§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

39. Неперервність функції в точці

На рисунку 39.1 зображено графіки функцій f i g, які визначені в точці х₀. Проте поведінка цих функцій у точці х₀ істотно різниться. Графік функції g, на відміну від графіка функції f, у точці х₀ має розрив. Таку відмінність поведінки функцій f і g у точці х₀ можна охарактеризувати за допомогою границі.

Рис. 39.1

Означення Функцію f називають неперервною в точці х₀, якщо для будь-якої збіжної до х₀ послідовності x₁, х₂, ..., х_n, ... значень аргументу функції f відповідна послідовність f(х₁), f(х₂), ..., f(x_n), ... значень функції збігається до числа f(х₀).

Так, якщо для функції f (рис. 39.1, а) вибрати довільну збіжну до х₀ послідовність х_1, х₂, ..., х_n, ... значень аргументу функції, то відповідна послідовність f(х₁), f(х₂), ..., f(x_n), ... значень функції збігається до числа f(х₀). Таким чином, функція f є неперервною в точці х₀.

Разом з тим функція g (рис. 39.1, б) не є неперервною в точці х₀. Справді, якщо вибрати збіжну до х₀ послідовність х_1, х₂, ..., х_n, ... значень аргументу функції таку, що х_n ≠ х₀при всіх n ∈ ℕ, то відповідна послідовність g(х₁), g(x₂), ..., g(x_n), ...значень функції збігається до числа а, яке не дорівнює g(х₀).

Наведемо ще один приклад. Розглянемо функцію і точку х₀∈ D (f). Оскільки для будь-якої збіжної до х₀ послідовності (х_n) аргументів функції f маємо

то функція f є неперервною в кожній точці x₀ ∈ D(f), зокрема в точці х₀ = 1.

Зауважимо, що в означенні неперервності функції в точці порівняно з означенням границі функції в точці знято обмеження x_n ≠ х₀ для всіх n ∈ ℕ. Отже, послідовність (х_n) може містити будь-яку кількість членів, рівних х₀, і навіть складатися лише із членів, рівних х₀.

Наприклад, функція визначена лише в точці х₀ = 0.

Тому існує єдина послідовність (хn) значень аргументу функції g: x₀, x₀,x₀, ... . Тоді всі члени послідовності (g(x_n)) дорівнюють нулю, а тому

Це означає, що функція g є неперервною в точці х₀ = 0.

Так само неперервною в точці х₀ є функція, графік якої зображено на рисунку 39.2.

Рис. 39.2

Рис. 39.3

Зауважимо, що коли функція f не визначена в точці х₀, то вона не є неперервною в цій точці. Наприклад, функція не є неперервною в точці х₀ = 0 (рис. 39.3).

Неперервність функції в точці можна також установити, використовуючи поняття границі функції в точці.

Теорема 39.1. Нехай функція f визначена хоча б на одному з проміжків (х₀ - δ; х₀] або [х₀; х₀ + δ), де δ > 0. Тоді функція f неперервна в точці х₀ тоді й тільки тоді, коли

Доведіть цю теорему самостійно.

Наприклад, для функції f(x) = х² + х можна записати:

Тому функція f неперервна в будь-якій точці х₀∈ ℝ.

Якщо функція f визначена хоча б на одному з проміжків (х₀ -δ;х₀] або [х₀;х₀ +δ), де δ > 0, то з теореми 39.1 випливає, що умову неперервності функції в цій точці можна виразити рівністю

Вище ми з’ясували, що функція g, графік якої зображено на рисунку 39.1, б), не є неперервною в точці х₀. Говорять, що точка х₀ є точкою розриву функції g. Наприклад, кожна точка виду x = k, k ∈ ℤ, є точкою розриву функції у = {х} (рис. 39.4).

Ефективним методом для доведення неперервності функції в точці є використання такої теореми.

Рис. 39.4

Теорема 39.2 (про арифметичні дії з неперервними функціями). Якщо функції y = f(x) і y = g(x) неперервні в точці х₀, то в цій точці неперервними є і функції у = f(x) + g (х),

y = f(x) g(x) і y = (остання за умови, що g(x₀) ≠ 0).

Доведення теореми проведемо лише для функції у = f(x) + g(х) (для інших функцій доведіть теорему самостійно). Розглянемо довільну збіжну до х₀ послідовність (хn) аргументів функції у = f(x) + g(x). Оскільки функції f і g є неперервними в точці х₀, то

Використовуючи теорему про границю суми збіжних послідовностей, маємо, що

Це означає, що функція у = f(x) + g(x) є неперервною в точці х₀.

Фактично теорема 39.2 складається з трьох теорем, які називають теоремами про неперервність суми, неперервність добутку та неперервність частки.

Використовуючи теорему про арифметичні дії з неперервними функціями, маємо, що кожна з функцій у = f(х) і у = , де f(х), g(x) — многочлени, є неперервною в кожній точці області визначення.

Якщо функція f є неперервною в кожній точці деякої множини М ⊂ ℝ, то говорять, що вона неперервна на множині М.

Якщо функція f є неперервною на множині D(f), то таку функцію називають неперервною. Наприклад, функція у = є неперервною на кожному з проміжків (-∞;0) і (0;+∞). Тому у = неперервна функція. Узагалі, кожна раціональна функція¹ є неперервною. Функція, графік якої зображено на рисунку 39.2, також є неперервною.

Доведемо, що функція у = sin х є неперервною.

Лема 39.1. Для будь-якого X ∈ ℝ виконується нерівність | sin x | ≤ | x |.

Доведення. Якщо х = 0 або |х| ≥ 1, то нерівність, яка доводиться, є очевидною.

Нехай х ∈ (0; 1). На рисунку 39.5 точку Р_х отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) навколо початку координат на кут х радіан. Оскільки х ∈ (0; 1), то 0 < х < .

Тому точка Р_х знаходиться в першій чверті.

Площа трикутника Р_xОР₀ менша від площі сектора РxОР₀ (рис. 39.5). Маємо:

Тоді sin x < x.

Отримуємо: sin х < х.

Нехай х ∈ (-1; 0). Тоді -х ∈ (0; 1). Можна записати: sin (-х) < -х. Звідси sin х > х.

Отже, якщо х є (0; 1), то 0 < sin х < х. Тому | sin х | < | х |;

якщо х ∈ (-1; 0), то 0 > sin х > х. Тому | sin х | < | х |.

Рис. 39.5

Лема 39.2. Для будь-яких х ∈ ℝ. і х₀∈ ℝ. виконується нерівність | sin x - sin х₀| ≤ | х - х₀|.

Доведення. Маємо:

З леми 39.1 випливає, що

Тому можна записати:

¹ Функцію виду y = , де f (х) і g (х) — многочлени, називають раціональною.

Теорема 39.3. Функція у = sin х неперервна на ℝ.

Доведення. Установимо неперервність функції у = sin х у кожній точці х₀∈ ℝ. Нехай (х_n) — довільна послідовність така, що Тоді

Згідно з лемою 39.2

За теоремою про двох конвоїрів отримуємо:

Звідси

Оскільки послідовність (х_n) вибрано довільно, то це означає, що функція у = sin х є неперервною.

Теорема 39.4. Функція у = cos х неперервна на ℝ.

Скориставшись рівністю

Та ідеєю доведення теореми 39.3, доведіть цю теорему самостійно.

Оскільки функції у = sin x і у = cos х неперервні, то з теореми про неперервність частки випливає, що функції у = tg х і у = ctg х також є неперервними.

Ви знаєте, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Вони є рівними фігурами, а отже, мають багато однакових геометричних властивостей. Має місце таке твердження: якщо оборотна функція f визначена на деякому проміжку та є неперервною, то обернена до неї функція g також буде неперервною¹.

Як було встановлено вище, функція у = х² є неперервною. Тоді й оборотна функція f(х) = х², D(f) = [0; +∞), є неперервною. Отже, обернена до неї функція g(x) = також є неперервною.

Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що функція n ∈ ℕ, n > 1, є неперервною. Так само встановлюємо, що неперервними є і функції у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х і у = arcctg х.

Теорема 39.5 (про неперервність складеної функції). Якщо функція t = g(x) неперервна в точці х₀, а функція y = f(t) неперервна в точці t₀, де t₀ = g(x₀), то складена функція у = f(g(x)) є неперервною в точці х₀.

¹ Доведення цього факту виходить за межі навчальної програми. Задача 39.34 показує суттєвість того, що областю визначення функції f є деякий проміжок.

Доведення. Нехай (х_n) — довільна послідовність значень аргументу функції y = f(g(x)) така, що

Позначимо t_n = g(x_n) і y_n = f(t_n) = f(g(x_n).

Оскільки функція g є неперервною в точці х₀, то послідовність (g(x_n)), тобто послідовність (t_n), збігається до числа t₀ = g(x₀). Оскільки функція f є неперервною в точці t₀ і послідовність (t_n) збігається до числа t₀, то послідовність (f(t_n)), тобто послідовність (у_n), збігається до числа f(t₀) = f(g(x₀)).

Отже, ми показали, що для будь-якої збіжної до х₀ послідовності (х_n) значень аргументу функції у = f(g(x)) відповідна послідовність (у_n) значень функції збігається до числа f(g(x_n)). Тому функція У = f(g(x)) є неперервною в точці х₀.

Наприклад, функція t = 2х - 1 неперервна в точці х_n = 5, функція у = неперервна в точці t₀ = 2 - 5 - 1 = 9. Тоді складена функція у = є неперервною в точці х₀ = 5. Міркуючи аналогічно, можна показати, що складена функція y = є неперервною в кожній точці своєї області визначення.

Ще приклади. Функції у = sin х і у = 5х є неперервними. Тоді складена функція у = sin 5х також неперервна.

Кожна з функцій у = і у = х² є неперервною. Тоді складена функція тобто функція у = | х |, також є неперервною.

ПРИКЛАД 1 Обчисліть

Розв’язання. Оскільки функція є неперервною, то

Отже, застосувати теорему про границю частки не можна.

Перетворимо дріб, який стоїть під знаком границі:

Оскільки функція є неперервною, то можна записати:

Відповідь: 3.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 1.

Розв’язання. Розглянемо випадок, коли а²≠ 1. Тоді

Для того щоб функція f була неперервною в точці х₀ = 1, потрібно, щоб f(1) = а² + а = 0. Звідси а = 0 або а = -1. Умову а²≠ 1 задовольняє лише а = 0.

Якщо а² = 1, то маємо:

Тоді значення а, які задовольняють умову, знайдемо із системи

Звідси а = 1.

Відповідь: а = 0 або а = 1.

ПРИКЛАД З Чи існує функція, яка визначена на ℝ і неперервна рівно в одній точці?

Розв’язання Покажемо, що функція

є неперервною лише в точці х₀ = 0.

Нехай (х_n) — довільна послідовність значень аргументу функції f така, що

Оскільки значення f(х_n) дорівнює або 0 (якщо х_n — ірраціональне число), або х_n (якщо х_n — раціональне число), то

Сказане означає, що функція f є неперервною в точці х₀ = 0.

Покажемо, що в будь-якій точці х₀, відмінній від 0, функція f(х) не є неперервною.

Нехай х₀≠ 0 і х₀∈ ℚ. Тоді f(х₀) = х₀≠ 0. Розглянемо послідовність (хn), яка складається тільки з ірраціональних чисел, таку, що

Тоді всі члени послідовності (f(х_n)) дорівнюють нулю, тобто

Отже, функція f не є неперервною в точці х₀.

Нехай х₀∈ ℝ \ ℚ. Тоді f(х₀) = 0 ≠ Х₀. Розглянемо послідовність (хn), яка складається тільки з раціональних чисел, таку, що

Тоді f(х_n) = х_n для всіх n ∈ ℕ.

Маємо:

Отже, функція f не є не перервною в точці х₀.

ВПРАВИ

39.1. Обчисліть:

39.2. Обчисліть:

39.3. Доведіть неперервність функції:

39.4. Доведіть неперервність функції:

39.5. Обчисліть:

39.6. Обчисліть:

39.7. Чи є неперервною в точці х₀ функція:

39.8. Чи є неперервною в точці х₀ функція:

39.9. Обчисліть:

39.10. Обчисліть:

39.11. Обчисліть:

39.12. Обчисліть:

39.13. Доведіть, що функція Діріхле не є неперервною в жодній точці області визначення.

39.14. Про неперервну на ℝ. функцію f відомо, що Знайдіть значення f(0).

39.15. Про неперервну на ℝ. функцію f відомо, що Знайдіть значення f(1).

39.16. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 0.

39.17. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 0.

39.18. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 0.

39.19. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 2.

39.20. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція

є неперервною в точці х₀ = 4.

39.21. Функції f і g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = f(х) + g(x) бути неперервною в точці х₀, якщо:

1) функція f є неперервною в точці х₀, а функція g не є неперервною в точці х₀;

2) функції f і g не є неперервними в точці х₀?

39.22. Функції f i g визначені на ℝ. Чи може функція h (х) = f(х) g(x) бути неперервною в точці х₀, якщо:

1) функція f є неперервною в точці х₀, а функція g не є неперервною в точці х₀;

2) функції f і g не є неперервними в точці х₀?

39.23. Доведіть, що рівняння sin х = х має єдиний корінь — число 0.

39.24. Доведіть, що функція f(х) = 1, D(f) = ℚ, є неперервною.

39.25. Знайдіть усі неперервні на ℝ функції такі, що f(х) = х² для всіх х ∈ ℚ.

39.26. Про неперервні на Ж функції f i g відомо, що f(x) = g(x) для всіх х ∈ ℚ. Розв’яжіть рівняння f(x) = g(x).

39.27. Доведіть, що функція є неперервною рівно в одній точці х₀ = 0.

39.28. Про визначену на Ж функцію f відомо, що вона не є неперервною в жодній точці. Чи може існувати границя

39.29. Доведіть, що функція є неперервною рівно в одній точці х₀ = 0.

39.30. Наведіть приклад функції, яка визначена на ℝ і є неперервною рівно в двох точках.

39.31. Знайдіть усі неперервні в точці х₀ = 0 функції f такі, що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

39.32. Наведіть приклад функції, яка визначена на ℝ, не є неперервною в жодній точці та задовольняє умову f(f(х)) = х.

39.33. Знайдіть усі неперервні в точці х₀ = -1 функції f такі, що для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність f(х) = f(2х + 1).

39.34. Графіки функцій f і g є рівними фігурами. Функція f є неперервною. Чи обов’язково функція g є неперервною?

39.35. Функції f і g є неперервними на ℝ. Доведіть, що функції у = max {f(х); g(x)} і у = min {f(х); g(x)} також є неперервними на ℝ.

39.36. Знайдіть границю послідовності (х_n), що задовольняє умову х_n+1 = sin х_n, n ∈ ℕ.

39.37. Знайдіть границю послідовності (х_n), заданої формулою