Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
43. Приріст функції. Задачі, які приводять до поняття похідної
Якщо функція є математичною моделлю реального процесу, то часто виникає потреба знаходити різницю значень цієї функції у двох точках. Наприклад, позначимо через f(t) і f(t0) суми коштів, які накопичилися на депозитному1 рахунку вкладника до моментів часу t і t0. Тоді різниця f(t) - f(t0), де t > t0, показує прибуток, який отримає вкладник за час t - t0.
Розглянемо функцію у = f(х). Нехай х0 — фіксована точка з області визначення функції f.
Якщо х — довільна точка області визначення функції f така, що х ≠ х0, то різницю х - х0 називають приростом аргументу функції f у точці х0 і позначають ∆х (читають: «дельта ікс»)2. Маємо:
∆ = х - х0.
Звідси
х = х0 + ∆х.
Говорять, що аргумент отримав приріст ∆х у точці х0. Зазначимо, що приріст аргументу може бути як додатним, так і від’ємним: якщо х > х0, то ∆х > 0; якщо х < х0, то ∆х < 0.
Якщо аргумент у точці х0 отримав приріст ∆х, то значення функції f змінилося на величину
f(х0 + ∆х) - f(х0).
Цю різницю називають приростом функції f у точці х0 і позначають ∆f(читають: «дельта еф»).
1 Депозит (банківський вклад) — кошти, які вкладник передає банку на деякий строк, за що банк виплачує вкладнику проценти.
2 Говорячи про приріст аргументу функції f у точці х0, тут і далі припускатимемо, що в будь-якому інтервалі (х0 - ε; х0 + ε) є точки області визначення функції f, відмінні від х0.
Маємо:
∆f = f(x0 + ∆х) - f(x0) або
∆f = f(x) - f(x0).
Для приросту функції y = f(x) прийнято також позначення ∆у, тобто
∆у = f(x) - f(x0) або ∆у = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Приріст ∆х аргументу в точці х0 і відповідний приріст ∆f функції показано на рисунку 43.1.
Рис. 43.1
Зауважимо, що для фіксованої точки х0 приріст функції f у точці х0 є функцією з аргументом ∆х.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть приріст функції у = x2 у точці х0, який відповідає приросту ∆х аргументу.
Розв’язання. Маємо:
Відповідь: 2х0∆х + ∆х2.
Задача про миттєву швидкість
Нехай автомобіль, рухаючись прямолінійною ділянкою дороги в одному напрямку, за 2 год подолав шлях у 120 км. Тоді його середня швидкість руху дорівнює vcep = 
= 60 (км/год).
Знайдена величина дає неповне уявлення про характер руху автомобіля: на одних ділянках шляху автомобіль міг пересуватися швидше, на інших — повільніше, інколи міг зупинятися.
Разом із цим у будь-який момент часу спідометр автомобіля показував деяку величину — швидкість у даний момент часу. Значення швидкості в різні моменти повніше характеризує рух автомобіля.
Розглянемо задачу про пошук швидкості в даний момент часу на прикладі рівноприскореного руху.
Нехай матеріальна точка рухається по координатній прямій і через час t після початку руху має координату s(t). Тим самим задано функцію у = s(t), яка дає змогу визначити положення точки в будь-який момент часу. Тому цю функцію називають законом руху точки.
Наприклад, із курсу фізики відомо, що закон рівноприскореного руху задається формулою s(t) = s0 + v0t + 
де s0 — координата точки на початку руху (при t = 0), v0 — початкова швидкість, а — прискорення.
Нехай, наприклад, s0= 0, v0= 1 м/с, а = 2 м/с2. Тоді s(t) = t2 + t.
Зафіксуємо який-небудь момент часу t0 і надамо аргументу в точці t0 приріст ∆t, тобто розглянемо проміжок часу від t0 до t0 + ∆t. За цей проміжок часу матеріальна точка здійснить переміщення ∆s. Маємо:
Середня швидкість vсер (∆t) руху точки за проміжок часу від t0 до t0 + ∆t дорівнює відношенню 
Отримуємо:
тобто vcер (∆t) = 2t0 + 1 + ∆t.
Позначення для середньої швидкості vcep(∆t) наголошує, що при заданому законі руху у = s(t) і фіксованому моменті часу t0 значення середньої швидкості залежить тільки від ∆t.
Якщо розглядати досить малі проміжки часу від t0 до t0 + ∆t, то з практичних міркувань зрозуміло, що середні швидкості vcep (∆t) за такі проміжки часу мало відрізняються одна від одної, тобто величина vcep(∆t) майже не змінюється. Чим менше ∆t, тим ближчим є значення середньої швидкості до деякого числа, що визначає швидкість у момент часу t0. Іншими словами, якщо при ∆t 
0 значення vcep(∆t) прямують до числа v(t0), то число v(t0) називають миттєвою швидкістю в момент часу t0.
У наведеному прикладі, якщо ∆t 0, то значення виразу 2t0 + 1 + ∆t прямують до числа 2t0 + 1, яке є значенням миттєвої швидкості v(t0), тобто
Цей приклад показує, що коли матеріальна точка рухається за законом у = s(t), то її миттєву швидкість у момент часу t0 визначають за допомогою формули
