Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Доведення теорем про похідні складеної та оберненої функцій

Лема 45.1. Нехай функція f визначена на деякому проміжку, що містить точку х0. Функція f диференційовна в точці х0 тоді й тільки тоді, коли існує така неперервна в точці х0функція φ, що для всіх х ∈ D(f) виконується рівність f(x) - f(x0) = (х - х0) φ(х). При цьому f'(x0) = φ(х0).

Доведення. Нехай функція f диференційовна в точці х0. Тоді існує границя яка дорівнює f'(х0).

Розглянемо функцію

Оскільки то функція φ неперервна в точці х0. Тепер очевидно, щo для всіх x ∈ D (f) виконується рівність f(х) - f(х0) = (х - х0)φ(х). Тим самим доведено першу частину леми.

Нехай тепер існує така неперервна в точці х0 функція φ, що для всіх x ∈ D(f) виконується рівність f(х) - f(х0) = (х - х0)φ(х). Тоді для всіх х ∈ D(f), х ≠ х0, можна записати:

Оскільки функція φ неперервна в точці х0, то існує границя

Це означає, що функція f є диференційовною в точці х0 і φ(x0) = f'(x0).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити