Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

3. Обернена функція

На рисунках 3.1, 3.2 зображено графіки функцій f i g.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу у0 Е (f) відповідає єдине число х0 ∈ D(f) таке, що у0 = f(х0). Функція g такої властивості не має. Справді, з рисунка 3.2 видно, що значенню у0 відповідають два значення аргументу х1 і х2 такі, що y0 = g(x1) і y0 = g(x2).

Означення. Функцію y = f(x) називають оборотною, якщо для будь-якого у0∈ E(f) існує єдине х0∈ D(f) таке, що y0 = f(x0).

Функція f (рис. 3.1) є оборотною. Функція g (рис. 3.2) не є оборотною.

Функції у = x, y = , y = є прикладами оборотних функцій (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Функція у = х2 не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу х1 = -2 і х2 = 2.

Теорема 3.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.

Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться у0∈ E(f), для якого існують х1 і х2

1 < х2) такі, що f(x1) = f(х2) = у0. Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності x1 < х2 випливає, що f(x1) < f(х2). Отримали суперечність.

Аналогічно можна розглянути випадок, коли функція f є спадною.

Зазначимо, що обернене твердження не є правильним, тобто не будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною). Наприклад, на рисунку 3.4 зображено графік оборотної функції, яка не є ні зростаючою, ні спадною.

Рис. 3.4

Розглянемо функцію y = f(x), задану таблично:

Функція f є оборотною.

Поміняємо рядки таблиці місцями та розглянемо функцію y = g(x), задану отриманою таблицею:

Функції f i g зв’язані такими властивостями:

Ці рівності означають, що коли f(х0) = у0, то g(y0) = х0.

У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Такі функції f i g називають взаємно оберненими.

Означення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо:

1) D(f) = E(g) i E(f) = D(g);

2) для будь-якого х0∈ D(f) із рівності f(x0) = y0 випливає, що g(y0) = х0, тобто g(f(х0)) = х0.

Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити на таку: для будь-якого х0 ∈ D(g) із рівності g(х0) = у0 випливає, що f(y0) = x0, тобто f(g(x0)) = х0.

Коли функція f не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція f(х) = 2х - 1 є оборотною. Знайдіть обернену функцію.

Розв’язання. Функція f(х) = 2х - 1 є зростаючою. Отже, вона є оборотною.

Щоб задати обернену функцію, потрібно вказати правило, яке дає змогу за кожним значенням змінної у знайти відповідне значення змінної х таке, що у = 2х - 1.

Маємо: 2х = у + 1; x = .

Отримана рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Традиційно незалежну змінну позначають буквою х, а залежну — буквою у. Дотримуючись таких позначень, можна сказати, що ми отримали функцію, яку задано формулою y = .

Покажемо, що функції g(x) = і f(х) = 2х - 1 є взаємно оберненими.

Маємо: D(f) = E(g) = R, E(f) = D(g) = R.

Нехай f(х0) = у0, тобто у0 = 2х0 - 1. Доведемо, що g(y0) = х0.

Маємо:

Функція у = х2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +∞). Отже, функція f(х) = х2, D(f) = [0; +∞), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = х2 є оборотною на множині [0; +оо). Знайдемо функцію, обернену до функції f.

Отримуємо: у = х2, де х ∈ [0; +∞). Звідси

Рівність = х задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функцію у = , обернену до функції f.

Покажемо, що функції f(х) = х2, D(f) = [0; +∞), і g(x) = є взаємно оберненими.

Маємо: D(f) = E(g) = [0; +∞), E(f) = D(g) = [0; +∞).

Нехай f(х0) = у0, тобто у020, де х0 > 0.

Запишемо:

Теорема 3.2. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х.

Доведення. Нехай точка М (а; b) належить графіку функції у = f(х). Тоді b = f (а). Якщо функція g є оберненою до функції f, то g(b) = а, тобто точка N (b; а) належить графіку функції у = g(x).

Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої у = x.

Якщо а = b, то точки М і N збігаються та належать прямій у = х.

При а ≠ b маємо (рис. 3.5):

тобто точка О рівновіддалена від кінців відрізка MN, а отже, належить серединному перпендикуляру відрізка MN.

Середина К відрізка MN має координати тобто належить прямій у = х. Отже, пряма у = х є серединним перпендикуляром відрізка MN.

Рис. 3.5

Доведену теорему ілюструють графіки взаємно обернених функцій, які ми розглянули вище (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Теорема 3.3. Якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена до неї функція g є також зростаючою (спадною).

Доведення. Припустимо, що функція f зростаюча, але при цьому обернена до неї функція g не є зростаючою. Тоді знайдуться такі у1∈ D(g) і у2∈ D(g), що з нерівності у1 < у2випливатиме нерівність g(y1) ≥ g(y2). Нехай g(y1) = x1, g(y2) = x2, тому x1 > х2. Оскільки функція f зростаюча, то f(х1) ≥ f(х2), тобто у1 > у2. Отримали суперечність.

Для спадної функції міркуємо аналогічно.

Теорема 3.4. Спільні точки графіків зростаючих взаємно обернених функцій лежать на прямій у = х.

Доведення. Нехай М (а; b) — спільна точка графіків взаємно обернених зростаючих функцій f i g. Доведемо, що а = b.

Будемо міркувати від супротивного. Припустимо, наприклад, що а < b. Оскільки графіки взаємно обернених функцій f i g симетричні відносно прямої у = х, то точка N (b; а) є для них спільною. З огляду на зростання функції f можна записати: f(а) < f(b). Але f(а) = b, f(b) = а. Отримали b < а, що суперечить припущенню а < b. Аналогічно розглядається випадок, коли а > b. Таким чином, а = b.

Зауваження. Звернемо увагу на те, що умова зростання у формулюванні теореми 3.4 є обов’язковою. Наприклад, функції f(х) = -х і g(x) = -х є взаємно оберненими, проте їхні спільні точки, наприклад А (-1; 1) і В (1; -1), не належать прямій у = х.

Наслідок Якщо функції f i g — взаємно обернені та зростаючі, то рівняння f(x) = g(x) рівносильне кожному з рівнянь f(x) = х або g(x) = х.

Доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Зробимо заміну = t. Отримуємо:

Розглянемо функції f(t) = і g(t) = t2 - 5, D > (g) = [0; +∞). Ці функції є взаємно оберненими і зростаючими. Тоді з наслідку з теореми 3.4 випливає, що рівняння = t2-5 рівносильне системі

Звідси

Тепер можна записати:

Відповідь:

ВПРАВИ

3.1. Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 3.7, є оборотними?

Рис. 3.7

3.2. Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 3.8, є оборотними?

Рис. 3.8

3.3. Доведіть, що дана функція не є оборотною:

3.4. Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими:

3.5. Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими:

3.6. Знайдіть функцію, обернену до даної:

3.7. Знайдіть функцію, обернену до даної:

3.8. Знайдіть функцію, обернену до даної:

3.9. Знайдіть функцію, обернену до даної:

3.10. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

3.11. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

3.12. Користуючись графіком функції y = f(x), зображеним на рисунку 3.9, побудуйте графік функції, оберненої до функції f.

3.13. Користуючись графіком функції у = f(х), зображеним на рисунку 3.10, побудуйте графік функції, оберненої до функції f.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

3.14. Доведіть, що функція збігається з оберненою до неї функцією.

3.15. Доведіть, що функція, обернена до лінійної функції у = kx + b при k ≠ 0, теж є лінійною.

3.16. Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, також є непарною.

3.17. Нехай g — функція, обернена до функції f(х) = х5 + 6х3.

1) Знайдіть g(7).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = -1.

3) Скільки коренів має рівняння g(x) = с залежно від значення параметра с?

3.18. Нехай g — функція, обернена до функції

1) Знайдіть g(28).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = 1.

3) Чи існує таке значення с, що рівняння g(x) = с має два корені?

3.19. Функція g є оберненою до функції f(х) = х3 + х - 3. Розв’яжіть рівняння g(x) = x3 + + 3.

3.20. Функція g є оберненою до функції f(х) = х3 + х + 12. Розв’яжіть рівняння g(x) = х3 + х - 12.

3.21. Функція g є оберненою до функції f(х) = х5 + х - 1. Розв’яжіть рівняння f(х) = g (х).

3.22. Функція f є оберненою до функції g(x) = х3 + х - 8. Розв’яжіть рівняння f(х) = g(х).

3.23. Розв’яжіть рівняння

3.24. Розв’яжіть рівняння

3.25. З найдіть функцію g, обернену до функції f(х) = х2, D(f) = (-1; 0] U [3; 4).

3.26. Знайдіть функцію g, обернену до функції f(х) = -х2, D(f) = [-3; -2) U [0; 1).

3.27. Чи існує оборотна функція f така, що D(f) = ℕ U {0}, E(f) = ℕ?

3.28. Чи існує оборотна функція f така, що D(f) = ℤ, E(f) = ℕ?

3.29. Функціяf і оборотна функція g є такими, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність f(f(х)) = g(x). Доведіть, що f — оборотна функція.

3.30. Чи існує оборотна функція f така, що D(f) = Q, E(f) = N?

3.31. Наведіть приклад таких взаємно обернених функцій f i g, що при всіх х ∈ ℝ. виконується рівність f(х) - g(x) = x.

3.32. Функція f має обернену функцію g. Відомо, що нерівність виконується для всіх х ∈ ℝ, а рівняння g(x) = 10 - 2х2 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь наближено з абсолютною похибкою1 0,25.

3.33. Функція g є оберненою до зростаючої функції f такої, що D(f) = [0; 1], E(f) = [0; 11], f(0) = 0, f(1) = 1. Доведіть нерівність

3.34.1) Функція f і оборотна функція g є такими, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність f(f(х)) = g(х). Доведіть, що f — оборотна функція.

2) Знайдіть усі функції f такі, що для будь-яких х ∈ ℝ, y ∈ ℝ. виконується рівність

xf (f (х) - 2у) = 9х (х - у) + yf (х).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити