Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

46. Рівняння дотичної

Нехай функція f є диференційовною в точці х0. Тоді до графіка функції f у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну (рис. 46.1).

Із курсу геометрії 9 класу ви знаєте, що рівняння невертикальної прямої має вигляд у = kx + b, де k — кутовий коефіцієнт цієї прямої.

Зважаючи на геометричний зміст похідної, отримуємо: k = f'(x0).

Тоді рівняння дотичної можна записати так:

у = f'(x0) ⋅ x + b. (1)

Ця пряма проходить через точку М(х0; f(х0)). Отже, координати цієї точки задовольняють рівняння (1). Маємо:

f(x0) = f'(x0) ⋅ x + b.

Рис. 46.1

Звідси b = f(х0) - f '(х0) ∙ х0. Підставимо знайдене значення b у рівняння (1):

У = f'(x0) ⋅ x + f(x0) - f'(x0) ⋅ х0.

Перетворивши праву частину отриманої рівності, можна зробити висновок: рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, має вигляд

y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)

Наприклад, знайдемо рівняння дотичної до прямої f(х) = kx + b у точці з абсцисою х0. Маємо: f(x0) = kx0 + b; f'(x) = k; f'(x0) = k. Підставивши знайдені значення в рівняння дотичної, отримуємо: у = k (х - х0) + kx0 + b. Звідси у = kx + b.

Оскільки х0 вибрано довільно, то можна зробити такий висновок: дотична до прямої у будь-якій її точці збігається із самою прямою.

Цей приклад показує, що дотична до графіка функції може мати з графіком не одну, а навіть нескінченну кількість спільних точок.

ПРИКЛАД 1 Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = 2 - 4х - 3х2 у точці з абсцисою х0 = -2.

Розв’язання. Маємо: f(х0) = f(-2) = 2 - 4 ∙ (-2) - 3 ∙ (-2)2 =-2; f'(х) = -4 - 6х;

f'(x0) = f'(-2) =-4 - 6 ∙ (-2) = 8. Підставивши знайдені числові значення в рівняння дотичної, отримуємо: у = 8 (х + 2) - 2, тобто у = 8х + 14.

Відповідь: у = 8х + 14.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції якщо ця дотична паралельна прямій у = -2х + 4.

Розв’язання. Маємо:

Якщо дотична паралельна прямій у = -2х + 4, то її кутовий коефіцієнт k дорівнює -2.

Оскільки f'(x0) = k, де х0 — абсциса точки дотику шуканої прямої та графіка функції f, то f'(х0) = -2, тобто

Звідси

Отже, на графіку функції існують дві точки, у яких дотичні до нього паралельній даній прямій.

При х0 = 6 маємо: f(х0) = 5. Тоді рівняння дотичної має вигляд у = -2 (х - 6) + 5; у = -2х + 17.

При х0 = 2 отримуємо: f(х0) = -3. Тоді рівняння дотичної має вигляд у = -2 (х - 2) - 3; у = -2х + 1.

Відповідь: у = -2х + 17; у = -2х + 1.

ПРИКЛАД 3 Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = -х2 - 5х - 6, яка проходить через точку М (-1; -1).

Розв’язання. Зауважимо, що f(-1) + -1. Із цього випливає, що точка М (-1; -1) не належить графіку функції f.

Нехай А (х0; f(х0)) — точка дотику шуканої прямої до графіка функції f. Оскільки f(х0) = -х02 - 5х0 - 6 і f'(x0) = -2х0 - 5, то рівняння дотичної має вигляд

y = (-2х0 - 5) (х - х0) + (-х02 - 5х0 - 6).

Ураховуючи, що координати точки М (-1; -1) задовольняють отримане рівняння, маємо:

-1 = (-2х0 - 5)(-1 - х0) + (-х2 - 5х0 - 6).

Звідси, розкривши дужки та розв’язавши квадратне рівняння, отримаємо: х0 = 0 або х0 = -2. Таким чином, через точку М проходять дві дотичні до графіка функції f: у = -5х - 6 і у = -х - 2. Відповідь: у = -5х - 6; у = -х - 2.

ВПРАВИ

46.1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, якщо:

46.2. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, якщо:

46.3. Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:

46.4. Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:

46.5. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці його перетину з віссю абсцис:

1) f(х) = 8х3 - 1;

2) f(х) = х -.

46.6. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці його перетину з віссю абсцис:

46.7. Знайдіть координати точки параболи у = 2х2 - х + 1, у якій дотична до неї паралельна прямій у = 7х - 8.

46.8. У яких точках дотичні до графіка функції у = паралельні прямій у = -х?

46.9. До графіка функції f(х) = 2 sin х + 3 cos х проведено дотичні в точках з абсцисами Яке взаємне розміщення цих дотичних?

46.10. Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, якщо:

46.11. Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, якщо:

46.12. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис:

46.13. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f утворює гострий кут з додатним напрямом осі абсцис:

46.14. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції:

46.15. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції f(х) = х3 - х2 - 3х + 4.

46.16. Складіть рівняння дотичної до графіка функції:

1) f(x) = х2 - 5х, якщо ця дотична паралельна прямій у = -х;

2) якщо ця дотична паралельна прямій у = 3х;

3) f(х) = 2х3 + 3х2 - 10х - 1, якщо ця дотична паралельна прямій у = 2х + 1.

46.17. Складіть рівняння дотичної до графіка функції:

1) f(х) = 3х2 + 5х + 3, якщо ця дотична паралельна прямій у = -7х + 3:

2) f(x) = , якщо ця дотична паралельна прямій у = х.

46.18. Установіть, чи є пряма у = 12х - 10 дотичною до графіка функції f(х) = 4х3. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

46.19. Установіть, чи є пряма у = х дотичною до графіка функції у = sin х. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

46.20. Установіть, чи є пряма дотичною до графіка функції у = . У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

46.21. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(х) - х2 - 4 у точці з абсцисою х0 = -2.

46.22. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x) = х3 + х2 - 6х + 1 у точці з абсцисою х0 = 1.

46.23. Знайдіть площу трикутника, утвореного прямою у = 2 - х, віссю абсцис і дотичною до параболи у = 1 + 2х - х2 у точці її перетину з віссю ординат.

46.24. Знайдіть площу трикутника, обмеженого віссю х, прямою х = 4 і дотичною до графіка функції f(х) = х2 - 2х + 4 у точці з абсцисою х0 = 4.

46.25. Василь Заплутайко шукає дотичну до графіка функції f(x) = 3х - 1 + sin х у точці х0 = 0. Оскільки то біля точки х0 = 0 графік функції f поводиться майже так само, як і графік лінійної функції у = 3х - 1. Тому пряма у = 3х - 1 є дотичною до графіка функції f у точці х0 = 0. Чи погоджуєтеся ви з міркуваннями Василя?

46.26. На графіку функції f(x) = знайдіть точку, у якій дотична до нього перпендикулярна до прямої у - 2х + 1 = 0.

46.27. Чи існують дотичні до графіка функції f(x) = х3 + 2х - 1, які перпендикулярні до прямої у = -x?

46.28. При яких значеннях b і с парабола у = х2 + bх + с дотикається до прямої у = 4х + 1 у точці з абсцисою х0 = 1?

46.29. При яких значеннях а і b пряма у = 7х - 2 дотикається до параболи у = ах2 + bx+ 1 у точці А (1; 5)?

46.30. Парабола з вершиною на осі х дотикається до прямої, яка проходить через точки А (1; 2) і B (2; 4), у точці B. Знайдіть рівняння параболи.

46.31. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = -2х4 +1, якщо ця дотична проходить через точку

46.32. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = 2х3 + 2, якщо ця дотична проходить через точку М (0; -2).

46.33. У якій точці графіка функції потрібно провести дотичну, щоб ця дотична проходила через початок координат?

46.34. У якій точці графіка функції у = х + потрібно провести дотичну, щоб ця дотична перетнула вісь ординат у точці (0; 6)?

46.35. Функція g є оберненою до функції f(х) = х5 + 3х -1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g у точці з абсцисою х0 = 3.

46.36. Функція g є оберненою до функції f(х) = х3 +6х + 5. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g у точці з абсцисою х0 = -2.

46.37. Скільки розв’язків має система залежно від значення параметра а?

46.38. Скільки розв’язків має система залежно від значення параметра а?

46.39. Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції f(x) = 3 - х2 перетинаються в точці А, яка належить осі ординат. Знайдіть координати точки А.

46.40. Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції перетинаються в точці А, яка належить осі ординат. Знайдіть координати точки А.

46.41. Наведіть приклад диференційовної на ℝ. функції f такої, що f(х) = для всіх х ∈ (-∞; 2).

46.42. Наведіть приклад диференційовної на ℝ функції f такої що для всіх х ∈ [3; +∞).

46.43. При яких значеннях а пряма у = ах + 1 є дотичною до графіка функції

46.44. При яких значеннях а пряма у = 2х + а є дотичною до графіка функції

46.45. Знайдіть рівняння спільної дотичної до графіків функцій f(х) = х2 - 2х + 5 і g(x) = х2 + 2х - 11.

46.46. Знайдіть рівняння спільної дотичної до графіків функцій f(х) = х2 + 4х + 8 і g(x) = х2 + 8х + 4.

46.47. На координатній площині зображено графік функції f(х) = , на якому позначено точку А. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте дотичну до графіка функції f у точці А.

46.48. На координатній площині зображено графік функції f(х) = ах2, на якому позначено точку А. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте дотичну до графіка функції f у точці А.

46.49. Знайдіть рівняння прямої, яка дотикається до графіка функції f(х) = х4 - 2х3 + х2 + х -1 у двох точках.

46.50. Нехай Р — многочлен степеня n і А — точка на координатній площині. Доведіть, що існує не більше ніж n прямих, які проходять через точку А і дотикаються до графіка многочлена Р.

46.51. Про диференційовну на R. функцію f відомо, що вона в раціональних точках набуває раціональних значень, а в ірраціональних — ірраціональних. Чи обов’язково графіком функції f є пряма?

46.52. До графіка функції f у точці А проведено дотичну. Графік функції g отримано з графіка функції f у результаті перетворення руху, а точка В є образом точки А. Чи обов’язково в точці В до графіка функції g можна провести дотичну?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити