Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

Доведення першої теореми Больцано—Коші

Розглянемо неперервну на відрізку [а; b] функцію f таку, що числа f(а) і f(b) мають різні знаки. Доведемо існування такої точки с ∈ (а;b), що f(с) = 0.

Припустимо, що такої точки с ∈ (а;b) не існує, тобто f(с) ≠ 0 для всіх с ∈ (а; b).

1 Хордою графіка функції називають будь-який відрізок, що сполучає дві точки графіка.

Нехай с0 — середина відрізка [а; b].

Оскільки числа f(а) і f(b) різних знаків, то на кінцях одного з відрізків [а; с0] [с0; b] функція f набуває значень різних знаків. Позначимо цей відрізок [а1; b].

Нехай с1 — середина відрізка [a1; b1]. Тоді на кінцях одного з відрізків [а1; c1] і [с1; b1] функція f набуває значень різних знаків. Позначимо цей відрізок [а2; b2].

Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність вкладених відрізків

[а; b] ⊃ [а1; b1] ⊃ [а2; b2] ⊃ ... .

За принципом вкладених відрізків (див. п. 36) існує така точка с, яка належить усім відрізкам [аn; bn]. За припущенням f(с) ≠ 0. Нехай, наприклад, f(с) > 0.

Оскільки

Отже, кожна з послідовностей (аn) і (bn) прямує до числа с. Нехай хn є тією з точок аn або bn, для якої f(хn) < 0. Послідовність (хn) також прямує до числа с. Оскільки функція fнеперервна в точці с, то

Отримали суперечність з нерівністю f(c) > 0.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити