Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

Доведення першої теореми Вейєрштрасса

Розглянемо неперервну на відрізку [а; b] функцію f. Доведемо, що функція f є обмеженою на [а; b].

Припустимо, що функція f не є обмеженою на [а; b].

Нехай с0 — середина відрізка [а; b]. Якби функція f була обмеженою на кожному з відрізків [а; с0] і [с0; b], то вона була б обмеженою і на відрізку [а; b]. Тому функція f не є обмеженою принаймні на одному з відрізків [а; с0] або [с0; b]. Позначимо цей відрізок [a1; b1] і виберемо на ньому таку точку х1, що | f(х1) | > 1.

Нехай с1 — середина відрізка [a1; b1]. Тоді функція f не є обмеженою принаймні на одному з відрізків [a1; c1] або [с1; b1]. Позначимо цей відрізок [а2; b2] і виберемо на ньому таку точку х2, що | f(х2) | > 2.

Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність вкладених відрізків

[а; b] ⊃ [a1; b1] ⊃ [а2; b2] ⊃ ... .

За принципом вкладених відрізків (див. п. 36) існує така точка с, яка належить усім відрізкам [аn; bn]. На кожному з відрізків [аn; bn]

було вибрано таку точку хn, що | f(xn)| > n. Тому (n(хn)) — розбіжна послідовність (вона не є обмеженою).

Оскільки хn ∈ [аn;bn] і с ∈ [аn;bn], то

0 ≤ |хn - с| ≤ (bn - аn).

Послідовність довжин відрізків [аn;bn] прямує до нуля. Тому послідовність (хn) прямує до числа с.

Оскільки функція f неперервна в точці с, то послідовність (f(xn)) має збігатися до числаf (с). Але це не так, оскільки (f(хn)) — розбіжна послідовність. Отримана суперечність завершує доведення першої теореми Вейєрштрасса.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити