Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

43. Приріст функції. Задачі, які приводять до поняття похідної

Якщо функція є математичною моделлю реального процесу, то часто виникає потреба знаходити різницю значень цієї функції у двох точках. Наприклад, позначимо через f(t) і f(t0) суми коштів, які накопичилися на депозитному1 рахунку вкладника до моментів часу t і t0. Тоді різниця f(t) - f(t0), де t > t0, показує прибуток, який отримає вкладник за час t - t0.

Розглянемо функцію у = f(х). Нехай х0 — фіксована точка з області визначення функції f.

Якщо х — довільна точка області визначення функції f така, що х ≠ х0, то різницю х - х0 називають приростом аргументу функції f у точці х0 і позначають ∆х (читають: «дельта ікс»)2. Маємо:

∆ = х - х0.

Звідси

х = х0 + ∆х.

Говорять, що аргумент отримав приріст ∆х у точці х0. Зазначимо, що приріст аргументу може бути як додатним, так і від’ємним: якщо х > х0, то ∆х > 0; якщо х < х0, то ∆х < 0.

Якщо аргумент у точці х0 отримав приріст ∆х, то значення функції f змінилося на величину

f(х0 + ∆х) - f(х0).

Цю різницю називають приростом функції f у точці х0 і позначають ∆f(читають: «дельта еф»).

1 Депозит (банківський вклад) — кошти, які вкладник передає банку на деякий строк, за що банк виплачує вкладнику проценти.

2 Говорячи про приріст аргументу функції f у точці х0, тут і далі припускатимемо, що в будь-якому інтервалі (х0 - ε; х0 + ε) є точки області визначення функції f, відмінні від х0.

Маємо:

∆f = f(x0 + ∆х) - f(x0) або

∆f = f(x) - f(x0).

Для приросту функції y = f(x) прийнято також позначення ∆у, тобто

∆у = f(x) - f(x0) або ∆у = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Приріст ∆х аргументу в точці х0 і відповідний приріст ∆f функції показано на рисунку 43.1.

Рис. 43.1

Зауважимо, що для фіксованої точки х0 приріст функції f у точці х0 є функцією з аргументом ∆х.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть приріст функції у = x2 у точці х0, який відповідає приросту ∆х аргументу.

Розв’язання. Маємо:

Відповідь: 2х0∆х + ∆х2.

Задача про миттєву швидкість

Нехай автомобіль, рухаючись прямолінійною ділянкою дороги в одному напрямку, за 2 год подолав шлях у 120 км. Тоді його середня швидкість руху дорівнює vcep = = 60 (км/год).

Знайдена величина дає неповне уявлення про характер руху автомобіля: на одних ділянках шляху автомобіль міг пересуватися швидше, на інших — повільніше, інколи міг зупинятися.

Разом із цим у будь-який момент часу спідометр автомобіля показував деяку величину — швидкість у даний момент часу. Значення швидкості в різні моменти повніше характеризує рух автомобіля.

Розглянемо задачу про пошук швидкості в даний момент часу на прикладі рівноприскореного руху.

Нехай матеріальна точка рухається по координатній прямій і через час t після початку руху має координату s(t). Тим самим задано функцію у = s(t), яка дає змогу визначити положення точки в будь-який момент часу. Тому цю функцію називають законом руху точки.

Наприклад, із курсу фізики відомо, що закон рівноприскореного руху задається формулою s(t) = s0 + v0t + де s0 — координата точки на початку руху (при t = 0), v0 — початкова швидкість, а — прискорення.

Нехай, наприклад, s0= 0, v0= 1 м/с, а = 2 м/с2. Тоді s(t) = t2 + t.

Зафіксуємо який-небудь момент часу t0 і надамо аргументу в точці t0 приріст ∆t, тобто розглянемо проміжок часу від t0 до t0 + ∆t. За цей проміжок часу матеріальна точка здійснить переміщення ∆s. Маємо:

Середня швидкість vсер (∆t) руху точки за проміжок часу від t0 до t0 + ∆t дорівнює відношенню

Отримуємо:

тобто vcер (∆t) = 2t0 + 1 + ∆t.

Позначення для середньої швидкості vcep(∆t) наголошує, що при заданому законі руху у = s(t) і фіксованому моменті часу t0 значення середньої швидкості залежить тільки від ∆t.

Якщо розглядати досить малі проміжки часу від t0 до t0 + ∆t, то з практичних міркувань зрозуміло, що середні швидкості vcep (∆t) за такі проміжки часу мало відрізняються одна від одної, тобто величина vcep(∆t) майже не змінюється. Чим менше ∆t, тим ближчим є значення середньої швидкості до деякого числа, що визначає швидкість у момент часу t0. Іншими словами, якщо при ∆t 0 значення vcep(∆t) прямують до числа v(t0), то число v(t0) називають миттєвою швидкістю в момент часу t0.

У наведеному прикладі, якщо ∆t 0, то значення виразу 2t0 + 1 + ∆t прямують до числа 2t0 + 1, яке є значенням миттєвої швидкості v(t0), тобто

Цей приклад показує, що коли матеріальна точка рухається за законом у = s(t), то її миттєву швидкість у момент часу t0 визначають за допомогою формули





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити