Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

44. Поняття похідної

У попередньому пункті, розв’язуючи дві різні задачі про миттєву швидкість матеріальної точки та про кутовий коефіцієнт дотичної, ми дійшли до однієї і тієї самої математичної моделі — границі відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля:

До аналогічних формул приводить розв’язання багатьох задач фізики, хімії, біології, економіки тощо. Це свідчить про те, що розглядувана модель заслуговує на особливу увагу. їй варто дати назву, увести позначення, вивчити її властивості та навчитися їх застосовувати.

Означення. Похідною функції f у точці х0 називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції f у точці х0 до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну функції у = f(х) у точці х0 позначають так: f'(х0) (читають: «еф штрих від ікс нульового») або y'(x0). Можна записати:

або

Похідну функції f у точці х0 можна обчислити за такою схемою:

1) надавши в точці х0 аргументу приріст ∆х, знайти відповідний приріст ∆f функції:

∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0);

2) знайти відношення

3) з’ясувати, до якого числа прямує відношення при ∆х 0, тобто знайти границю

ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції f(х) = у точці х0 = 1.

Розв’язання. Дотримуючись наведеної схеми, запишемо:

3) при ∆х 0 значення виразу - прямують до числа — 1, тобто

Відповідь: -1.

Зазначимо, що, знайшовши значення пі), ми тим самим знайшли кутовий коефіцієнт k(x0) дотичної, проведеної до графіка функції ∆(х) = у точці з абсцисою х0 = 1.

Він дорівнює -1, тобто k (1) = -1. Тоді, позначивши через а кут, утворений цією дотичною з додатним напрямом осі абсцис, можемо записати: tg а = -1. Звідси а = (рис. 44.1).

Узагалі, можна зробити такий висновок: кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, дорівнює значенню похідної функції f у точці х0, тобто

Ця рівність виражає геометричний зміст похідної.

Рис. 44.1

Зважаючи на означення миттєвої швидкості, можна зробити такий висновок: якщо у = s(t) — закон руху матеріальної точки по координатній прямій, то її миттєва швидкість у момент часу t0 дорівнює значенню похідної функції у = s(t) у точці t0, тобто

v(t0) = s'(t0)

Ця рівність виражає механічний зміст похідної.

Якщо функція f має похідну в точці х0, то цю функцію називають диференційовною в точці х0.

Нехай функція f є диференційовною в точці х0. З геометричного змісту похідної випливає, що до графіка функції f у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну (рис. 44.2). І навпаки, якщо до графіка функції f у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну, то функція f є диференційовною в точці х0.

Рис. 44.2

Рис. 44.3

На рисунку 44.3 зображено графіки функцій, які в точці х0 мають розрив або «злом». До цих графіків у точці з абсцисою х0 не можна провести дотичну. Ці функції не диференційовні в точці х0.

На рисунку 44.4 зображено графіки функцій, які в точці з абсцисою х0 мають вертикальну дотичну. Отже, ці функції не диференційовні в точці х0.

Рис. 44.4

Покажемо, наприклад, що функція f(х) = | х |, графік якої має «злом» у точці х0 = 0, не є диференційовною в цій точці. Маємо:

1) ∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0) = | х0 + ∆х | - | х0| = | 0 + ∆х | - | 0 | = | ∆х |;

3) у прикладі 3 п. 37 було показано, що функція не має границі в точці х0 = 0; це означає, що не існує границі тобто функція f не є диференційовною в точці х0 = 0.

Теорема 44.1 Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.

Доведення. Оскільки функція f диференційовна в точці х0, то можна записати:

Маємо: ∆х = х - х0. Очевидно, що коли ∆х 0, то х х0. Тоді

Маємо:

Отже,

Звідси

Це означає, що функція ∆ є неперервною в точці х0.

Зазначимо, що неперервна в точці х0 = 0 функція f(х) = | х | не є диференційовною в цій точці. Цей приклад показує, що неперервність функції в точці є необхідною, але не є достатньою умовою диференційовності функції в цій точці (рис. 44.5).

Нехай М — множина точок, у яких функція f диференційовна. Кожному числу х ∈ М поставимо у відповідність число f'(х). Таке правило задає функцію з областю визначення М. Цю функцію називають похідною функції у = f(х) і позначають f' або у'.

Якщо функція f диференційовна в кожній точці деякої множини М, то говорять, що вона диференційовна на множині М. Наприклад, на рисунку 44.6 зображено графік функції, диференційовної на інтервалі І. На інтервалі І цей графік не має розривів і «зломів».

Якщо функція f диференційовна на D(f), то її називають диференційовною.

Знаходження похідної функції f називають диференціюванням функції f.

Рис. 44.5

Рис. 44.6

ПРИКЛАД 2 Продиференціюйте функцію f(х) = kх + n.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

1) ∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0) = (k (х0 + ∆х) + b) - (kx0 + b) = k∆х;

2)

3) за означенням похідної

Отже, f'(x0) = k.

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f, то остання рівність означає, що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність f'(х) = k.

Висновок про те, що похідна лінійної функції f(x) = kx + b дорівнює k, записують також у вигляді

(1)

Якщо у формулу (1) підставити k = 1 і b = 0, то отримаємо:

(х)' = 1

Якщо ж у формулі (1) покласти k = 0, то отримаємо:

(b)' = 0

Ця рівність означає, що похідна функції, яка є константою, у кожній точці дорівнює нулю.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть похідну функції f(х) = x2.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

1) ∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0) = (х0 + ∆х)2 - х20 = 2х0∆х + ∆х2;

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f(х) = х2, то для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

f'(х) = 2х.

Останню рівність записують також у вигляді

2)' = 2х (2)

ПРИКЛАД 4 Знайдіть похідну функції f(х) = x3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f, то для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

f'(х) = 3х2.

Отриману рівність можна записати так:

3)' = 3х2 (3)

Формули (2) і (3) є окремими випадками більш загальної фор

мули

(4)

Наприклад, (х5)' = 5х4, (х7)'= 7х6.

ПРИКЛАД 5 Доведіть, що похідна функції f(х) = хn, n ∈ ℕ, n > 1, дорівнює nxn-1.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

2) нагадаємо, що аn - bn = (а - b)(аn-1 + аn-2 + … + bn-1). Тоді можна записати:

3)

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f, то для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність

f'(x) = nxn-1.

Формула (4) залишається справедливою для будь-якого n ∈ ℤ і х ≠ 0, тобто

(5)

Доведіть це твердження самостійно.

Наприклад, скористаємося формулою (5) для знаходження похідної функції f(х) = .

Маємо:

Таким чином, для будь-якого х ≠ 0 виконується рівність

або

ПРИКЛАД 6 Продиференціюйте функцію f (x) = .

Розв’язання. Нехай х0 — довільна точка області визначення функції f, тобто х0≥0.

1)

2) Маємо:

3) Знайдемо границю

При х0 > 0 маємо:

При х0 = 0 маємо:

Тому

Звідси випливає, що функція f(х) = не є диференційовною в точці х0 = 0.

Таким чином, функція f(х) = є диференційовною на множині (0; +∞), причому

Отже, для х > 0 можна записати:

або

Формулу (5) також можна узагальнити для будь-якого r ∈ ℚ і х > 0:

(6)

Наприклад, знайдемо похідну функції f(х) = на множині (0; +∞), скориставшись формулою (6). Маємо:

Зазначимо, що знаходити похідну функції заміняючи її на функцію не можна, оскільки у цих функцій різні області визначення. Покажемо, як можна отримати формулу для знаходження похідної функції

Маємо:

Зрозуміло, що коли х0 = 0, то цієї границі не існує, отже, функція не диференційовна в точці х0 = 0.

Якщо х0≠ 0, то можна записати:

Отже, для будь-якого х ≠ 0 виконується рівність

або

Узагалі, похідну функції n ∈ ℕ, n > 1, можна знаходити за формулою

(7)

Якщо n — непарне натуральне число, то формула (7) дає змогу знаходити похідну функції f у всіх точках х таких, що х ≠ 0.

Якщо n — парне натуральне число, то формула (7) дає змогу знаходити похідну функції f для всіх додатних значень х.

Звернемося до тригонометричних функцій у = sin x і у = cos x. Ці функції є диференційовними, і їхні похідні знаходять за такими формулами:

(sin х)' = cos x

(cos х)' = -sin x

Доведемо це.

Нехай f(х) = sin х.

Для довільної точки х0 маємо:

1) ∆f = sin (х0 + ∆х) - sin х0;

Скориставшись першою чудовою границею і неперервністю функції у = cos х, можна записати:

Отже, формулу (sin х)' = cos х доведено.

Формулу (cos х)' = -sin х можна довести аналогічно.

Під час обчислювання похідних зручно користуватися таблицею похідних, розміщеною на форзаці 4.

У п. 39 (приклад 3) було показано, що функція де — функція Діріхле, будучи визначеною на ℝ, є неперервною рівно в одній точці х0 = 0, причому

Цікаво з’ясувати, чи є функція f диференційовною в точці х0 = 0.

Маємо:

Оскільки функція Діріхле не має границі в жодній точці області визначення, то не існує границі

Отже, функція f не є диференційовною в точці х0 = 0.

Розв’язуючи вправу 39.29, ви показали, що функція також є неперервною рівно в одній точці х0 = 0.

Дослідимо на диференційовність функцію g у точці х0 = 0. Маємо:

Отже, похідна функції g в точці х0 = 0 існує і дорівнює нулю.

Зауважимо, що — це приклад функції, яка визначена на ℝ і диференційовна рівно в одній точці.

ВПРАВИ

44.1. Знайдіть похідну функції:

44.2. Знайдіть похідну функції:

44.3. Знайдіть похідну функції:

44.4. Продиференціюйте функцію:

44.5. Продиференціюйте функцію:

44.6. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

44.7. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

44.8. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

44.9. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

44.10. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

44.11. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(х), якщо:

44.12. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0:

44.13. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0:

44.14. Знайдіть за допомогою графіка функції f (рис. 44.7) значення f'(x1) і f'(x2).

Рис. 44.7

44.15. Знайдіть за допомогою графіка функції f (рис. 44.8) значення f'(x1) і f'(x2).

Рис. 44.8

44.16. На рисунку 44.9 зображено графік функції f. Укажіть кілька значень аргументу х, для яких:

1) f'(x) > 0; 2) f'(х)< 0; 3) f'(х) = 0.

Рис. 44.9

Рис. 44.10

44.17. До графіка функції f у точці з абсцисою х0 проведено дотичну (рис. 44.10). Знайдіть f'(х0).

44.18. До графіка функції f у точці з абсцисою х0 проведено дотичну (рис. 44.11). Знайдіть f'(х0).

Рис. 44.11

Рис. 44.12

44.19. На рисунку 44.12 зображено графік функції f. Укажіть точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких похідна не існує.

44.20. На рисунку 44.13 зображено графік функції f. Укажіть точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких похідна не існує.

Рис. 44.13

44.21. На рисунку 44.14 зображено графік функції f. Порівняйте числа:

1) f'(-5) і f'(1); 3) f(-2) і f'(4);

2) f'(-1) і f'(6); 4) f'(0) і f'(5).

Рис. 44.14

44.22. Дотична до графіка функції f у точці з абсцисою х0 має кутовий коефіцієнт k. Знайдіть х0, якщо:

44.23. Дотична до графіка функції f у точці з абсцисою х0 має кутовий коефіцієнт k. Знайдіть х0, якщо:

44.24. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = t2. Знайдіть Який механічний зміст має знайдена величина?

44.25. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = t3. Знайдіть s'(2). Який механічний зміст має знайдена величина?

44.26. Доведіть, користуючись означенням, що функція не є диференційовною в точці х0 = 0.

44.27. Доведіть, користуючись означенням, що функція не є диференційовною в точці х0 = 0.

44.28. Доведіть, користуючись означенням, що функція є диференційовною в точці х0 = 0. Знайдіть її похідну в цій точці.

44.29. Доведіть, користуючись означенням, що функція f(х) = x | х | є диференційовною в точці х0 = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.

44.30. Знайдіть похідну функції f(х) = х2 | х | у точці х0 = 0.

44.31. Доведіть, користуючись означенням, що функція

є диференційовною в точці х0 = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.

44.32. Знайдіть похідну функції х0 = 2.

44.33. Доведіть, користуючись означенням, що функція є диференційовною в точці х0 = 0.

44.34. Доведіть, користуючись означенням, що функція не є диференційовною в точках х1 =-1 і х2 = 1. Проілюструйте отриманий результат графічно.

44.35. Доведіть, користуючись означенням, що функція

не є диференційовною в точці х0 = 0.

44.36. Доведіть, користуючись означенням, що функція

є диференційовною в точці х0 = 0, і знайдіть f'(0).

44.37. Доведіть, користуючись означенням, що функція

є диференційовною в точці х0 = 0.

44.38. Доведіть, що функція

є диференційовною рівно в одній точці х0 = 0. Наведіть приклад функції, що є диференційовною в усіх точках координатної прямої, крім точки х0 = 0.

44.39. Наведіть приклад функції, диференційовної рівно у двох точках.

44.40. Функція f визначена на ℝ і диференційовна в точці х0. Знайдіть границю послідовності (аn), яка задана формулою загального члена:

44.41. Функція f визначена на ℝ і диференційовна в точці х0. Знайдіть границю послідовності (аn), яка задана формулою загального члена

44.42. Доведіть, користуючись означенням, що функція

є диференційовною в точці х0 = 0.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити