Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Доведення теореми про похідну складеної функції

Доведемо, що складена функція h(х) = f(g(x)), де функція t = g(x) диференційовна в точці х0, а функція у = f(t) диференційовна

в точці t0 =g(x0), є диференційовною в точці х0, причому

h'(x0) = f'(t0) ∙ g'(x0).

Доведення. Оскільки функція y = f(t) диференційовна в точці t0, то за лемою 45.1 існує неперервна в точці t0 функція у = φ(і) така, що для всіх t ∈ D (f) виконується рівність

f(t) - f(t0) = (t - t0) φ (t) (1)

і f'(t0) = φ(t0).

Зробивши в рівності (1) підстановки t = g(x), t0 = g(x0), отримаємо рівність

f(g(x)) - f(g(x0)) = (g(x) - g(x0)) φ(g(х)), (2)

яка виконується для всіх х із області визначення складеної функції h (x) = f(g(x)).

Оскільки функція t = g(x) є диференційовною в точці х0, то за лемою 45.1 для неї існує неперервна в точці х0 функція t = φ1(х) така, що для всіх х ∈ D (g) виконується рівність

g‘(x) - g - (x0) = (x - x01(x) (3)

і g'(x0) = φ1(x0).

З урахуванням рівності (3) рівність (2) можна переписати так: f(g(x)) - f(g(x0)) = (х - х0) φ1 (х) φ(g(x)).

Функція у = φ1 (х) φ(g(х)) є неперервною в точці х0 (доведіть це самостійно). Тому за лемою 45.1 складена функція h(x) = f(g(x)) є диференційовною в точці х0 і

h'(x0) = φ1 (x0) φ(g(x0)) = φ10) φ(t0) = g' (х0) f(t0).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити