§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

47. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа

Розглянемо функцію f і таку точку х₀ інтервалу (а; b), що (рис. 47.1, а). На рисунку 47.1, б зображено графік функції g такої, що

Рис. 47.1

Нехай функції f і g є диференційовними в точці х₀. Тоді до графіків цих функцій у точці з абсцисою х₀ можна провести дотичні. З наочних міркувань очевидно, що ці дотичні будуть горизонтальними прямими. Оскільки кутовий коефіцієнт горизонтальної прямої дорівнює нулю, то f'(х₀) = 0 i g'(x₀) = 0.

Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.

Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], і функція у = s(t) набуває в точці t₀ ∈ (а; b) найбільшого (найменшого) значення, то це означає, що в момент часу t₀ матеріальна точка змінює напрям руху на протилежний. Зрозуміло, що в цей момент часу швидкість матеріальної точки дорівнює нулю, тобто v(t₀) = s'(t₀) = 0.

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 47.1 (теорема Ферма). Нехай функція f, визначена на проміжку [а; b], у точці х₀∈ (а; b) набуває свого найменшого (найбільшого) значення. Якщо функція f є диференційовною в точці х₀, то f'(x₀) = 0.

Доведення. Розглянемо випадок, коли (випадок можна розглянути аналогічно).

Нехай х ∈ [a; b], тоді ∆f = f(х) - f(х₀) ≥ 0. Якщо ∆х = х - х₀ > 0 (рис. 47.2), то Звідси

Рис. 47.2

Рис. 47.3

Якщо ∆х < 0 (рис. 47.3), то

Звідси

Оскільки функція f є диференційовною в точці х₀, то існує границя

Тоді

Звідси

тобто f'(х₀) = 0.

На рисунку 47.4 зображено графік функції f, неперервної на відрізку [a; b] і диференційовної на інтервалі (a; b). Функція f у точках а і b набуває однакових значень.

Рис. 47.4

Мішель Ролль (1652-1719)

Французький математик, член Паризької академії наук.

Основні праці присвячені методам чисельного розв’язування рівнянь. Більшість наукових здобутків М. Ролля не були помічені науковою спільнотою за його життя; їх оцінили значно пізніше.

З рисунка видно: існує щонайменше одна така точка х₀∈ (а; b), що дотична до графіка в точці з абсцисою х₀ є горизонтальною прямою, тобто f'(х₀) = 0.

Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.

Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], то рівність s(a) = s(b) означає, що в момент часу t = b матеріальна точка повернулася в початкове положення. Отже, у деякий момент часу t₀ ∈ (а; b) вона змінила напрям руху на протилежний, тобто v(t₀) = s'(t₀) = 0.

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 47.2 (теорема Ролля) Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), причому f(а) = f(b), то існує така точка х₀∈ (а; b), що f'(x₀) = 0.

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку [а; b], то за другою теоремою Вейєрштрасса на відрізку [a; b] існують такі значення аргументу, при яких функція f досягає своїх найбільшого та найменшого значень. Іншими словами, існують такі числа m і М, що

Тоді для будь-якого х ∈ [a; b] виконується нерівність m ≤ f(х) ≤ М.

Якщо m = М, то функція f є константою на проміжку [а; b]. Отже, f'(х) = 0 для будь-якого х ∈ (а; b).

Розглянемо випадок, коли m ≠ М. Тоді функція f не може на одному кінці відрізка [a; b] набувати найбільшого значення, а на іншому — найменшого. Справді, f(a) = f(b), а m ≠ М. Отже, існує така точка х₀ ∈ (а; b), що функція в цій точці набуває свого найбільшого або найменшого значення. Оскільки функція f диференційовна в точці х₀, то за теоремою Ферма f'(х₀) = 0.

ПРИКЛАД 1 Диференційовна на ℝ функція f має n нулів. Доведіть, що функція f' має не менше ніж n — 1 нулів.

Розв’язання. Нехай х₁ < х₂ < ... < х_n — нулі функції f. На кожному з (n - 1) відрізків функція f задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому на кожному з інтервалів (х_i; х_i+1) є щонайменше один нуль функції f'.

ПРИКЛАД 2 Рівняння х⁴ + ах³ + bх² + с = 0 має чотири різних дійсних корені. Доведіть, що

Розв’язання. Позначимо ліву частину даного рівняння через f(x). За умовою рівняння f(х) = 0 має чотири різних дійсних корені. Тоді за допомогою прикладу 1 цього пункту встановлюємо, що рівняння f'(х) = 0, тобто рівняння 4х³ + 3ах² + 2bх = 0, має три різних дійсних корені. Це рівняння має корінь х = 0. Отже, квадратне рівняння 4х² + 3ах + 2b = 0 має два різних дійсних корені.

Його дискримінант D = 9а² - 32b. Оскільки D > 0, то

На рисунку 47.5 зображено графік функції, неперервної на відрізку [а; b] і диференційовної на інтервалі (а; b).

Проведемо пряму АВ. Із трикутника АМВ можна знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої:

З рисунка видно: на дузі АВ існує така точка С, що дотична до графіка в цій точці паралельна прямій АВ.

Рис. 47.5

Кутовий коефіцієнт f'(x0) цієї дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту прямої АВ, тобто існує точка х₀∈ (а; b) така, що

Отриманий висновок ілюструє також механічна інтерпретація. Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [a; b], то її середня швидкість дорівнює:

Жозеф Луї Лагранж (1736-1813)

Французький математик, механік і астроном, президент Берлінської академії наук, член Паризької академії наук.

Основні праці — у галузі математичного аналізу, варіаційного числення, алгебри, теорії чисел, диференційних рівнянь, механіки. Кавалер ордена Почесного легіону.

Зрозуміло, що під час руху є такий момент t₀ ∈ (а; b), коли миттєва швидкість дорівнює середній, тобто

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 47.3 (теорема Лагранжа). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), то існує така точка х₀∈ (а; b), що

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію g(x) = f(x) - λх, де

Легко перевірити (зробіть це самостійно), що g(a) = g(b). Тепер очевидно, що функція g задовольняє всі умови теореми Ролля.

Таким чином, існує точка х₀ ∈(а; b) така, що g'(x₀) = 0. Оскільки g'(x) = f'(x) - λ, то f'(х₀) - λ = 0. Звідси

Зауважимо, що теорема Лагранжа є узагальненням теореми Ролля. Справді, якщо f(a) = f(b), то за теоремою Лагранжа

Звернемо увагу, що теореми Ролля і Лагранжа не вказують, як знайти точку х₀. Вони лише гарантують, що існує точка з певною властивістю.

ПРИКЛАД 3 Доведіть нерівність

Розв’язання. Скористаємося теоремою Лагранжа для функції f(х) = cos х на відрізку

Тоді

Звідси

Оскільки

ВПРАВИ

47.1. Відомо, що функція f у точці х₀ набуває найбільшого або найменшого значення. Перевірте рівність f'(х₀) = 0, якщо:

47.2. Відомо, що функція f у точці х₀ набуває найбільшого або найменшого значення. Перевірте рівність f'(х₀) = 0, якщо:

1) f(х) = 5 - х², х₀ = 0; 2)f(x) = cosx, х₀ = 0.

47.3. Проілюструйте графічно (зобразіть графік функції f) таке твердження: для кожного числа х₀ ∈ (а; b) існує така неперервна на [а; b] і диференційовна на (а; b) функція f, що f(а) = f(b) і f'(х) = 0 лише при х = х₀.

47.4. Проілюструйте графічно (зобразіть графік функції f) таке твердження: для кожного числа х₀ є (а; b) існує така неперервна на [а; b] і диференційовна на (а; b) функція f, що лише при х = х₀.

47.5. Запишіть теорему Лагранжа для функції f і відрізка [1; 2]. На інтервалі (1; 2) знайдіть таку точку х₀, для якої виконується рівність f(2) - f(1) = f'(х₀), якщо:

47.6. Запишіть теорему Лагранжа для функції f і відрізка [1; 3]. На інтервалі (1; 3) знайдіть таку точку х₀, для якої виконується рівність якщо:

47.7. Використовуючи теорему Ферма, доведіть, що функція f не набуває в точці х₀ ні найбільшого, ні найменшого значень, якщо:

47.8. Доведіть, що функція f не набуває в точці х₀ ні найбільшого, ні найменшого значень, якщо:

47.9. Функція f, D(f) = [а; b], неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна на інтервалі (а; b), причому f'(х) ≠ 0 для всіх х ∈ (а; b). Доведіть, що функція f є оборотною.

47.10. Функція f диференційовна на відрізку [0; 1], причому f'(х) ≠ 1 для всіх х ∈ [0; 1]. Доведіть, що f(1) ≠ f(0) + 1.

47.11. Використовуючи теорему Лагранжа, доведіть нерівність n(b - a)a^n-1 ≤ bⁿ - аⁿ ≤ n(b - a)b^n-1, де 0 < а < b, n ∈ ℕ.

47.12. Доведіть нерівність де 0 < у < х, n ∈ N, n ≥ 2.

47.13. Доведіть нерівність:

47.14. Доведіть нерівність:

1) | sin х - sin у | ≤ | х - у |;

2) | ctg х - ctg у | ≤ | х - у |, х ∈ (0; я), у ∈ (0; я).

47.15. Доведіть, що

47.16. Доведіть, що

47.17. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Доведіть існування такого х₀, що f'(х₀) = 0.

47.18. Функція f диференційовна на ℝ. Для довільного х доведіть існування такого с, що f(х) = f(0) + xf'(c).

47.19. Нехай Для довільного х ≠ 0 доведіть існування такого с, що f(х) = 1 + xf'(c).

47.20. Нехай f(х) = х ctg х. Для довільного х ∈(0; л) доведіть існування такого с, що f(х) = 1 + xf'(c).

47.21. Числа а і b такі, що рівняння sin х = ах + b має принаймні два розв’язки. Доведіть, що рівняння cos х = а має безліч розв’язків.

47.22. Доведіть, що рівняння хⁿ + ах + b = 0 має не більше ніж три корені.

47.23. Числа а і b такі, що рівняння tg х = ах + b має принаймні два розв’язки на інтервалі Доведіть, що рівняння має безліч розв’язків.

47.24. Функція f диференційовна на ℝ. Скориставшись теоремою Ролля для функції g(x) = f(х) sin х, доведіть, що рівняння f'(х) sin х + f(x) cos x = 0 має принаймні один корінь на відрізку [0; ].

47.25. Функція f диференційовна на ℝ. Доведіть, що рівняння f'(х) = f(х) tg х має принаймні один корінь на проміжку

47.26. Василь Заплутайко хоче довести, що похідна функції f(х) = | х | у точці х₀ = 0 дорівнює нулю. Він міркує так. Маємо: f(-1) = f(1). Тому за теоремою Ролля існує точка х₀∈(-1; 1) така, що f'(х₀) = 0. Але на інтервалі (0; 1) такої точки х₀ не існує, бо на цьому проміжку f(х) = х і f'(х) = 1. Так само її немає на інтервалі (-1; 0). Виходить, що х₀ = 0. Отже, f'(х₀) = f'(0) = 0. Чи правий Василь?

47.27. Доведіть, що коли то рівняння а₀ + а₁x + а₂х² + ... + а_nхⁿ = 0 має щонайменше один корінь.

47.28. Доведіть, що при будь-яких дійсних а₁, а₂, ..., а_n рівняння а_n cos nх + а_n-1 cos(n - 1)х + ... + a₁ cos х = 0 має щонайменше один корінь.

47.29. Натуральне число n не є точним квадратом. Доведіть, що де через {а} позначено дробову частину числа а.

47.30. Послідовність (х_n) задовольняє умови: х₁ ∈ [0;1] і х_n+1 = cosx_n для всіх n ∈ ℕ. Доведіть збіжність цієї послідовності.

47.31. Функція f диференційовна на відрізку [-2; 2]. Доведіть існування такого значення х ∈ [-2;2], що

47.32. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Для довільного доведіть існування такого х ∈ [1; 3], що f'(x) = a.

47.33. Про диференційовну на [1; 3] функцію f відомо, що f1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1. Для довільного доведіть існування такого х ∈ [1; 3], що f'(x) = a.