Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Доведення теореми про похідну оберненої функції

Нехай функція у = f(x) є диференційовною в точці х0 і f'(x0) ≠ 0. Доведемо, що коли функція x = g(y), обернена до функції y = f(x), є неперервною в точці у0 = f(х0), то вона є диференційовною в цій точці.

Доведення. Оскільки функція y = f(x) диференційовна в точці х0, то за лемою 45.1 існує неперервна в точці х0 функція у = φ (х) така, що для всіх х є D (f) виконується рівність

f(х) - f(х0) = (х - х0) φ(х) (4)

і f'(х0) = φ(х0).

Зробивши в рівності (4) підстановки x = g(y), х0 = g(y0), отримаємо рівність

f(g(y)) - f(g(y0)) = (g(y) - g(y0)) φ(g(y)),

y - y0 =(g(y) - g(y0))φ(g(y)), (5)

яка виконується для всіх y ∈ D(g). З рівності (5) випливає, що φ (g(y)) ≠ 0 при всіх у ∈ D (g), де у ≠ у0. Крім цього, φ(g(y) = φ(х0) = f'(x0) ≠ 0. Тому φ(g(y)) ≠ 0 для всіх у ∈D(g). Тоді рівність (5) можна переписати так:

Функція є неперервною в точці у0 (доведіть це самостійно). Тому за лемою 45.1 функція х = g(y) є диференційовною в точці у0 і





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити