Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

45. Правила обчислення похідних

Знайдемо, користуючись означенням, похідну функції f(х) = х2 + x у точці х0∈ ℕ.

3) якщо ∆х —> 0, то значення виразу 2х0 + ∆х + 1 прямують до числа 2х0 + 1. Отже, при будь-якому х0 ∈ ℝ

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f(х) = x2 + х, то для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність

f'(x) = 2х +1,

тобто

2 + х)' = 2х + 1.

З попереднього пункту вам відомо, що (х2)' = 2х і (х)' = 1. Таким чином, отримуємо:

2 + х)' = (х2)' + (х)'.

Отже, похідну функції f(х) = х2 + х можна було знайти як суму похідних функцій у = x2 і у = x.

Справедливою є така теорема1.

Теорема 45.1 (похідна суми). У тих точках, у яких є диференційовними функції y = f(x) і y = g(x), також є диференційовною функція y = f(x) + g(x), причому для всіх таких точок виконується рівність

(f(x) + f(x))' = f'(x) + g'(x).

Коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Використовують і такий спрощений запис:

(f + g)' = f' + g'

Доведення. Нехай х0 — довільна точка, у якій функції f i g є диференційовними. Знайдемо приріст функції у = f(х) + g(x) у точці х0. Маємо:

∆у = f(х0 + ∆х) + g (х0 + ∆х) - f (х0) - g (х0) = (f(х0 + ∆х) - f(х0)) + (g (х0 + ∆x) - g (х0)) = ∆f + ∆g.

Запишемо:

Оскільки функції f і g є диференційовними в точці х0, то існують границі

Звідси отримуємо:

Отже, функція у = f(x) + g’(x) є диференційовною в точці х0, причому її похідна в цій точці дорівнює f'(x0) + g'(x0).

Теорему 45.1 можна узагальнити для будь-якої скінченної кількості доданків:

Використовуючи метод математичної індукції, доведіть цей факт самостійно.

Дві теореми, наведені нижче, також спрощують знаходження похідної.

1 Умовами теорем 45.1-45.4 передбачено таке: якщо функції f і g є диференційовними в точці х0, то відповідно функції у = f(x) + g(x), у = f(x) g(x), y = та у = f(g(x)) визначені на деякому проміжку, що містить точку х0.

Теорема 45.2 (похідна добутку). У тих точках, у яких є диференційовними функції у =f(х) і у = g(x), також є диференційовною функція y = f(x) g(x), причому для всіх таких точок виконується рівність

(f(x) g(x)') = f'(x)g(x) + g'(x)f(x).

Використовують і такий спрощений запис:

(fg)' = f'g + g'f

Доведення. Нехай х0 — довільна точка, у якій функції f i g є диференційовними. Знайдемо приріст функції у = f(x) g(x) у точці х0. Ураховуючи рівності f(x0 + ∆х) = f(х0) + ∆f, g(x0 + ∆х) = g(х0) + ∆g, маємо:

∆у = f (х0 + ∆х) g (х0 + ∆х) - f(x0) g(x0) =

= (f(x0) + ∆f) (g(x0) + ∆g) - f(x0) g(x0) =

= f (x0) g(x0) + ∆f ∙ g(x0) + ∆g ∙ f (x0) + ∆f ∙ ∆g - f (x0)g(x0) =

= ∆f ∙ g(x0) + ∆g ∙ f(x0) + ∆f ∙ ∆g.

Запишемо:

Оскільки функції f і g є диференційовними в точці х0, то існують границі

Тепер можна записати:

Таким чином, функція у = f(х) g(x) є диференційовною в точці х0, причому її похідна в цій точці дорівнює f'(х0) g(x0) + g'(x0) f(x0).

Наслідок. У тих точках, у яких є диференційовною функція у = f(x), також є диференційовною функція у = kf(x), де k — деяке число, причому для всіх таких точок виконується рівність

(kf(x)y = kf'(x).

Коротко говорять: постійний множник можна виносити за знак похідної.

Використовують і такий спрощений запис:

(kf)' = kf'

Доведення. Оскільки функція у = k диференційовна в будь- якій точці, то, застосовуючи теорему про похідну добутку, можна записати:

(kf(x))' = (k)' f(x) + kf'(x) = 0 ∙ f(x) + kf'(x) = kf'(x).

Теорема 45.3 (похідна частки). У тих точках, у яких функції у = f(x) і у = g(x) є диференційовними та значення функції g не дорівнює нулю, функція y = також є диференційовною, причому для всіх таких точок виконується рівність

Використовують і такий спрощений запис:

З доведенням теореми 45.3 ви можете ознайомитися на заняттях математичного гуртка.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції:

Розв’язання. 1) Користуючись теоремою про похідну суми та наслідком з теореми про похідну добутку, отримуємо:

2) За теоремою про похідну добутку отримуємо:

3) Маємо: у' = (х3cos х)' = (х3)' ∙ cos х + (cos х)' ∙ х3 =

= 3х2cos х - sin х ∙ х3 = 3х2 cos х - х3sin х.

4) За теоремою про похідну частки отримуємо:

5) Маємо:

Проте помилковим було б вважати, що отриманий результат є відповіддю до даної задачі.

Річ у тім, що при обчисленні похідних спиратися на теорему про похідну добутку двох функцій можна лише тоді, коли обидві ці функції є диференційовними. У даному прикладі функція не є диференційовною в точці х0 = 0, а в усіх інших точках координатної прямої і функція і функція g(x) = sin x є диференційовними. Це означає, що теорему про похідну добутку було коректно застосовано для обчислення похідної функції для всіх х ≠ 0. Застосовувати ж цю теорему для обчислення похідної добутку функцій і g(x) = sin x у точці х0 = 0 не можна. Проте це ще не означає, що розглядувана функція

не диференційовна в точці х0 = 0. У таких випадках звертаються до означення похідної.

Маємо:

Тоді

Таким чином, функція є диференційовною в точці х0 = 0, причому h'(0) = 0.

Маємо відповідь:

Використовуючи теорему про похідну частки, легко довести, що

Справді,

Формулу доведіть самостійно.

Розглянемо функцію у = sin2 х. Обчислити похідну цієї функції нескладно, якщо подати її у вигляді у = sin х ∙ sin х і застосувати теорему про похідну добутку. Але для обчислення похідної, наприклад, функції у = sin7 х цей підхід не є ефективним. Функція у = sin7 х є складеною функцією у = f(g(x)), де f(t) = t7, g(x) = sin x.

Знаходити похідну складеної функції можна за допомогою такої теореми.

Теорема 45.4 (похідна складеної функції). Якщо функція t = g(x) диференційовна в точці х0, а функція y = f(t) диференційовна в точці t0, де t0 = g(x0), то складена функція h(x) = f(g(x)) є диференційовною в точці х0, причому

h'(x0) = f'(t0) ∙ g'(x0).

З доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на с. 374.

Наприклад, функція h(x) = sin' х є складеною функцією h (х) = f(g(x)), де f(t) = t7, g(х) = sіn х. Обчислимо похідну цієї складеної функції в точці х0 ∈ ℝ. Маємо: t0 = g(х0) = sinх0. Оскільки f'(t0) = 7t0 = 7sin6х0, g'(x0) = cosx0, то за теоремою про похідну складеної функції h'(x0) = 7sin6х0 ∙ cosx0.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть похідну функції:

Розв’язання. 1) Дана функція у = (3х - 7)6 є складеною функцією у = f(g(x)), де f(t) = t6, g(x) = Зх - 7. Оскільки f'(t) = 6t5, a g'(х) = 3, то за теоремою про похідну складеної функції можна записати:

у'(х) = f'(t) g'(x) = 6t5 ∙ 3 при t = 3х - 7,

тобто

у'(х) = 6 (Зх - 7)5 ∙ 3 = 18 (3х - 7)5.

Розв’язання цієї задачі можна оформити й так:

у' = ((3х - 7)6)' = 6 (3х - 7)5 ∙ (3х - 7)' = 6 (3х - 7)5 ∙ 3 = 18 (3х - 7)5.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть значення похідної функції у точці х0 = 0.

Розв’язання. Дана функція є складеною функцією h (х) = f(g(x)), де g(х) = х2sin х. Функція g є диференційовною в точці

х0 = 0, але функція f не є диференційовною в точці t0 = g(0) = 0. Отже, теорему 45.4 для пошуку похідної складеної функції h у точці х0 = 0 застосувати не можна.

Скориставшись означенням похідної, отримуємо:

Отже, незважаючи на недиференційовність функції f у точці t0 = = 0, похідна складеної функції в точці х0 = 0 існує і дорівнює 1.

Розглянемо неперервну та оборотну функцію f, область визначення якої — деякий проміжок (рис. 45.1). Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то до графіка цієї функції в точці (х0; у0), де y0 = f(x0), можна провести дотичну. Нехай ця дотична не є горизонтальною прямою, тобто f'(х0) ≠ 0.

Позначимо через g функцію, обернену до f. Ви знаєте, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Вони є рівними фігурами, а отже, мають багато однакових геометричних властивостей. Має місце таке твердження: якщо неперервна та оборотна функція f визначена на деякому проміжку і графік функції f має негоризонтальну дотичну в точці (х00), то графік оберненої функції g в точці (у00) має невертикальну дотичну

(рис. 45.1). Це означає, що обернена функція g є диференційовною в точці у0.

Рис. 45.1

Рис. 45.2

Розглянемо неперервну та оборотну функцію f(х) = sin x, (рис. 45.2). У точках графік функції f має горизонтальні дотичні. Це означає, що графік оберненої функції g(x) = arcsin х у точках

Має вертикальні дотичні. Тому функція g(x) = arcsin х не є диференційовною в точках -1 і 1.

У точках, відмінних від А і В, графік функції f має негоризонтальні дотичні. Тому графік функції g у точках, відмінних від і В1, має невертикальні дотичні. Отже, функція g(x) = arcsin х є диференційовною на інтервалі (-1; 1).

Знайдемо похідну функції g(x) = arcsin х.

Маємо: sin (arcsin х) = х. Диференціюючи обидві частини цієї рівності, отримуємо:

cos (arcsin х) ∙ (arcsin х)' = 1.

Оскільки

для всіх х ∈ (-1; 1), то

Із курсу алгебри 10 класу ви знаєте, що arcsin х + arccos х = .

Оскільки функція у = arcsin х не є диференційовною в точках -1 і 1, то функція у = arccos х також не є диференційовною в точках -1 і 1.

Для будь-якого х ∈ (-1; 1) можна записати:

Отже,

Міркуючи аналогічно, ви можете самостійно довести диференційовність функцій у = arctg х і у = arcctg х та вивести такі формули:

Зв’язок між похідними взаємно обернених функцій установлює така теорема.

Теорема 45.5. Нехай оборотна функція у = f(x) має в точці х0 похідну, відмінну від нуля, а обернена до неї функція x = g(y) є неперервною в точці у0, де у0 = f(x0). Тоді функція g є диференційовною в точці у0 і

З доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на с. 375.

ВПРАВИ

45.1. Знайдіть похідну функції:

45.2. Знайдіть похідну функції:

45.3. Знайдіть похідну функції:

1) у = (х + 2)(х2 - 4х + 5); 3) у = х2sin х;

2) у = (3х + 5)(2х2 - 1); 4) y = х ctg х.

45.4. Знайдіть похідну функції:

1) у = (х3 - 2)(х2 + 1); 3) y = x4cosx;

2) у = (х + 5)(1 - х3); 4) y = xtgx.

45.5. Знайдіть похідну функції:

45.6. Знайдіть похідну функції:

45.7. Чому дорівнює значення похідної функції f у точці х0, якщо:

45.8. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0, якщо:

45.9. Знайдіть похідну функції:

45.10. Знайдіть похідну функції:

45.11. Василь Заплутайко для знаходження похідної функції у = sin 2х застосовує такий алгоритм:

1) робить заміну 2х = t і отримує функцію у = sin t;

2) далі пише: у' = (sin t)' = cos t;

3) потім підставляє значення 2х = t і робить висновок, що (sin 2х)' = cos2x.

У чому полягає помилка Василя?

45.12. Тіло рухається по координатній прямій за законом s(y) = (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть швидкість руху тіла в момент часу t0 = 5 с.

45.13. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = (t + 2)2 (t + 5) (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть її швидкість руху в момент часу t0 = 3 с.

45.14. Знайдіть похідну функції:

45.15. Знайдіть похідну функції:

45.16. Василь Заплутайко знаходить похідну функції f(х) = arcsinx + arccosx на її області визначення так:

для всіх х є D (f).

Чи погоджуєтеся ви з розв’язанням Василя? Чи правильну відповідь отримав Василь?

45.17. Знайдіть похідну функції у = arctg 4х + arcctg 4х.

45.18. Матеріальна точка масою 4 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = t2 + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть імпульс р (t) = mv(t) матеріальної точки в момент часу t0 = 2 с.

45.19. Тіло масою 2 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = 3t2 - 4t + 2 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть кінетичну енергію

Тіла в момент часу t0 = 4 с.

45.20. Тіло рухається по координатній прямій за законом s(t) = = 2t2 - 8t + 15 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Визначте координату тіла в момент часу, коли його кінетична енергія дорівнює нулю.

45.21. Знайдіть похідну функції:

45.22. Обчисліть:

45.23. Знайдіть похідну функції:

45.24. Знайдіть похідну функції:

45.25. У точках х1 = -1 і х2 = 2 знайдіть похідну функції:

1) f(x) = х2 - 4 | х | + 3; 2) f(x) = | х2 - 4х + 3 |.

45.26. У точках х1 = -2 і х2 = 2 знайдіть похідну функції:

1) f(x) = х2 - 6 | х | + 5; 2) f(x) = | х2 - 6х + 5 |.

45.27. Про функцію f відомо, що f(1) = -1, f'(1) = 2. Знайдіть g'(1), якщо:

45.28.Про функцію f відомо, що f(2) = 1, f'(2) = 3. Знайдіть g'(2), якщо:

45.29. Про диференційовну функцію f відомо, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність f3(х) + х2f(х) + 1 = х. Знайдіть f'(1).

45.30. Про диференційовну функцію f відомо, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність х2f3(х) + f(х) = х. Знайдіть f'(0).

45.31. Доведіть, що похідна періодичної функції є періодичною функцією. Наведіть приклади.

45.32. Доведіть, що похідна парної функції є непарною функцією. Наведіть приклади.

45.33. Доведіть, що похідна непарної функції є парною функцією. Наведіть приклади.

45.34. Функції f i g визначені на ℝ. Що можна стверджувати про диференційовність функції у = f(х) + g(x) у точці х0, якщо:

1) f є диференційовною в точці х0, a g — ні;

2) f і g не диференційовні в точці х0?

45.35. Функції f i g визначені на ℝ. Що можна стверджувати про диференційовність функції y = f(x) g(x) у точці х0, якщо:

1) f є диференційовною в точці х0, a g — ні;

2) f і g не диференційовні в точці х0?

45.36. Наведіть приклад функцій f i g таких, щоб функція f(g(x)) була диференційовною в точці х0, причому:

1) f є диференційовною в точці g(x0), a g не є диференційовною в точці х0;

2) g є диференційовною в точці х0, а f не є диференційовною в точці g(x0);

3) f не є диференційовною в точці g(x0) і g не є диференційовною в точці х0.

45.37. Василь Заплутайко шукає похідну функції так:

1) розглядає функцію , як складену функцію у = f(g(x)), де

2) використовуючи теорему про похідну складеної функції, записує:

3) далі при х ≠ 0 отримує висновок, що а в точці х = 0 дана функція не є диференційовною. Чи погоджуєтеся ви з Василем?

45.38. Знайдіть похідну функції на проміжку

45.39. Знайдіть похідну функції

45.40. Знайдіть f'(0), якщо f(х) = (х + 1) (х + 2) ... (х + 10) sin х.

45.41. Обчисліть суму S = 100 ∙ 399 + 98 ∙ З97 + 96 ∙ З95 +... + 2 ∙ 3.

45.42. Обчисліть суму S = 430 - 2 ∙ 429 + 3 ∙ 428 - ... + 29 ∙ 42 - 30 ∙ 4.

45.43. Знайдіть усі такі многочлени Р, що Р(Р(х)) = х100 для всіх х ∈ ℝ.

45.44. Доведіть, що функція

є диференційовною на ℝ, але функція у = f'(x) не є неперервною.

45.45. На дошці записано функції у = (х - 1)2 і Якщо на дошці записано функції f і g, то дозволяється дописати будь-яку з функцій у = f2 (х), у = f (х) + g(x), у = f (х) g(х), у =f (g(х)), у = f(x) + с, y = cf(x), де с — довільна стала. Чи може в результаті виконання декількох таких дій на дошці з’явитися функція





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити