§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

43. Приріст функції. Задачі, які приводять до поняття похідної

Якщо функція є математичною моделлю реального процесу, то часто виникає потреба знаходити різницю значень цієї функції у двох точках. Наприклад, позначимо через f(t) і f(t₀) суми коштів, які накопичилися на депозитному¹ рахунку вкладника до моментів часу t і t₀. Тоді різниця f(t) - f(t₀), де t > t₀, показує прибуток, який отримає вкладник за час t - t₀.

Розглянемо функцію у = f(х). Нехай х₀ — фіксована точка з області визначення функції f.

Якщо х — довільна точка області визначення функції f така, що х ≠ х₀, то різницю х - х₀ називають приростом аргументу функції f у точці х₀ і позначають ∆х (читають: «дельта ікс»)². Маємо:

∆ = х - х₀.

Звідси

х = х₀ + ∆х.

Говорять, що аргумент отримав приріст ∆х у точці х₀. Зазначимо, що приріст аргументу може бути як додатним, так і від’ємним: якщо х > х₀, то ∆х > 0; якщо х < х₀, то ∆х < 0.

Якщо аргумент у точці х₀ отримав приріст ∆х, то значення функції f змінилося на величину

f(х₀ + ∆х) - f(х₀).

Цю різницю називають приростом функції f у точці х₀ і позначають ∆f(читають: «дельта еф»).

¹ Депозит (банківський вклад) — кошти, які вкладник передає банку на деякий строк, за що банк виплачує вкладнику проценти.

² Говорячи про приріст аргументу функції f у точці х₀, тут і далі припускатимемо, що в будь-якому інтервалі (х₀ - ε; х₀ + ε) є точки області визначення функції f, відмінні від х₀.

Маємо:

∆f = f(x₀ + ∆х) - f(x₀) або

∆f = f(x) - f(x₀).

Для приросту функції y = f(x) прийнято також позначення ∆у, тобто

∆у = f(x) - f(x₀) або ∆у = f(x₀ + ∆х) - f(x₀).

Приріст ∆х аргументу в точці х₀ і відповідний приріст ∆f функції показано на рисунку 43.1.

Рис. 43.1

Зауважимо, що для фіксованої точки х₀ приріст функції f у точці х₀ є функцією з аргументом ∆х.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть приріст функції у = x² у точці х₀, який відповідає приросту ∆х аргументу.

Розв’язання. Маємо:

Відповідь: 2х₀∆х + ∆х².

Задача про миттєву швидкість

Нехай автомобіль, рухаючись прямолінійною ділянкою дороги в одному напрямку, за 2 год подолав шлях у 120 км. Тоді його середня швидкість руху дорівнює v_cep = = 60 (км/год).

Знайдена величина дає неповне уявлення про характер руху автомобіля: на одних ділянках шляху автомобіль міг пересуватися швидше, на інших — повільніше, інколи міг зупинятися.

Разом із цим у будь-який момент часу спідометр автомобіля показував деяку величину — швидкість у даний момент часу. Значення швидкості в різні моменти повніше характеризує рух автомобіля.

Розглянемо задачу про пошук швидкості в даний момент часу на прикладі рівноприскореного руху.

Нехай матеріальна точка рухається по координатній прямій і через час t після початку руху має координату s(t). Тим самим задано функцію у = s(t), яка дає змогу визначити положення точки в будь-який момент часу. Тому цю функцію називають законом руху точки.

Наприклад, із курсу фізики відомо, що закон рівноприскореного руху задається формулою s(t) = s₀ + v₀t + де s₀ — координата точки на початку руху (при t = 0), v₀ — початкова швидкість, а — прискорення.

Нехай, наприклад, s₀= 0, v₀= 1 м/с, а = 2 м/с². Тоді s(t) = t² + t.

Зафіксуємо який-небудь момент часу t₀ і надамо аргументу в точці t₀ приріст ∆t, тобто розглянемо проміжок часу від t₀ до t₀ + ∆t. За цей проміжок часу матеріальна точка здійснить переміщення ∆s. Маємо:

Середня швидкість vсер (∆t) руху точки за проміжок часу від t₀ до t₀ + ∆t дорівнює відношенню

Отримуємо:

тобто v_cер (∆t) = 2t₀ + 1 + ∆t.

Позначення для середньої швидкості v_cep(∆t) наголошує, що при заданому законі руху у = s(t) і фіксованому моменті часу t₀ значення середньої швидкості залежить тільки від ∆t.

Якщо розглядати досить малі проміжки часу від t₀ до t₀ + ∆t, то з практичних міркувань зрозуміло, що середні швидкості v_cep (∆t) за такі проміжки часу мало відрізняються одна від одної, тобто величина v_cep(∆t) майже не змінюється. Чим менше ∆t, тим ближчим є значення середньої швидкості до деякого числа, що визначає швидкість у момент часу t₀. Іншими словами, якщо при ∆t 0 значення v_cep(∆t) прямують до числа v(t₀), то число v(t₀) називають миттєвою швидкістю в момент часу t₀.

У наведеному прикладі, якщо ∆t 0, то значення виразу 2t₀ + 1 + ∆t прямують до числа 2t₀ + 1, яке є значенням миттєвої швидкості v(t₀), тобто

Цей приклад показує, що коли матеріальна точка рухається за законом у = s(t), то її миттєву швидкість у момент часу t₀ визначають за допомогою формули