§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

40. Деякі властивості неперервних функцій

Розглянемо низку властивостей неперервних функцій.

Теорема 40.1 (перша теорема Больцано—Коші). Якщо функція f є неперервною на відрізку [а; b] і на кінцях цього проміжку набуває значень різних знаків, то існує така точка с ∈ (а; b), що f(c) = 0.

Ця теорема є наочно очевидною. Справді, якщо точки А і В, які лежать у різних півплощинах відносно осі абсцис, сполучити неперервною кривою, то ця крива обов’язково перетне вісь абсцис (рис. 40.1).

З доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на с. 320, 321.

Рис. 40.1

Наслідок. Якщо функція неперервна і не має нулів на деякому проміжку І, то вона на цьому проміжку зберігає знак (рис. 40.2).

Доведення. Припустимо, що дана функція f на проміжку І не зберігає знак, тобто існують такі а ∈ I і b ∈ I, де а < b, що числа f(a) і f(b) мають різні знаки (рис. 40.1). Тоді за першою теоремою Больцано—Коші існує точка с ∈ (a; b) ⊂ І така, що f(с) = 0. Отримали суперечність.

Рис. 40.2

Огюстен Луї Коші (1789-1857)

Французький математик. Опублікував понад 800 робіт з арифметики, теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики; займався також дослідженнями з тригонометрії, теорії пружності, оптики, астрономії. Був членом Паризької академії наук, Лондонського королівського товариства та майже всіх академій наук світу.

Нагадаємо, що цей наслідок лежить в основі методу інтервалів для розв’язування нерівностей.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що рівняння х⁵ + 2х² - 11 = 0 має корінь.

Розв’язання. Розглянемо неперервну функцію f(х) = х⁵ + 2х² - 11. Маємо: f(0) = -11, f(2) = 29. Отже, за першою теоремою Больцано—Коші на інтервалі (0; 2) рівняння f(х) = 0 має корінь.

ПРИКЛАД 2 Неперервна функція f є такою, що D(f) = E(f) = [0; 1]. Доведіть, що рівняння f(х) = х має щонайменше один корінь.

Розв’язання. Розглянемо функцію g(x) = f(х) - х. Для розв’язання задачі достатньо показати, що функція g на відрізку [0; 1] має хоча б один нуль. Очевидно, що функція g(x) є неперервною на відрізку [0; 1].

Якщо g(0) = 0 або g(1) = 0, то твердження задачі доведене. Нехай g(0) ≠ 0 і g (1) ≠ 0. З урахуванням того, що E(f) = [0; 1], отримуємо: g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0 і g(1) = f(1) - 1 < 0. Тоді неперервна на відрізку [0; 1] функція g у точках х = 0 і х = 1 набуває значень різних знаків, а отже, існує така точка х₀∈ (0; 1), що g(x₀) = 0.

Теорема 40.2 (друга теорема Больцано—Коші про проміжне значення функції). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то вона набуває всіх значень між f(a) і f(b).

Доведення. Розглянемо випадок, коли f(a) < f(b) (випадок, коли f(а) > f(b), розгляньте самостійно).

Бернард Больцано (1781-1848)

Чеський математик, філософ і логік. Очолював кафедру історії релігії в Празькому університеті.

За життя надрукував, причому анонімно, лише п’ять невеликих математичних творів. Основну частину рукописної спадщини Больцано вчені досліджували вже після його смерті. Трактат «Учення про функції», написаний у 1830 р., побачив світ тільки через 100 років. У ньому Больцано, на багато років раніше від Вейєрштрасса та Коші, сформулював і довів низку положень математичного аналізу. У роботі «Парадокси нескінченності» Больцано опрацьовував питання потужності нескінченних множин; у роботі «Наукознавство» висунув ідеї, які передували математичній логіці.

Нехай С — довільне число з проміжку (f(а); f(b)), тобто f(а) < С < f(b). Доведемо, що існує точка х₀∈ (а; b), для якої f(х₀) = С. Тим самим буде показано, що функція f набуває значення С.

Розглянемо функцію g(x) = f(x) - С. Функція g є неперервною на відрізку [а; b].

Маємо: g(а) = f(а) - С < 0; g(b) = m - C > 0.

Отже, згідно з першою теоремою Больцано—Коші існує точка х₀ ∈ (а; b) така, що g(х₀) = 0, тобто f(х₀) - С = 0; f(х₀) = С.

Доведена теорема допомагає знаходити область значень неперервної функції.

Наслідок. Якщо областю визначення неперервної функції f є деякий проміжок,

Доведіть цей наслідок самостійно.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть область значень функції

Розв’язання. Маємо: для всіх х ∈ ℝ. Оскільки f(0) = 0, то

Застосувавши нерівність Коші, запишемо:

Оскільки f(1) = то

Функція f неперервна на ℝ. З наслідку з теореми 40.2 випливає, що

Функція f(х) = sin х є такою, що для будь-якого х ∈ D(f) виконується нерівність | sin x | ≤ 1. Функція g(x) = х² є такою, що для будь-якого х ∈ [-1; 2] виконується нерівність | g(x) | < 5. Говорять, що функція f обмежена на D(f), а функція g обмежена на відрізку [-1; 2].

Узагалі, функцію f називають обмеженою на множині ℝ, якщо існує таке число С > 0, що для всіх х ∈ М виконується нерівність | f(x) | ≤ С.

Функцію f, обмежену на D(f), називають обмеженою.

Наприклад, функція у = arctg х є обмеженою. Справді, для будь-якого х ∈ D(y) виконується нерівність | arctg х | < .

Функція у = ctg х не є обмеженою на проміжку (0; ). При цьому вона є обмеженою на будь-якому відрізку [а; b], який належить проміжку (0; ) (рис. 40.3).

Рис. 40.3

Рис. 40.4

Не будь-яка функція, визначена на відрізку [а; b], є обмеженою (рис. 40.4). Проте для неперервних функцій має місце така теорема.

Теорема 40.3 (перша теорема Вейерштрасса). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то вона є обмеженою на цьому проміжку.

З доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися нас. 321, 322.

Зауважимо, що для проміжків виду (а; b], [а; b), (а; b) твердження теореми не є справедливим. Так, функція у = є неперервною на будь-якому проміжку виду (0; а], проте вона не є обмеженою на цьому проміжку.

Не будь-яка функція, визначена та обмежена на відрізку [a; b], досягає на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень. Це ілюструє рисунок 40.5.

Рис. 40.5

Проте для неперервних функцій має місце така теорема.

Теорема 40.4 (друга теорема Вейєрштрасса). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то на цьому відрізку вона набуває своїх найбільшого і найменшого значень.

Ця теорема наочно очевидна. Якщо дві точки на координатній площині сполучити неперервною кривою, то на цій кривій знайдуться точки з найбільшою і найменшою ординатами (рис. 40.6). Доведення цієї теореми виходить за межі навчальної програми.

Рис. 40.6

Зазначимо, що коли в теоремі 40.4 відрізок [а; b] замінити проміжком іншого виду, наприклад інтервалом (а; b), то неперервна на цьому проміжку функція може не набувати своїх найбільшого і найменшого значень. Так, функція у = х, яка є неперервною на проміжку (0; 1), не досягає на ньому своїх найбільшого і найменшого значень.

ВПРАВИ

40.1. Доведіть, що рівняння має корінь:

1) х⁶ + 2х- 13 = 0;

2) 3 sin х = 2х - 1;

3) arctg³ х = 2 tg х - 1.

40.2. Доведіть, що рівняння має корінь:

1) х³ + 3х - 8 = 0;

2) 2 cos х = х² + 4х - 6;

3) х²arcsin х + 3х - 1 = 0.

40.3. Які з даних функцій є обмеженими:

40.4. Які з даних функцій є обмеженими:

40.5. Знайдіть область значень функції:

40.6. Знайдіть область значень функції:

1) у = sin х - 4; 2) у = 3 + cos х; 3) у = п - arccos х.

40.7. Знайдіть область значень функції:

40.8. Знайдіть область значень функції:

40.9. Знайдіть область значень функції у = sin⁴ х + cos⁴ х.

40.10. Знайдіть область значень функції у = sin⁶ х + cos⁶ х.

40.11. При дослідженні кількості коренів рівняння f(x) = a було з’ясовано, що при всіх а ∈ (-5; 2] рівняння має два корені, при всіх а ∈ (2; 3] — один корінь, при інших значеннях а рівняння не має жодного кореня. Чи може функція f бути неперервною, якщо D(f) = [0; 1]?

40.12. Під час дослідження кількості коренів рівняння f(х) = а було з’ясовано, що при всіх а ∈ [-10; 3) рівняння має два корені, при всіх а ∈ (3; 5] — один корінь, при інших значеннях а рівняння не має жодного кореня. Чи може функція f бути неперервною, якщо її областю визначення є деякий проміжок?

40.13. Чи існує неперервна на [0; 1] функція f з такою властивістю: для кожного х ∈ [0;1] знайдеться такий y ∈ [0; 1], що f (y) > а(х)?

40.14. Функція f, D(f) = [а; b], є такою, що на відрізку [а; b] існують точки х₁ та х₂, для яких виконується умова   Крім цього, функція fнабуває всіх значень між f(x₁) і f(х₂). Чи обов’язково функція f є неперервною?

40.15. Неперервна функція f, де D(f) = [a; b], для всіх х ∈ [а; b] задовольняє нерівність 0 < f(x) < 1. Доведіть, що функція є обмеженою.

40.16. Доведіть, що функція f(х) = х sin х не є обмеженою.

40.17. Доведіть, що функція f(х) = х sin х не є періодичною.

40.18. Доведіть, що функція f(х) = х cos х не є обмеженою.

40.19. Чи існує неперервна на ℝ. функція f така, що f(х) f(х + 1) = -1 для всіх х ∈ ℝ?

40.20. Доведіть, що коли функція є неперервною й оборотною на проміжку, то вона або зростає, або спадає на цьому проміжку.

40.21. Функції f i g неперервні на відрізку [0; 1]. Відомо, що f(0) < g(0) і f(1) > g (1), Доведіть, що рівняння f(х) — g(x) має корінь.

40.22. Функція f є неперервною на ℝ. Доведіть, що коли рівняння f(х) = х не має коренів, то рівняння f(f(х)) = х також не має коренів.

40.23. Чи існує неперервна на ℝ. функція f, яка в раціональних точках набуває ірраціональних значень, а в ірраціональних точках — раціональних значень?

40.24. Неперервна на ℝ функція f є такою, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність f (f(х)) ∙ f(х) = 1. Відомо, що f (3) = . Знайдіть f(2).

40.25. Чи існує визначена на ℝ. функція, яка:

1) є неперервною і набуває кожного свого значення рівно два рази;

2) кожного свого значення набуває рівно два рази;

3) є неперервною і набуває кожного свого значення рівно три рази?

40.26. Неперервна функція f визначена на відрізку [0; 1], причому f(0) = f(1). Доведіть, що існує хорда графіка¹ функції f, паралельна осі абсцис, довжина якої дорівнює .