§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Доведення теорем про похідні складеної та оберненої функцій

Лема 45.1. Нехай функція f визначена на деякому проміжку, що містить точку х₀. Функція f диференційовна в точці х₀ тоді й тільки тоді, коли існує така неперервна в точці х₀функція φ, що для всіх х ∈ D(f) виконується рівність f(x) - f(x₀) = (х - х₀) φ(х). При цьому f'(x₀) = φ(х₀).

Доведення. Нехай функція f диференційовна в точці х₀. Тоді існує границя яка дорівнює f'(х₀).

Розглянемо функцію

Оскільки то функція φ неперервна в точці х₀. Тепер очевидно, щo для всіх x ∈ D (f) виконується рівність f(х) - f(х₀) = (х - х₀)φ(х). Тим самим доведено першу частину леми.

Нехай тепер існує така неперервна в точці х₀ функція φ, що для всіх x ∈ D(f) виконується рівність f(х) - f(х₀) = (х - х₀)φ(х). Тоді для всіх х ∈ D(f), х ≠ х₀, можна записати:

Оскільки функція φ неперервна в точці х₀, то існує границя

Це означає, що функція f є диференційовною в точці х₀ і φ(x₀) = f'(x₀).