Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
47. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа
Розглянемо функцію f і таку точку х0 інтервалу (а; b), що 
(рис. 47.1, а). На рисунку 47.1, б зображено графік функції g такої, що 
Рис. 47.1
Нехай функції f і g є диференційовними в точці х0. Тоді до графіків цих функцій у точці з абсцисою х0 можна провести дотичні. З наочних міркувань очевидно, що ці дотичні будуть горизонтальними прямими. Оскільки кутовий коефіцієнт горизонтальної прямої дорівнює нулю, то f'(х0) = 0 i g'(x0) = 0.
Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.
Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], і функція у = s(t) набуває в точці t0 ∈ (а; b) найбільшого (найменшого) значення, то це означає, що в момент часу t0 матеріальна точка змінює напрям руху на протилежний. Зрозуміло, що в цей момент часу швидкість матеріальної точки дорівнює нулю, тобто v(t0) = s'(t0) = 0.
Отримані висновки підтверджує така теорема.
Теорема 47.1 (теорема Ферма). Нехай функція f, визначена на проміжку [а; b], у точці х0∈ (а; b) набуває свого найменшого (найбільшого) значення. Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то f'(x0) = 0.
Доведення. Розглянемо випадок, коли 
(випадок 
можна розглянути аналогічно).
Нехай х ∈ [a; b], тоді ∆f = f(х) - f(х0) ≥ 0. Якщо ∆х = х - х0 > 0 (рис. 47.2), то 
Звідси 
Рис. 47.2
Рис. 47.3
Якщо ∆х < 0 (рис. 47.3), то 
Звідси 
Оскільки функція f є диференційовною в точці х0, то існує границя 
Тоді
Звідси
тобто f'(х0) = 0.
На рисунку 47.4 зображено графік функції f, неперервної на відрізку [a; b] і диференційовної на інтервалі (a; b). Функція f у точках а і b набуває однакових значень.
Рис. 47.4
Мішель Ролль (1652-1719)
Французький математик, член Паризької академії наук.
Основні праці присвячені методам чисельного розв’язування рівнянь. Більшість наукових здобутків М. Ролля не були помічені науковою спільнотою за його життя; їх оцінили значно пізніше.
З рисунка видно: існує щонайменше одна така точка х0∈ (а; b), що дотична до графіка в точці з абсцисою х0 є горизонтальною прямою, тобто f'(х0) = 0.
Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.
Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], то рівність s(a) = s(b) означає, що в момент часу t = b матеріальна точка повернулася в початкове положення. Отже, у деякий момент часу t0 ∈ (а; b) вона змінила напрям руху на протилежний, тобто v(t0) = s'(t0) = 0.
Отримані висновки підтверджує така теорема.
Теорема 47.2 (теорема Ролля) Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), причому f(а) = f(b), то існує така точка х0∈ (а; b), що f'(x0) = 0.
Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку [а; b], то за другою теоремою Вейєрштрасса на відрізку [a; b] існують такі значення аргументу, при яких функція f досягає своїх найбільшого та найменшого значень. Іншими словами, існують такі числа m і М, що 
Тоді для будь-якого х ∈ [a; b] виконується нерівність m ≤ f(х) ≤ М.
Якщо m = М, то функція f є константою на проміжку [а; b]. Отже, f'(х) = 0 для будь-якого х ∈ (а; b).
Розглянемо випадок, коли m ≠ М. Тоді функція f не може на одному кінці відрізка [a; b] набувати найбільшого значення, а на іншому — найменшого. Справді, f(a) = f(b), а m ≠ М. Отже, існує така точка х0 ∈ (а; b), що функція в цій точці набуває свого найбільшого або найменшого значення. Оскільки функція f диференційовна в точці х0, то за теоремою Ферма f'(х0) = 0.
ПРИКЛАД 1 Диференційовна на ℝ функція f має n нулів. Доведіть, що функція f' має не менше ніж n — 1 нулів.
Розв’язання. Нехай х1 < х2 < … < хn — нулі функції f. На кожному з (n - 1) відрізків 
функція f задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому на кожному з інтервалів (хi; хi+1) є щонайменше один нуль функції f'.
ПРИКЛАД 2 Рівняння х4 + ах3 + bх2 + с = 0 має чотири різних дійсних корені. Доведіть, що 
Розв’язання. Позначимо ліву частину даного рівняння через f(x). За умовою рівняння f(х) = 0 має чотири різних дійсних корені. Тоді за допомогою прикладу 1 цього пункту встановлюємо, що рівняння f'(х) = 0, тобто рівняння 4х3 + 3ах2 + 2bх = 0, має три різних дійсних корені. Це рівняння має корінь х = 0. Отже, квадратне рівняння 4х2 + 3ах + 2b = 0 має два різних дійсних корені.
Його дискримінант D = 9а2 - 32b. Оскільки D > 0, то 
На рисунку 47.5 зображено графік функції, неперервної на відрізку [а; b] і диференційовної на інтервалі (а; b).
Проведемо пряму АВ. Із трикутника АМВ можна знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої:
З рисунка видно: на дузі АВ існує така точка С, що дотична до графіка в цій точці паралельна прямій АВ.
Рис. 47.5
Кутовий коефіцієнт f'(x0) цієї дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту прямої АВ, тобто існує точка х0∈ (а; b) така, що
Отриманий висновок ілюструє також механічна інтерпретація. Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [a; b], то її середня швидкість дорівнює:
Жозеф Луї Лагранж (1736-1813)
Французький математик, механік і астроном, президент Берлінської академії наук, член Паризької академії наук.
Основні праці — у галузі математичного аналізу, варіаційного числення, алгебри, теорії чисел, диференційних рівнянь, механіки. Кавалер ордена Почесного легіону.
Зрозуміло, що під час руху є такий момент t0 ∈ (а; b), коли миттєва швидкість дорівнює середній, тобто
Отримані висновки підтверджує така теорема.
Теорема 47.3 (теорема Лагранжа). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), то існує така точка х0∈ (а; b), що
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію g(x) = f(x) - λх, де
Легко перевірити (зробіть це самостійно), що g(a) = g(b). Тепер очевидно, що функція g задовольняє всі умови теореми Ролля.
Таким чином, існує точка х0 ∈(а; b) така, що g'(x0) = 0. Оскільки g'(x) = f'(x) - λ, то f'(х0) - λ = 0. Звідси
Зауважимо, що теорема Лагранжа є узагальненням теореми Ролля. Справді, якщо f(a) = f(b), то за теоремою Лагранжа
Звернемо увагу, що теореми Ролля і Лагранжа не вказують, як знайти точку х0. Вони лише гарантують, що існує точка з певною властивістю.
ПРИКЛАД 3 Доведіть нерівність
Розв’язання. Скористаємося теоремою Лагранжа для функції f(х) = cos х на відрізку 
Тоді
Звідси
Оскільки
ВПРАВИ
47.1. Відомо, що функція f у точці х0 набуває найбільшого або найменшого значення. Перевірте рівність f'(х0) = 0, якщо:
47.2. Відомо, що функція f у точці х0 набуває найбільшого або найменшого значення. Перевірте рівність f'(х0) = 0, якщо:
1) f(х) = 5 - х2, х0 = 0; 2)f(x) = cosx, х0 = 0.
47.3. Проілюструйте графічно (зобразіть графік функції f) таке твердження: для кожного числа х0 ∈ (а; b) існує така неперервна на [а; b] і диференційовна на (а; b) функція f, що f(а) = f(b) і f'(х) = 0 лише при х = х0.
47.4. Проілюструйте графічно (зобразіть графік функції f) таке твердження: для кожного числа х0 є (а; b) існує така неперервна на [а; b] і диференційовна на (а; b) функція f, що 
лише при х = х0.
47.5. Запишіть теорему Лагранжа для функції f і відрізка [1; 2]. На інтервалі (1; 2) знайдіть таку точку х0, для якої виконується рівність f(2) - f(1) = f'(х0), якщо:
47.6. Запишіть теорему Лагранжа для функції f і відрізка [1; 3]. На інтервалі (1; 3) знайдіть таку точку х0, для якої виконується рівність 
якщо:
47.7. Використовуючи теорему Ферма, доведіть, що функція f не набуває в точці х0 ні найбільшого, ні найменшого значень, якщо:
47.8. Доведіть, що функція f не набуває в точці х0 ні найбільшого, ні найменшого значень, якщо:
47.9. Функція f, D(f) = [а; b], неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), причому f'(х) ≠ 0 для всіх х ∈ (а; b). Доведіть, що функція f є оборотною.
47.10. Функція f диференційовна на відрізку [0; 1], причому f'(х) ≠ 1 для всіх х ∈ [0; 1]. Доведіть, що f(1) ≠ f(0) + 1.
47.11. Використовуючи теорему Лагранжа, доведіть нерівність n(b - a)an-1 ≤ bn - аn ≤ n(b - a)bn-1, де 0 < а < b, n ∈ ℕ.
47.12. Доведіть нерівність 
де 0 < у < х, n ∈ N, n ≥ 2.
47.13. Доведіть нерівність:
47.14. Доведіть нерівність:
1) | sin х - sin у | ≤ | х - у |;
2) | ctg х - ctg у | ≤ | х - у |, х ∈ (0; я), у ∈ (0; я).
47.15. Доведіть, що 
47.16. Доведіть, що 
47.17. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Доведіть існування такого х0, що f'(х0) = 0.
47.18. Функція f диференційовна на ℝ. Для довільного х доведіть існування такого с, що f(х) = f(0) + xf'(c).
47.19. Нехай 
Для довільного х ≠ 0 доведіть існування такого с, що f(х) = 1 + xf'(c).
47.20. Нехай f(х) = х ctg х. Для довільного х ∈(0; л) доведіть існування такого с, що f(х) = 1 + xf'(c).
47.21. Числа а і b такі, що рівняння sin х = ах + b має принаймні два розв’язки. Доведіть, що рівняння cos х = а має безліч розв’язків.
47.22. Доведіть, що рівняння хn + ах + b = 0 має не більше ніж три корені.
47.23. Числа а і b такі, що рівняння tg х = ах + b має принаймні два розв’язки на інтервалі 
Доведіть, що рівняння 
має безліч розв’язків.
47.24. Функція f диференційовна на ℝ. Скориставшись теоремою Ролля для функції g(x) = f(х) sin х, доведіть, що рівняння f'(х) sin х + f(x) cos x = 0 має принаймні один корінь на відрізку [0; 
].
47.25. Функція f диференційовна на ℝ. Доведіть, що рівняння f'(х) = f(х) tg х має принаймні один корінь на проміжку 
47.26. Василь Заплутайко хоче довести, що похідна функції f(х) = | х | у точці х0 = 0 дорівнює нулю. Він міркує так. Маємо: f(-1) = f(1). Тому за теоремою Ролля існує точка х0∈(-1; 1) така, що f'(х0) = 0. Але на інтервалі (0; 1) такої точки х0 не існує, бо на цьому проміжку f(х) = х і f'(х) = 1. Так само її немає на інтервалі (-1; 0). Виходить, що х0 = 0. Отже, f'(х0) = f'(0) = 0. Чи правий Василь?
47.27. Доведіть, що коли 
то рівняння а0 + а1x + а2х2 + … + аnхn = 0 має щонайменше один корінь.
47.28. Доведіть, що при будь-яких дійсних а1, а2, …, аn рівняння аn cos nх + аn-1 cos(n - 1)х + … + a1 cos х = 0 має щонайменше один корінь.
47.29. Натуральне число n не є точним квадратом. Доведіть, що 
де через {а} позначено дробову частину числа а.
47.30. Послідовність (хn) задовольняє умови: х1 ∈ [0;1] і хn+1 = cosxn для всіх n ∈ ℕ. Доведіть збіжність цієї послідовності.
47.31. Функція f диференційовна на відрізку [-2; 2]. Доведіть існування такого значення х ∈ [-2;2], що 
47.32. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Для довільного 
доведіть існування такого х ∈ [1; 3], що f'(x) = a.
47.33. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Для довільного 
доведіть існування такого х ∈ [1; 3], що f'(x) = a.