Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

39. Неперервність функції в точці

На рисунку 39.1 зображено графіки функцій f i g, які визначені в точці х0. Проте поведінка цих функцій у точці х0 істотно різниться. Графік функції g, на відміну від графіка функції f, у точці х0 має розрив. Таку відмінність поведінки функцій f і g у точці х0 можна охарактеризувати за допомогою границі.

Рис. 39.1

Означення Функцію f називають неперервною в точці х0, якщо для будь-якої збіжної до х0 послідовності x1, х2, ..., хn, ... значень аргументу функції f відповідна послідовність f(х1), f(х2), ..., f(xn), ... значень функції збігається до числа f(х0).

Так, якщо для функції f (рис. 39.1, а) вибрати довільну збіжну до х0 послідовність х1, х2, ..., хn, ... значень аргументу функції, то відповідна послідовність f(х1), f(х2), ..., f(xn), ... значень функції збігається до числа f(х0). Таким чином, функція f є неперервною в точці х0.

Разом з тим функція g (рис. 39.1, б) не є неперервною в точці х0. Справді, якщо вибрати збіжну до х0 послідовність х1, х2, ..., хn, ... значень аргументу функції таку, що хn ≠ х0при всіх n ∈ ℕ, то відповідна послідовність g(х1), g(x2), ..., g(xn), ...значень функції збігається до числа а, яке не дорівнює g(х0).

Наведемо ще один приклад. Розглянемо функцію і точку х0∈ D (f). Оскільки для будь-якої збіжної до х0 послідовності (хn) аргументів функції f маємо

то функція f є неперервною в кожній точці x0 ∈ D(f), зокрема в точці х0 = 1.

Зауважимо, що в означенні неперервності функції в точці порівняно з означенням границі функції в точці знято обмеження xn ≠ х0 для всіх n ∈ ℕ. Отже, послідовність (хn) може містити будь-яку кількість членів, рівних х0, і навіть складатися лише із членів, рівних х0.

Наприклад, функція визначена лише в точці х0 = 0.

Тому існує єдина послідовність (хn) значень аргументу функції g: x0, x0,x0, ... . Тоді всі члени послідовності (g(xn)) дорівнюють нулю, а тому

Це означає, що функція g є неперервною в точці х0 = 0.

Так само неперервною в точці х0 є функція, графік якої зображено на рисунку 39.2.

Рис. 39.2

Рис. 39.3

Зауважимо, що коли функція f не визначена в точці х0, то вона не є неперервною в цій точці. Наприклад, функція не є неперервною в точці х0 = 0 (рис. 39.3).

Неперервність функції в точці можна також установити, використовуючи поняття границі функції в точці.

Теорема 39.1. Нехай функція f визначена хоча б на одному з проміжків (х0 - δ; х0] або [х0; х0 + δ), де δ > 0. Тоді функція f неперервна в точці х0 тоді й тільки тоді, коли

Доведіть цю теорему самостійно.

Наприклад, для функції f(x) = х2 + х можна записати:

Тому функція f неперервна в будь-якій точці х0∈ ℝ.

Якщо функція f визначена хоча б на одному з проміжків (х0 -δ;х0] або [х00 +δ), де δ > 0, то з теореми 39.1 випливає, що умову неперервності функції в цій точці можна виразити рівністю

Вище ми з’ясували, що функція g, графік якої зображено на рисунку 39.1, б), не є неперервною в точці х0. Говорять, що точка х0 є точкою розриву функції g. Наприклад, кожна точка виду x = k, k ∈ ℤ, є точкою розриву функції у = {х} (рис. 39.4).

Ефективним методом для доведення неперервності функції в точці є використання такої теореми.

Рис. 39.4

Теорема 39.2 (про арифметичні дії з неперервними функціями). Якщо функції y = f(x) і y = g(x) неперервні в точці х0, то в цій точці неперервними є і функції у = f(x) + g (х),

y = f(x) g(x) і y = (остання за умови, що g(x0) ≠ 0).

Доведення теореми проведемо лише для функції у = f(x) + g(х) (для інших функцій доведіть теорему самостійно). Розглянемо довільну збіжну до х0 послідовність (хn) аргументів функції у = f(x) + g(x). Оскільки функції f і g є неперервними в точці х0, то

Використовуючи теорему про границю суми збіжних послідовностей, маємо, що

Це означає, що функція у = f(x) + g(x) є неперервною в точці х0.

Фактично теорема 39.2 складається з трьох теорем, які називають теоремами про неперервність суми, неперервність добутку та неперервність частки.

Використовуючи теорему про арифметичні дії з неперервними функціями, маємо, що кожна з функцій у = f(х) і у = , де f(х), g(x) — многочлени, є неперервною в кожній точці області визначення.

Якщо функція f є неперервною в кожній точці деякої множини М ⊂ ℝ, то говорять, що вона неперервна на множині М.

Якщо функція f є неперервною на множині D(f), то таку функцію називають неперервною. Наприклад, функція у = є неперервною на кожному з проміжків (-∞;0) і (0;+∞). Тому у = неперервна функція. Узагалі, кожна раціональна функція1 є неперервною. Функція, графік якої зображено на рисунку 39.2, також є неперервною.

Доведемо, що функція у = sin х є неперервною.

Лема 39.1. Для будь-якого X ∈ ℝ виконується нерівність | sin x | ≤ | x |.

Доведення. Якщо х = 0 або |х| ≥ 1, то нерівність, яка доводиться, є очевидною.

Нехай х ∈ (0; 1). На рисунку 39.5 точку Рх отримано в результаті повороту точки Р0(1; 0) навколо початку координат на кут х радіан. Оскільки х ∈ (0; 1), то 0 < х < .

Тому точка Рх знаходиться в першій чверті.

Площа трикутника РxОР0 менша від площі сектора РxОР0 (рис. 39.5). Маємо:

Тоді sin x < x.

Отримуємо: sin х < х.

Нехай х ∈ (-1; 0). Тоді -х ∈ (0; 1). Можна записати: sin (-х) < -х. Звідси sin х > х.

Отже, якщо х є (0; 1), то 0 < sin х < х. Тому | sin х | < | х |;

якщо х ∈ (-1; 0), то 0 > sin х > х. Тому | sin х | < | х |.

Рис. 39.5

Лема 39.2. Для будь-яких х ∈ ℝ. і х0∈ ℝ. виконується нерівність | sin x - sin х0| ≤ | х - х0|.

Доведення. Маємо:

З леми 39.1 випливає, що

Тому можна записати:

1 Функцію виду y = , де f (х) і g (х) — многочлени, називають раціональною.

Теорема 39.3. Функція у = sin х неперервна на ℝ.

Доведення. Установимо неперервність функції у = sin х у кожній точці х0∈ ℝ. Нехай (хn) — довільна послідовність така, що Тоді

Згідно з лемою 39.2

За теоремою про двох конвоїрів отримуємо:

Звідси

Оскільки послідовність (хn) вибрано довільно, то це означає, що функція у = sin х є неперервною.

Теорема 39.4. Функція у = cos х неперервна на ℝ.

Скориставшись рівністю

Та ідеєю доведення теореми 39.3, доведіть цю теорему самостійно.

Оскільки функції у = sin x і у = cos х неперервні, то з теореми про неперервність частки випливає, що функції у = tg х і у = ctg х також є неперервними.

Ви знаєте, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Вони є рівними фігурами, а отже, мають багато однакових геометричних властивостей. Має місце таке твердження: якщо оборотна функція f визначена на деякому проміжку та є неперервною, то обернена до неї функція g також буде неперервною1.

Як було встановлено вище, функція у = х2 є неперервною. Тоді й оборотна функція f(х) = х2, D(f) = [0; +∞), є неперервною. Отже, обернена до неї функція g(x) = також є неперервною.

Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що функція n ∈ ℕ, n > 1, є неперервною. Так само встановлюємо, що неперервними є і функції у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х і у = arcctg х.

Теорема 39.5 (про неперервність складеної функції). Якщо функція t = g(x) неперервна в точці х0, а функція y = f(t) неперервна в точці t0, де t0 = g(x0), то складена функція у = f(g(x)) є неперервною в точці х0.

1 Доведення цього факту виходить за межі навчальної програми. Задача 39.34 показує суттєвість того, що областю визначення функції f є деякий проміжок.

Доведення. Нехай (хn) — довільна послідовність значень аргументу функції y = f(g(x)) така, що

Позначимо tn = g(xn) і yn = f(tn) = f(g(xn).

Оскільки функція g є неперервною в точці х0, то послідовність (g(xn)), тобто послідовність (tn), збігається до числа t0 = g(x0). Оскільки функція f є неперервною в точці t0 і послідовність (tn) збігається до числа t0, то послідовність (f(tn)), тобто послідовність (уn), збігається до числа f(t0) = f(g(x0)).

Отже, ми показали, що для будь-якої збіжної до х0 послідовності (хn) значень аргументу функції у = f(g(x)) відповідна послідовність (уn) значень функції збігається до числа f(g(xn)). Тому функція У = f(g(x)) є неперервною в точці х0.

Наприклад, функція t = 2х - 1 неперервна в точці хn = 5, функція у = неперервна в точці t0 = 2 - 5 - 1 = 9. Тоді складена функція у = є неперервною в точці х0 = 5. Міркуючи аналогічно, можна показати, що складена функція y = є неперервною в кожній точці своєї області визначення.

Ще приклади. Функції у = sin х і у = 5х є неперервними. Тоді складена функція у = sin 5х також неперервна.

Кожна з функцій у = і у = х2 є неперервною. Тоді складена функція тобто функція у = | х |, також є неперервною.

ПРИКЛАД 1 Обчисліть

Розв’язання. Оскільки функція є неперервною, то

Отже, застосувати теорему про границю частки не можна.

Перетворимо дріб, який стоїть під знаком границі:

Оскільки функція є неперервною, то можна записати:

Відповідь: 3.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 1.

Розв’язання. Розглянемо випадок, коли а2≠ 1. Тоді

Для того щоб функція f була неперервною в точці х0 = 1, потрібно, щоб f(1) = а2 + а = 0. Звідси а = 0 або а = -1. Умову а2≠ 1 задовольняє лише а = 0.

Якщо а2 = 1, то маємо:

Тоді значення а, які задовольняють умову, знайдемо із системи

Звідси а = 1.

Відповідь: а = 0 або а = 1.

ПРИКЛАД З Чи існує функція, яка визначена на ℝ і неперервна рівно в одній точці?

Розв’язання Покажемо, що функція

є неперервною лише в точці х0 = 0.

Нехай (хn) — довільна послідовність значень аргументу функції f така, що

Оскільки значення f(хn) дорівнює або 0 (якщо хn — ірраціональне число), або хn (якщо хn — раціональне число), то

Сказане означає, що функція f є неперервною в точці х0 = 0.

Покажемо, що в будь-якій точці х0, відмінній від 0, функція f(х) не є неперервною.

Нехай х0≠ 0 і х0∈ ℚ. Тоді f(х0) = х0≠ 0. Розглянемо послідовність (хn), яка складається тільки з ірраціональних чисел, таку, що

Тоді всі члени послідовності (f(хn)) дорівнюють нулю, тобто

Отже, функція f не є неперервною в точці х0.

Нехай х0∈ ℝ \ ℚ. Тоді f(х0) = 0 ≠ Х0. Розглянемо послідовність (хn), яка складається тільки з раціональних чисел, таку, що

Тоді f(хn) = хn для всіх n ∈ ℕ.

Маємо:

Отже, функція f не є не перервною в точці х0.

ВПРАВИ

39.1. Обчисліть:

39.2. Обчисліть:

39.3. Доведіть неперервність функції:

39.4. Доведіть неперервність функції:

39.5. Обчисліть:

39.6. Обчисліть:

39.7. Чи є неперервною в точці х0 функція:

39.8. Чи є неперервною в точці х0 функція:

39.9. Обчисліть:

39.10. Обчисліть:

39.11. Обчисліть:

39.12. Обчисліть:

39.13. Доведіть, що функція Діріхле не є неперервною в жодній точці області визначення.

39.14. Про неперервну на ℝ. функцію f відомо, що Знайдіть значення f(0).

39.15. Про неперервну на ℝ. функцію f відомо, що Знайдіть значення f(1).

39.16. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 0.

39.17. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 0.

39.18. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 0.

39.19. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 2.

39.20. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х0 = 4.

39.21. Функції f і g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = f(х) + g(x) бути неперервною в точці х0, якщо:

1) функція f є неперервною в точці х0, а функція g не є неперервною в точці х0;

2) функції f і g не є неперервними в точці х0?

39.22. Функції f i g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = f(х) g(x) бути неперервною в точці х0, якщо:

1) функція f є неперервною в точці х0, а функція g не є неперервною в точці х0;

2) функції f і g не є неперервними в точці х0?

39.23. Доведіть, що рівняння sin х = х має єдиний корінь — число 0.

39.24. Доведіть, що функція f(х) = 1, D(f) = ℚ, є неперервною.

39.25. Знайдіть усі неперервні на ℝ функції такі, що f(х) = х2 для всіх х ∈ ℚ.

39.26. Про неперервні на Ж функції f i g відомо, що f(x) = g(x) для всіх х ∈ ℚ. Розв’яжіть рівняння f(x) = g(x).

39.27. Доведіть, що функція є неперервною рівно в одній точці х0 = 0.

39.28. Про визначену на Ж функцію f відомо, що вона не є неперервною в жодній точці. Чи може існувати границя

39.29. Доведіть, що функція є неперервною рівно в одній точці х0 = 0.

39.30. Наведіть приклад функції, яка визначена на ℝ і є неперервною рівно в двох точках.

39.31. Знайдіть усі неперервні в точці х0 = 0 функції f такі, що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

39.32. Наведіть приклад функції, яка визначена на ℝ, не є неперервною в жодній точці та задовольняє умову f(f(х)) = х.

39.33. Знайдіть усі неперервні в точці х0 = -1 функції f такі, що для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність f(х) = f(2х + 1).

39.34. Графіки функцій f і g є рівними фігурами. Функція f є неперервною. Чи обов’язково функція g є неперервною?

39.35. Функції f і g є неперервними на ℝ. Доведіть, що функції у = max {f(х); g(x)} і у = min {f(х); g(x)} також є неперервними на ℝ.

39.36. Знайдіть границю послідовності (хn), що задовольняє умову хn+1 = sin хn, n ∈ ℕ.

39.37. Знайдіть границю послідовності (хn), заданої формулою





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити