Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Задача про дотичну до графіка функції

Відоме означення дотичної до кола як прямої, що має з колом тільки одну спільну точку, незастосовне у випадку довільної кривої.

Наприклад, вісь ординат має з параболою у = х2 тільки одну спільну точку (рис. 43.2). Проте інтуїція підказує, що неприродно вважати цю пряму дотичною до цієї параболи. Разом з тим у курсі алгебри ми нерідко казали, що парабола у = х2 дотикається до осі абсцис у точці х0 = 0.

Уточнимо наочне уявлення про дотичну до графіка функції.

Нехай М — деяка точка, що лежить на параболі у = х2. Проведемо пряму ОМ, яку назвемо січною (рис. 43.3). Уявимо собі, що точка М, рухаючись по параболі, наближається до точки О. При цьому січна ОМ буде повертатися навколо точки О. Тоді кут між прямою ОМ і віссю абсцис ставатиме все меншим і меншим, а січна ОМ прагнутиме зайняти положення осі абсцис.

Рис. 43.2

Пряму, положення якої прагне зайняти січна ОМ з наближенням точки М до точки О, називатимемо дотичною до параболи у = х2 у точці О.

Розглянемо графік деякої неперервної в точці х0 функції f і точку М00; f(х0)). У точці х0 надамо аргументу приріст ∆х і розглянемо на графіку точку М (х; f(х)), де х = х0 + ∆х (рис. 43.4).

З рисунка видно, що коли ∆х стає все менше й менше, то точка М, рухаючись по графіку, наближається до точки М0. Якщо при ∆х 0 січна М0М прагне зайняти положення деякої прямої (на рисунку 43.4 це пряма М0Т), то таку пряму називають дотичною до графіка функції f у точці М0.

Рис. 43.3

Рис. 43.4

Нехай січна М0М має рівняння у = kx + b і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а. Як відомо, кутовий коефіцієнт k прямої М0М дорівнює tg а, тобто k = tg а. Очевидно, що ∠MM0E = а (рис. 43.4). Тоді з трикутника ММ0Е отримуємо:

Уведемо позначення kсіч (∆х) для кутового коефіцієнта січної М0М, тим самим підкреслюючи, що для даної функції f і фіксованої точки х0 кутовий коефіцієнт січної М0М залежить від приросту ∆х аргументу.

Маємо: kciч(∆х) =

Нехай дотична М0Т утворює з додатним напрямом осі абсцис кут ∆ (β ≠ 90°). Тоді її кутовий коефіцієнт k (х0) дорівнює tg .

Природно вважати, що чим менше ∆х, тим менше значення кутового коефіцієнта січної відрізняється від значення кутового коефіцієнта дотичної. Іншими словами, якщо ∆х —> 0, то kсіч(∆х) k (х0).

Узагалі, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х0 визначають за допомогою формули

тобто

ПРИКЛАД 2 Знайдіть формулу для обчислення кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції f(х) = -х2 у точці з абсцисою х0. Який кут з додатним напрямом осі абсцис утворює дотична, проведена до цього графіка в точці з абсцисою х0 = -?

Розв’язання. Маємо:

Тоді, скориставшись формулою для обчислення кутового коефіцієнта дотичної, можна записати:

Якщо ∆х 0, то значення виразу -2х0 - ∆х прямують до числа

Ця формула дає змогу обчислити кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = -х2 у будь-якій точці, зокрема в точці з абсцисою х0 = .

Маємо:

Нехай дотична до параболи в точці з абсцисою хn = - утворює кут з додатним напрямом осі абсцис. Тоді її кутовий коефіцієнт дорівнює tg а. Вище ми встаовили, що

Звідси tg а = 1. Оскільки 0 ≤ а < , то а = (рис. 43.5).

Рис. 43.5

ВПРАВИ

43.1. Знайдіть приріст функції f у точці х0, якщо:

43.2. Знайдіть приріст функції f у точці х0, якщо:

1) f(x) = 4 - 3х, х0 = 1, ∆х = 0,3;

2) f(х) = 0,5х2, х0 = -2, ∆х = 0,8.

43.3. Для функції ∆(х) = х2 - 3х виразіть приріст ∆f функції f у точці х0 через х0 і х. Знайдіть ∆f, якщо:

1) х0 = 3, х = 2,5; 2) х0 = -2, х =-1.

43.4. Для функції f(x) = x3 виразіть приріст ∆f функції f у точці х0 через x0 і х. Знайдіть ∆f, якщо х0 = 0,5, х = 0,4.

43.5. Для функції f(х) = х2 - х і точки х0 знайдіть

43.6. Для функції f(х) = 5х + 1 і точки х0 знайдіть

43.7. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = 2t2 + 3 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть миттєву швидкість матеріальної точки в момент t0 = 2 с.

43.8. Тіло рухається по координатній прямій за законом s(t) = 5t2 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть:

1) середню швидкість тіла при зміні часу від t0 = 1 с до t1 = 3 с;

2) миттєву швидкість тіла в момент t0 = 1 с.

43.9. Електронагрівач від початку роботи за час t виділив Q (t) = t2 + 2t одиниць теплової енергії, де 0 ≤ t ≤ Т. Знайдіть:

1) середню потужність1 нагрівана на проміжку часу від 0 до Т;

2) кількість теплової енергії, яку виділив нагрівач за проміжок часу між t0 і t0 + ∆t;

3) середню потужність нагрівана за проміжок часу між t0 і t0 + ∆t;

4) потужність нагрівана в момент часу t0.

43.10. Під час хімічної реакції з речовин А і В утворюється речовина С. Через час t (0 ≤ t ≤ Т) від початку реакції кількість

речовини С, що утворилася, дорівнює f(t) = 4t - t2. Знайдіть:

1) середню швидкість хімічної реакції2 на проміжку часу від 0 до Т;

2) кількість речовини С, яка утворилася за проміжок часу між t0 і t0 + ∆t;

3) середню швидкість хімічної реакції за проміжок часу між t0 1 і 0 + ∆t;

4) миттєву швидкість хімічної реакції в момент часу t0.

1 Середня потужність нагрівана, який за проміжок часу t виділив Q одиниць теплової енергії, дорівнює Р = .

2 Середня швидкість хімічної реакції за продуктом реакції, під час якої за час t утворилося М одиниць речовини, дорівнює vR = .

43.11. Кількість продукції, виготовленої робітником від початку роботи до моменту часу t (0 ≤ t ≤ T), дорівнює f(t) = 10t - 3t2. Знайдіть:

1) середню продуктивність1 праці робітника на проміжку часу від 0 до Т;

2) кількість продукції, яку виготовив робітник за проміжок часу між t0 і t0 + ∆t;

3) середню продуктивність праці робітника за проміжок часу між t0 і t0 + ∆t;

4) продуктивність праці робітника в момент часу t0.

43.12. На координатній прямій лежить стержень ОА, площа перерізу якого дорівнює S. Кінці стержня О і А мають координати х = 0 і х = а відповідно. Відомо, що маса частини стержня, яка лежить на відрізку [0; х] координатної прямої, дорівнює m(x) = 2aSx - Sx2, де х ∈ 0; а]. Знайдіть:

1) середню густину2 речовини, з якої виготовлено стержень;

2) масу частини стержня між точками х0 та х0 + ∆х;

3) середню густину речовини, з якої виготовлено частину стержня між точками х0 та х0 + ∆х;

4) густину речовини, з якої виготовлено стержень, у точці х0.

43.13. Тіло рухалося по координатній прямій від початку координат до точки х = а під дією сили, яка виконувала при цьому роботу А(х) = х3, де х ∈[0; а] — координата тіла. Знайдіть:

1) середню величину сили3, яка діяла на тіло під час його руху від початку координат до точки х = а;

2) виконану роботу під час руху тіла між точками з координатами х0 та х0 + ∆х;

3) середню величину сили, яка діяла на тіло під час його руху між точками з координатами х0 та х0 + ∆х;

4) величину сили, яка діяла на тіло тоді, коли воно мало координату х0.

1 Середня продуктивність праці робітника, який за проміжок часу t виготовив S одиниць продукції, дорівнює .

2 Середня густина речовини, з якої виготовлено тіло масою n і об’ємом V, дорівнює p = .

3 Середня величина сили, яка виконала роботу А, перемістивши тіло на відстань х, дорівнює F = .

43.14. Знайдіть кутовий коефіцієнт:

1) січної графіка функції у = х2, яка проходить через точки графіка з абсцисами х0 = 1 і х1 = 1,6;

2) дотичної до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0 = 1.

43.15. Знайдіть кутовий коефіцієнт:

1) січної графіка функції у = х3, яка проходить через точки графіка з абсцисами х0 = 2 і х1 = 1;

2) дотичної до графіка функції у = х3 у точці з абсцисою х0 = 2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити