Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

41. Перша чудова границя

Розглянемо функцію f(x) = .

Ця функція не визначена в точці х0 = 0. Проте в цій точці існує границя функції f. Доведемо, що має місце така рівність:

(1)

Лема 41.1. Якщо | х | < 1 і х ≠ 0, то

Доведення. Нехай х ∈ (0; 1). На рисунку 41.1 точку Рх отримано в результаті повороту точки Р0(1; 0) навколо початку координат на кут х радіан. Оскільки х ∈ (0; 1), тобто 0 < х < , то точка Рх знаходиться в першій чверті.

Побудуємо прямокутник MPxNP0, для якого відрізок РxР0 є діагоналлю (рис. 41.1).

Оскільки РxМ = sin х і ОМ = cos х, то

Рис. 41.1

Оскільки x ∈ (0; 1), то за лемою 39.1 отримуємо: sinx ≤ x;

Отже,

Очевидно, що площа заштрихованого сегмента менша від площі трикутника PxNP0.

Маємо:

Тепер можна записати:

Звідси з урахуванням того, що х ∈ (0; 1), отримуємо:

Оскільки функції

є парними, то остання

подвійна нерівність виконується також для всіх х із проміжку (-1; 0).

Тепер доведемо рівність (1).

Нехай (хn) — довільна послідовність значень аргументу функції така, що

Тоді існує таке n0∈ ℕ, що для всіх n > n0 виконується нерівність | хn | < 1.

Згідно з лемою 41.1 для будь-якого n > n0 виконуються нерівності

Тоді за теоремою про двох конвоїрів (теорема 35.4) отримуємо що

Оскільки послідовність (хn) вибрано довільно, то доходимо висновку, що тобто

Цю рівність називають першою чудовою границею.

Нескладно показати, що має місце більш загальний факт: якщо і в жодному проколотому δколі точки х0 функція g тотожно не дорівнює нулю, то

Рівність показує, що при досить малих значеннях х виконується наближена рівність sin х ≈ х. Більш того, із леми 41.1 випливає, що коли | х | < 1, то виконується нерівність

Тому абсолютна похибка наближеної формули sin х ≈ x, де | х | < 1, не перевищує

Наприклад, якщо х = 0,1, то sin 0,1 ~≈ 0,1 з точністю не менше ніж

ПРИКЛАД 1 Обчисліть границю

Розв’язання.

ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю

Розв’язання.

ПРИКЛАД З Обчисліть границю

Розв’язання.

ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю

Розв’язання.

Маємо:

ВПРАВИ

41.1. Обчисліть границю:

41.2. Обчисліть границю:

41.3. Обчисліть границю:

41.4. Обчисліть границю:

41.5. Обчисліть границю

41.6. Обчисліть границю

41.7. Нехай х = n sin . Знайдіть границю послідовності (хn).

41.8. Нехай Знайдіть границю послідовності (хn).

41.9. У коло радіуса R послідовно вписують правильні пnкутники, n ≥ 3. Використовуючи першу чудову границю, покажіть, що:

1) послідовність периметрів цих многокутників прямує до числа 2 R;

2) послідовність площ цих многокутників прямує до числа R2.

41.10. Навколо кола радіуса r послідовно описують правильні n-кутники, n ≥ 3. Використовуючи першу чудову границю, покажіть, що:

1) послідовність периметрів цих многокутників прямує до числа 2кг;

2) послідовність площ цих многокутників прямує до числа r2.

41.11. Обчисліть границю:

41.12. Обчисліть границю:

41.13. Обчисліть границю:

41.14. Обчисліть границю:

41.15. При яких значеннях параметра а є неперервною в точці х0 = 0 функція:

41.16. При яких значеннях параметра а є неперервною в точці

41.17. Знайдіть границю

41.18. Знайдіть границю

41.19. Знайдіть границю

41.20. Знайдіть границю

41.21. Послідовність (аn) задано такими умовами: а1 = 1, Обчисліть границю





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити