§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

42. Асимптоти графіка функції

На рисунку 42.1 зображено графік функції у = arctg х. Якщо значення аргументу х обирати все більшими й більшими, то відповідні значення функції у = arctg х усе менше й менше відрізнятимуться від числа .

Рис. 42.1

Іншими словами, якщо довільна послідовність значень аргументу необмежено зростає, то відповідна послідовність значень функції у = arctg х прямує до числа . У такому випадку говорять, що число є границею функції у = arctg х при х +∞. Цей факт записують так:

(використовують і такий запис: arctg х   при х +∞).

Можна також сказати, що

Мають місце й такі рівності: (рис. 42.2), (рис. 42.3).

Рис. 42.2

Рис. 42.3

Границі функції при х ∞ притаманні властивості, аналогічні властивостям границі функції в точці. Нехай функції y = f(x) і y = g(x) мають спільну область визначення.

Якщо

то:

Довести ці рівності можна аналогічно тому, як були доведені теореми про арифметичні дії з границями функцій у точці.

Зауважимо, що такі самі властивості виконуються і для границі функції при х +∞ та при х -∞.

ПРИКЛАД Обчисліть

Розв’язання. Маємо:

Нехай М (х; у) — довільна точка графіка функції у = arctg

Оскільки

то при х +∞ відстань від точки М до прямої у прямує до нуля (рис. 42.4). У такому разі говорять, що пряма у є горизонтальною асимптотою графіка функції у = arctg х при х +∞. Також можна показати, що пряма у = - є горизонтальною асимптотою графіка функції у = arctg х при x -∞.

Рис. 42.4

Означення. Пряму у = а називають горизонтальною асимптотою графіка функції f при х +оо (∞ -∞), якщо

Так, прямі у = 0 і у = є горизонтальними асимптотами графіка функції у = arcctg х відповідно при х +∞ і при х -∞ (рис. 42.5). Приклад, розглянутий вище, показує, що пряма у = 2 є горизонтальною асимптотою графіка функції при х -∞ і при х +∞. Графік цієї функції зображено на рисунку 42.6.

Рис. 42.5

Рис. 42.6

Розглянемо функцію

Очевидно, що при x +∞ значення функції f усе менше й менше відрізняються від відповідних значень лінійної функції у = 2х - 1, тобто (рис. 42.7). Це означає, що при х +∞ відстань від точки графіка функції f до відповідної точки прямої у = 2х - 1 прямує до нуля.

У цьому разі говорять, що пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції при х +∞. Також пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції f при х -∞.

Рис. 42.7

Означення. Пряму у = kx + b називають похилою асимпто тою графіка функції f при х +∞ (х -∞), якщо

Коли в рівнянні у = kx + b похилої асимптоти у = kx + b коефіцієнт k дорівнює нулю, то з означення випливає рівність

Звідси  

Тому пряма у = b є горизонтальною асимптотою графіка функції f при х +∞. Таким чином, горизонтальну асимптоту можна розглядати як окремий випадок похилої асимптоти.

Для графіка функції пряма у = х є його похилою асимптотою при х і при х ∞. Справді,

Але якщо розглядувану функцію подано у вигляді то здогадатися, що пряма у = х є похилою асимптотою її графіка, досить важко. Пошук похилої асимптоти полегшує така теорема.

Теорема 42.1. Пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при х —» +∞ тоді й тільки тоді, коли виконуються рівності

(1)

(2)

Доведення. Нехай числа k і b задовольняють рівності (1) і (2). Доведемо, що пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f.

Маємо:

Це означає, що пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f.

Нехай пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при х +∞. Тоді

Звідси

Крім цього, маємо:

Теорема 42.1 дає змогу шукати похилі (горизонтальні) асимптоти графіка функції f при х +∞ за такою схемою.

1. Знайти число k, де

Якщо цієї границі не існує, то графік функції f при х +∞ не має похилої асимптоти.

2. Знайти число b, де Якщо цієї границі не існує, то графік функції f при х +∞ не має похилої асимптоти.

3. Пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при x +∞.

Аналогічна схема працює для пошуку похилої (горизонтальної) асимптоти при х -∞.

Повертаючись до розглянутого вище прикладу, покажемо, як працює ця схема для пошуку похилої асимптоти графіка функції при х +∞ і при х -∞

Маємо:

Отже, пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції f при х +∞ і при х -∞.

На рисунку 42.8 зображено графік функції y = f(x). Розглянемо функцію f при х > х₀. Якщо такі значення аргументу х обирати все ближче й ближче до точки х₀, то відповідні значення функції стають усе більшими й більшими і можуть стати більшими від будь-якого наперед заданого додатного числа. Іншими словами, якщо послідовність (х_n) аргументів функції f задовольняє умови і х_n > х₀, де n ∈ ℕ, то

Цей факт записують так:

У цьому випадку пряму х = х₀ називають вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до х₀ справа.

Рис. 42.8

Рис. 42.9

Рис. 42.10

Міркуючи аналогічно, можна сказати, що

Тому пряма х = х₀ є вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до х₀ зліва.

Наприклад,

(рис. 42.9). Тому х = 1 — вертикальна асимптота графіка функції y = , коли х прямує до х₀ = 1 як справа, так і зліва. Наведемо ще кілька прикладів.

Оскільки (у таких випадках записують: то пряма х = 2 є вертикальною асимптотою графіка функції при х 2+ і при х 2 (рис. 42.10).

Оскільки

то пряма х = є вертикальною асимптотою графіка функції у = tg х при х - і при x +. Ураховуючи періодичність функції у = tg х, можна стверджувати, що кожна з прямих х = + k, k ∈ ℤ, є вертикальною асимптотою графіка функції у = tg х при х + k + і при x + k - (рис. 42.11).

Рис. 42.11

Інших вертикальних асимптот функція у = tg х не має, оскільки вона неперервна в кожній точці х₀, відмінній від + k, k ∈ ℤ.

Узагалі, якщо функція неперервна в точці х₀, то пряма х = х₀ не є вертикальною асимптотою її графіка.

ВПРАВИ

42.1. Перевірте виконання умов для послідовностей із загальним членом:

42.2. Перевірте виконання умов для послідовностей із загальним членом:

42.3. Знайдіть границю:

42.4. Знайдіть границю:

42.5. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:

42.6. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:

42.7. Перевірте виконання умов для функції:

42.8. Перевірте виконання умов для функції:

42.9. Укажіть вертикальні асимптоти графіка функції:

42.10. Укажіть вертикальні асимптоти графіка функції:

42.11. Обчисліть

42.12. Обчисліть

42.13. Чи може графік функції мати дві різні похилі асимптоти при х +∞?

42.14. Знайдіть похилі асимптоти графіка функції:

42.15. Знайдіть похилі асимптоти графіка функції:

42.16. Графік функції ∞ має асимптоту. Чи може бути так, що графік функції ∞ перетинає асимптоту нескінченну кількість разів?

42.17. Зростаюча функція ∞ є такою, що Чи обов’язково графік функції ∞ має горизонтальну асимптоту при х +∞?

42.18. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції

42.19. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції

42.20. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:

42.21. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:

42.22. Знайдіть асимптоти графіка функції

42.23. Знайдіть асимптоти графіка функції

42.24. Василь Заплутайко шукає асимптоту графіка функції при х +∞ так:

1) при х > 0 виконуються рівності

2) оскільки то при x +∞ графік функції а майже не відрізняється від прямої у = х;

3) тому пряма у = х є похилою асимптотою графіка функції а при х +∞.

Чи погоджуєтеся ви з міркуваннями Василя?

42.25. Про функцію а відомо, що Чи обов’язково пряма х = х₀ є вертикальною асимптотою її графіка?

42.26. Графіки функцій f і g є рівними фігурами. Чи обов’язково графік функції g має асимптоту, якщо графік функції f має асимптоту?

42.27. Функціяf є такою, що при кожному х > 0 виконується рівність Чи обов’язково

42.28. Числа а, b, с такі, що при кожному n ∈ ℕ значення виразу an² + bn + с є четвертим степенем натурального числа. Доведіть, що а = b = 0.