Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ
42. Асимптоти графіка функції
На рисунку 42.1 зображено графік функції у = arctg х. Якщо значення аргументу х обирати все більшими й більшими, то відповідні значення функції у = arctg х усе менше й менше відрізнятимуться від числа 
.
Рис. 42.1
Іншими словами, якщо довільна послідовність значень аргументу необмежено зростає, то відповідна послідовність значень функції у = arctg х прямує до числа . У такому випадку говорять, що число є границею функції у = arctg х при х 
+∞. Цей факт записують так:
(використовують і такий запис: arctg х при х +∞).
Можна також сказати, що 
Мають місце й такі рівності: 
(рис. 42.2), 
(рис. 42.3).
Рис. 42.2
Рис. 42.3
Границі функції при х ∞ притаманні властивості, аналогічні властивостям границі функції в точці. Нехай функції y = f(x) і y = g(x) мають спільну область визначення.
Якщо
то:
Довести ці рівності можна аналогічно тому, як були доведені теореми про арифметичні дії з границями функцій у точці.
Зауважимо, що такі самі властивості виконуються і для границі функції при х +∞ та при х -∞.
ПРИКЛАД Обчисліть 
Розв’язання. Маємо:
Нехай М (х; у) — довільна точка графіка функції у = arctg
Оскільки
то при х +∞ відстань від точки М до прямої у прямує до нуля (рис. 42.4). У такому разі говорять, що пряма у є горизонтальною асимптотою графіка функції у = arctg х при х +∞. Також можна показати, що пряма у = - є горизонтальною асимптотою графіка функції у = arctg х при x -∞.
Рис. 42.4
Означення. Пряму у = а називають горизонтальною асимптотою графіка функції f при х +оо (∞ -∞), якщо
Так, прямі у = 0 і у = 
є горизонтальними асимптотами графіка функції у = arcctg х відповідно при х +∞ і при х -∞ (рис. 42.5). Приклад, розглянутий вище, показує, що пряма у = 2 є горизонтальною асимптотою графіка функції 
при х -∞ і при х +∞. Графік цієї функції зображено на рисунку 42.6.
Рис. 42.5
Рис. 42.6
Розглянемо функцію 
Очевидно, що при x +∞ значення функції f усе менше й менше відрізняються від відповідних значень лінійної функції у = 2х - 1, тобто 
(рис. 42.7). Це означає, що при х +∞ відстань від точки графіка функції f до відповідної точки прямої у = 2х - 1 прямує до нуля.
У цьому разі говорять, що пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції 
при х +∞. Також пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції f при х -∞.
Рис. 42.7
Означення. Пряму у = kx + b називають похилою асимпто тою графіка функції f при х +∞ (х -∞), якщо
Коли в рівнянні у = kx + b похилої асимптоти у = kx + b коефіцієнт k дорівнює нулю, то з означення випливає рівність 
Звідси 
Тому пряма у = b є горизонтальною асимптотою графіка функції f при х +∞. Таким чином, горизонтальну асимптоту можна розглядати як окремий випадок похилої асимптоти.
Для графіка функції 
пряма у = х є його похилою асимптотою при х і при х ∞. Справді, 
Але якщо розглядувану функцію 
подано у вигляді 
то здогадатися, що пряма у = х є похилою асимптотою її графіка, досить важко. Пошук похилої асимптоти полегшує така теорема.
Теорема 42.1. Пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при х —» +∞ тоді й тільки тоді, коли виконуються рівності
(1)
(2)
Доведення. Нехай числа k і b задовольняють рівності (1) і (2). Доведемо, що пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f.
Маємо:
Це означає, що пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f.
Нехай пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при х +∞. Тоді 
Звідси 
Крім цього, маємо:
Теорема 42.1 дає змогу шукати похилі (горизонтальні) асимптоти графіка функції f при х +∞ за такою схемою.
1. Знайти число k, де 
Якщо цієї границі не існує, то графік функції f при х +∞ не має похилої асимптоти.
2. Знайти число b, де 
Якщо цієї границі не існує, то графік функції f при х +∞ не має похилої асимптоти.
3. Пряма у = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f при x +∞.
Аналогічна схема працює для пошуку похилої (горизонтальної) асимптоти при х -∞.
Повертаючись до розглянутого вище прикладу, покажемо, як працює ця схема для пошуку похилої асимптоти графіка функції 
при х +∞ і при х -∞
Маємо:
Отже, пряма у = 2х - 1 є похилою асимптотою графіка функції f при х +∞ і при х -∞.
На рисунку 42.8 зображено графік функції y = f(x). Розглянемо функцію f при х > х0. Якщо такі значення аргументу х обирати все ближче й ближче до точки х0, то відповідні значення функції стають усе більшими й більшими і можуть стати більшими від будь-якого наперед заданого додатного числа. Іншими словами, якщо послідовність (хn) аргументів функції f задовольняє умови 
і хn > х0, де n ∈ ℕ, то 
Цей факт записують так:
У цьому випадку пряму х = х0 називають вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до х0 справа.
Рис. 42.8
Рис. 42.9
Рис. 42.10
Міркуючи аналогічно, можна сказати, що 
Тому пряма х = х0 є вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до х0 зліва.
Наприклад,
(рис. 42.9). Тому х = 1 — вертикальна асимптота графіка функції y = 
, коли х прямує до х0 = 1 як справа, так і зліва. Наведемо ще кілька прикладів.
Оскільки 
(у таких випадках записують: 
то пряма х = 2 є вертикальною асимптотою графіка функції 
при х 2+ і при х 2 (рис. 42.10).
Оскільки
то пряма х = є вертикальною асимптотою графіка функції у = tg х при х - і при x +. Ураховуючи періодичність функції у = tg х, можна стверджувати, що кожна з прямих х = + k, k ∈ ℤ, є вертикальною асимптотою графіка функції у = tg х при х + k + і при x + k - (рис. 42.11).
Рис. 42.11
Інших вертикальних асимптот функція у = tg х не має, оскільки вона неперервна в кожній точці х0, відмінній від + k, k ∈ ℤ.
Узагалі, якщо функція неперервна в точці х0, то пряма х = х0 не є вертикальною асимптотою її графіка.
ВПРАВИ
42.1. Перевірте виконання умов 
для послідовностей із загальним членом:
42.2. Перевірте виконання умов 
для послідовностей із загальним членом:
42.3. Знайдіть границю:
42.4. Знайдіть границю:
42.5. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:
42.6. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:
42.7. Перевірте виконання умов 
для функції:
42.8. Перевірте виконання умов 
для функції:
42.9. Укажіть вертикальні асимптоти графіка функції:
42.10. Укажіть вертикальні асимптоти графіка функції:
42.11. Обчисліть 
42.12. Обчисліть 
42.13. Чи може графік функції мати дві різні похилі асимптоти при х 
+∞?
42.14. Знайдіть похилі асимптоти графіка функції:
42.15. Знайдіть похилі асимптоти графіка функції:
42.16. Графік функції ∞ має асимптоту. Чи може бути так, що графік функції ∞ перетинає асимптоту нескінченну кількість разів?
42.17. Зростаюча функція ∞ є такою, що 
Чи обов’язково графік функції ∞ має горизонтальну асимптоту при х +∞?
42.18. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції 
42.19. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції 
42.20. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:
42.21. Знайдіть горизонтальні асимптоти графіка функції:
42.22. Знайдіть асимптоти графіка функції 
42.23. Знайдіть асимптоти графіка функції 
42.24. Василь Заплутайко шукає асимптоту графіка функції 
при х +∞ так:
1) при х > 0 виконуються рівності 
2) оскільки 
то при x +∞ графік функції а майже не відрізняється від прямої у = х;
3) тому пряма у = х є похилою асимптотою графіка функції а при х +∞.
Чи погоджуєтеся ви з міркуваннями Василя?
42.25. Про функцію а відомо, що 
Чи обов’язково пряма х = х0 є вертикальною асимптотою її графіка?
42.26. Графіки функцій f і g є рівними фігурами. Чи обов’язково графік функції g має асимптоту, якщо графік функції f має асимптоту?
42.27. Функціяf є такою, що при кожному х > 0 виконується рівність 
Чи обов’язково 
42.28. Числа а, b, с такі, що при кожному n ∈ ℕ значення виразу an2 + bn + с є четвертим степенем натурального числа. Доведіть, що а = b = 0.