функції f і g мають границю в точці х0, то функція у = f(x) g(x) також має границю в точці х0, причому

Скориставшись ідеєю доведення теореми 38.1, доведіть цю теорему самостійно.

Теорема 38.2 залишається справедливою для будь-якої скінченної кількості множників.

Наслідок. Якщо функція f має границю в точці х0 і k — довільна стала, то функція у = kf(x) також має границю в точці х0, причому

Справедливість наслідку випливає з теореми про границю добутку.

Теорема 38.3 (границя частки). Якщо функції f і g мають границю в точці х0, причому границя функції g відмінна від нуля, то функція також має границю в точці х0, при чому

Скориставшись ідеєю доведення теореми 38.1, доведіть цю теорему самостійно.

Зазначимо, що теореми про арифметичні дії з границями функцій у точці є аналогами відповідних теорем для збіжних послідовностей. Така відповідність не обмежується лише теоремами 38.1-38.3. Прочитавши умови вправ 38.11-38.14, ви впізнаєте аналоги інших властивостей збіжних послідовностей.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що

Розв’язання. З ключової задачі 37.9 випливає, що

Тоді, якщо функцію у = х2 подати у вигляді у = х ∙ х, то можна застосувати теорему про границю добутку. Маємо:

ПРИКЛАД 2 Знайдіть

Розв’язання. Оскільки то не можна застосувати теорему про границю частки до функції

Перетворимо вираз

Маємо:

де х ≠ 2 і Х ≠ -2.

Розглянемо функцію g(x) = .

Оскільки f(x) = g(x) при всіх х ≠ 2, то

Використовуючи теореми про арифметичні дії з границями функцій, отримуємо:

ПРИКЛАД : Знайдіть

Розв’язання. Розглянемо функцію g(x) = х2 - 2х. Оскільки в будь-якому проколотому δ-околі точки х0 = функції f i g збігаються (рис. 38.3), то

Тому достатньо знайти

Використовуючи теореми про арифметичні дії з границями функцій, запишемо:

Рис. 38.3

ВПРАВИ

38.1. Знайдіть:

38.2. Знайдіть:

38.3. Знайдіть:

38.4. Знайдіть:

38.5. Обчисліть границю:

38.6. Обчисліть границю:

38.7. Нехай Знайдіть границю функції y = (f(x) + 1)2 у точці х0 = 0.

38.8. Нехай Знайдіть границю функції у точці х0 = 3.

38.9. Знайдіть

38.10. Знайдіть

38.11. Про функцію f відомо, що Доведіть, що а = b.

38.12. Доведіть, що число а є границею функції bу точці х0 тоді й тільки тоді, коли функцію b можна подати у вигляді f(x) = а + β(х), де β — така функція, що

38.13. Функції f i g такі, що f(x) ≤ g(x) для всіх х ∈ ℝ, причому існують границі Доведіть, що а ≤ b.

38.14. Функції f, g і h такі, що f(х) ≤ g(x) ≤ h(х) для всіх х ∈ ℝ, причому існують границі Доведіть, що функція g також має границю в точці х0, причому

38.15. Наведіть приклад такої функції f, щоб мала місце рівність:

38.16. Наведіть приклад такої функції f, щоб мала місце рівність:

38.17. Знайдіть де m і n — непарні натуральні числа.

38.18. Знайдіть де m і n — натуральні числа.

38.19. Функції f і g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = f(x) + g(x) мати границю в точці х0, якщо:

1) функція f має границю в точці х0, а функція g не має границі в точці х0;

2) функції f і g не мають границь у точці х0?

38.20. Функції f i g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = = f(x) g(x) мати границю в точці х0, якщо:

1) функція f має границю в точці х0, а функція g не має границі в точці х0;

2) функції f і g не мають границі в точці х0?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити