Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

48. Ознаки зростання і спадання функції

Ви знаєте, що коли функція є константою, то її похідна дорівнює нулю. Виникає запитання: якщо функція f є такою, що для всіх х із проміжку І виконується рівність f'(x) = 0, то чи є функція f константою на проміжку І?

Звернемося до механічної інтерпретації.

Нехай у = s(t) — закон руху матеріальної точки по координатній прямій. Якщо в будь-який момент часу t від t1 до t2 виконується рівність s'(t) = 0, то протягом розглядуваного проміжку часу миттєва швидкість дорівнює нулю, тобто точка не рухається і її координата не змінюється. Це означає, що на розглядуваному проміжку функція у = s(t) є константою.

Ці міркування підказують, що справедливою є така теорема.

Теорема 48.1 (ознака сталості функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується рівність f'(x) = 0, то функція f є константою на цьому проміжку.

Доведення. Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу функції f, узяті з проміжку І, причому x1 < х2.

Оскільки [х1; х2] ⊂ I і функція f диференційовна на проміжку І, то для відрізка [х1, х2] виконуються всі умови теореми Лагранжа. Тоді існує точка х0∈ (х1; х2) така, що

Оскільки х0 ∈ I, то f'(х0) = 0. Отже,

Звідси f(x2) = f(x1). Ураховуючи, що числа х1 і х2 вибрано довільним чином, можемо зробити висновок: функція f є константою на проміжку І.

На рисунку 48.1 зображено графік деякої функції f, яка є диференційовною на проміжку [а; b]. Цей графік має таку властивість: будь-яка дотична до графіка утворює гострий кут з додатним напрямом осі абсцис.

Рис. 48.1

Рис. 48.2

Оскільки тангенс гострого кута є додатним числом, то кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є додатним. Тоді, виходячи з геометричного змісту похідної, можна зробити такий висновок: для будь-якого х ∈ [а; b] виконується нерівність f'(х) >0.

З рисунка 48.1 видно, що функція f зростає на розглядуваному проміжку.

На рисунку 48.2 зображено графік деякої функції f, яка є диференційовною на проміжку [а; b]. Будь-яка дотична до графіка утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис.

Оскільки тангенс тупого кута є від’ємним числом, то кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є від’ємним. Тоді для будь- якого х ∈ [а; b] виконується нерівність f'(х) < 0.

З рисунка 48.2 видно, що функція f спадає на розглядуваному проміжку.

Ці приклади показують, що знак похідної функції на деякому проміжку І пов’язаний з тим, чи є ця функція зростаючою (спадною) на проміжку І.

Зв’язок між знаком похідної та зростанням (спаданням) функції можна виявити також за допомогою механічної інтерпретації. Якщо швидкість, тобто похідна функції у = s(t), є додатною, то точка на координатній прямій рухається вправо (рис. 48.3). Це означає, що з нерівності t1 < t2 випливає нерівність s(t1) < s(t2), тобто функція

у = s(t) є зростаючою. Аналогічно, якщо швидкість є від’ємною, то

точка рухається вліво, тобто функція у = s(t) є спадною.

Зв’язок між знаком похідної та зростанням (спаданням) функції установлюють такі дві теореми.

Рис. 48.3

Теорема 48.2 (ознака зростання функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x) > 0, то функція f зростає на цьому проміжку.

Теорема 48.3 (ознака спадання функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x) < 0, то функція f спадає на цьому проміжку.

Доведемо теорему 48.2 (теорему 48.3 можна довести аналогічно).

Доведення. Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу функції f, узяті з проміжку І, причому х2 > х1.

Оскільки [х1; х2] с I і функція f диференційовна на проміжку І, то для відрізка [х1; х2] виконуються всі умови теореми Лагранжа. Тоді існує точка х0∈ (х1; х2) така, що

Оскільки х0 І, то f'(х0) > 0. Отже,

Тоді з нерівності x2 > x1 випливає нерівність f(х2) > f(х1), тобто функція f зростає на проміжку І.

Наприклад, розглянемо функцію f(х) = .

Оскільки для всіх х ∈ (0; +∞), то з теореми 48.2 випливає, що функція f(x) = зростає на проміжку (0; +∞).

Водночас теорема 48.2 не дає змоги стверджувати, що функція f(x) = зростає на проміжку [0; +∞). Узагалі, якщо функція f визначена на проміжку [а;+∞) і для всіх х ∈ (а; +∞) виконується нерівність f'(x) > 0, то це не означає, що вона зростає на проміжку [а; + ∞ ) (рис. 48.4).

Довести зростання функції f(x) = на проміжку [0;+∞) можна за допомогою такого твердження: якщо функція f неперервна в точці а і для всіх х ∈ (а;+∞) виконується

нерівність f'(x) > 0, то функція f зростає на проміжку [а; +∞).

Використовуючи теорему Лагранжа, доведіть це твердження самостійно.

У такий самий спосіб можна обґрунтувати зростання (спадання) функції f на проміжках іншого виду, наприклад на [а; b), (-∞;b], [а; b].

Рис. 48.4

Якщо диференційовна на проміжку І функція є зростаючою (спадною), то помилковим було б вважати, що вона обов’язково має додатну (від’ємну) похідну на цьому проміжку. Наприклад, функція у = х3 є зростаючою, але її похідна в точці х0 = 0 дорівнює нулю.

Теорема 48.4 (властивість зростаючої функції і спадної функції). Якщо диференційовна на проміжку І функція f є зростаючою (спадною), то для всіх х ∈ І виконується нерівність f'(x) ≥ 0 (f'(х) ≤ 0).

Доведення. Доведемо теорему для випадку, коли функція f є зростаючою (для випадку, коли функція f є спадною, доведення аналогічне).

Нехай х0 — довільна точка, яка належить проміжку І. Надамо аргументу функції f приріст ∆х = х- х0 у точці х0. Ураховуючи

зростання функції f, отримуємо:

Тому

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція

зростає на множині дійсних чисел.

Розв’язання. Маємо: f'(x) = х4 + х2 +1. Оскільки х4 + х2 + 1 > 0 при всіх х ∈ ℝ, то функція f зростає на множині дійсних чисел.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

Розв’язання. 1) Маємо: f'(х) = 3х2 + 6х - 9 = 3(х + 3)(х -1).

Дослідивши знак похідної методом інтервалів (рис. 48.5) і врахувавши неперервність функції f у точках х = -3 і х = 1, отримуємо, що вона зростає на кожному з проміжків (-∞; -3] і [1; +∞) та спадає на проміжку [-3; 1].

2) Маємо: f'(х) = -3х3 + 12х2 - 12х = -3х (х2 - 4х + 4) = -3х (х - 2)2.

Дослідивши знак похідної (рис. 48.6), доходимо висновку, що функція зростає на проміжку (-∞; 0] і спадає на кожному з проміжків [0; 2] і [2; +∞), тобто спадає на проміжку [0; +∞).

Рис. 48.5

Рис. 48.6

Рис. 48.7

3) Маємо: D (f) = (-∞; 1) U (1; +∞). Знайшовши похідну функції f, отримуємо:

Дослідимо знак функції у = f'(x) (рис. 48.7). Отже, дана функція зростає на кожному з проміжків (-∞; -1] і [3; +∞) та спадає на кожному з проміжків [- 1; 1) і (1; 3].

4) Маємо: D(f) = (-∞;0] U [3;+∞). Знайдемо похідну функції f на множині (-∞;0) U (3;+∞):

Зауважимо, що в точках х = 0 і х = 3 функція f не є диференційовною, але є неперервною.

Нерівність

рівносильна системі

Розв’язавши її, отримуємо, що множиною розв’язків розглядуваної нерівності є проміжок (3; +∞).

Далі легко встановити, що множиною розв’язків нерівності є проміжок (-∞; 0).

Отже, якщо х < 0, то f'(x) < 0; якщо х > 3, то f'(х) > 0 (рис. 48.8).

Урахувавши неперервність функції f у точках 0 і 3, можна зробити висновок: функція f зростає на проміжку [3; +∞) і спадає на проміжку (-∞; 0].

Якщо функція f є зростаючою (спадною), то з рівності f(a) = f(b) випливає, що а = b. Розглянемо приклад, у якому використовується цей факт.

Рис. 48.8

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Запишемо:

Розглянемо функцію f(t) = 2t2 + cos 2t. Тоді перше рівняння отриманої системи можна подати у вигляді f(x) = f(y).

Із другого рівняння системи випливає, що х > 0 і у > 0. Тому будемо розглядати функцію f на множині (0; +∞).

Маємо: f'(t) = 4t - 2 sin 2t = 2 (2t - sin 2t).

У n. 39 було доведено, що t > sin t при t > 0. Тоді f'(t) > 0 при всіх t є (0; +∞). Отже, функція f зростає на (0; +∞). Тому з рівності f(x) = f(y) отримуємо, що x = у.

Маємо:

Звідси

Відповідь:

Під час доведення нерівностей часто використовують міркування такого роду: якщо диференційовні на [а;+∞) функції f і g задовольняють умови f(a) = g(a) і f'(x) > g'(x) для всіх х > а, то f(x) > g(x) для всіх х > а. Справді, розглянемо функцію h(x) = f(х) - g(x), D (h) = [а; +∞). Маємо: h (а) = f(а) - g(a) = 0. Оскільки h'(х) = f'(x) - g'(x) > 0 для всіх х ∈ (а; +∞) і функція h неперервна в точці х0 = а, то функція h є зростаючою. Тому h(x) > h (а) = 0 для всіх х > а, тобто f(x) - g(x) > 0 для всіх х > а.

ПРИКЛАД 4 Доведіть, що для всіх х < 1 виконується нерівність х9 + 4х < 3 + 2х5.

Розв’язання. Для доведення даної нерівності скористаємося таким твердженням: якщо диференційовні на (-∞; а] функції f і g задовольняють умови f(a) = g(a) і f'(x) > g'(x) для всіх х < а, то f(x) < g(x) для всіх х < а.

Розглянемо функції f(х) = х9 + 4х і g(Х) = 3 + 2Х5. Маємо: f(1) = g(1). Обчислимо похідні функцій f і g: f'(x) = 9х8 + 4, g'(x) = 10х4. Розглянемо нерівність f'(x) > g'(x), тобто нерівність 9х8 -10х4 + 4 > 0. Квадратний тричлен 9t2 - 10t + 4 має від’ємний дискримінант. Тому нерівність 9х8 - 10х4 + 4 > 0 виконується при всіх х ∈ ℝ. Звідси f'(x) > g'(x) для всіх x < 1. Тому при х < 1 виконується нерівність х9 + 4х < 3 + 2х5.

У цьому пункті ви ознайомилися з ознакою сталості функції. Цю теорему можна використовувати для доведення тотожностей. Так, якщо вдалося встановити, що похідна функції f на проміжку І дорівнює нулю і для деякого х0 ∈ І виконується рівність f(х0) = А, то тим самим установлено, що f(x) = А для всіх х ∈ І.

ПРИКЛАД 5 Для всіх х ∈ (-1; 1) доведіть тотожність

Розв’язання. Розглянемо функцію

D(f) = (-1; 1). Маємо:

Отже, функція f(x) є константою на (-1; 1). Знайти цю константу можна, обчисливши значення функції f у «зручній» точці проміжку (-1; 1). Наприклад, f(0) = 0.

ВПРАВИ

48.1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1) f(x) = х1 2 + 4х - 7; 4) f(x) = х4 - 2х2 - 3;

2) f(x) = 2х3 - 3х2 + 1; 5) f(x) = х3 + 4х - 8;

3) f(x) = -х3 + 9х2 + 21х; 6) f(х) = х4 - 8х + 9.

48.2. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1) f(x) = -х2 + 6х - 5;

2) f(x) = х3 + Зх2 - 9х;

3) f(х) = х4 - 2х2 +1;

4) f(x) = x4 + 4х - 20.

48.3. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

48.4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

48.5. На рисунку 48.9 зображено графік похідної функції f, диференційовної на ℝ. Укажіть проміжки спадання функції f.

Рис. 48.9

Рис. 48.10

48.6. На рисунку 48.10 зображено графік функції y = f(x), диференційовної на ℝ. Серед наведених на рисунку 48.11 графіків укажіть той, який може бути графіком функції у = f'(x).

Рис. 48.11

48.7. На рисунку 48.12 зображено графік похідної функції f, диференційовної на ℝ. Укажіть проміжки зростання функції f.

Рис. 48.12

48.8. На рисунку 48.13 зображено графіки похідних функцій f,g i h, диференційовних на ℝ. Яка з функцій f,g i h спадає на відрізку [-1; 1]?

Рис. 48.13

48.9. На рисунку 48.14 зображено графіки похідних функцій f, g і h. Яка з функцій f, g і h спадає на ℝ?

Рис. 48.14

48.10. Доведіть, що функція є спадною на множині дійсних чисел:

48.11. Доведіть, що функція є зростаючою на множині дійсних чисел:

1) f(x) = 10х3 - 9х2 + 24х - 90; 2) f(х) = cos 3х + 4х.

48.12. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

48.13. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

48.14. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

48.15. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції

48.16. На рисунку 48.15 зображено графіки функцій f i g, визначених на ℝ Використовуючи ці графіки, розв’яжіть нерівність:

1) f'(x) ≤ 0; 2) g'(x) ≥ 0.

Рис. 48.15

48.17. На рисунку 48.16 зображено графіки функцій f i g, визначених на ℝ. Використовуючи їх, розв’яжіть нерівність:

1) f'(x) ≥ 0; 2) g'(x) ≤ 0.

Рис. 48.16

48.18. Функція f неперервна на проміжку І і диференційовна на множині I \{х0}, де х0 —деяка точка, яка належить проміжку I. Відомо, що f'(х) = 0 для всіх х ∈ I \ {х0}. Чи можна стверджувати, що функція f є константою на проміжку І?

48.19. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(х) = tg х - 2х.

48.20. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(х) = ctg х + 4х.

48.21. При яких значеннях параметра а є зростаючою функція:

48.22. При яких значеннях параметра а є спадною функція:

48.23. Розв’яжіть рівняння х5 + 4х + cos х = 1.

48.24. Розв’яжіть рівняння

48.25. Розв’яжіть систему рівнянь

48.26. Розв’яжіть систему рівнянь

48.27. Розв’яжіть нерівність х1 + 3х > 2х4 + 2.

48.28. Розв’яжіть нерівність х5 + 4х < 2х3 + 3.

48.29. Доведіть нерівність

48.30. Доведіть нерівність х < tg х, де

48.31. Доведіть нерівність для всіх

48.32. Доведіть нерівність arctg х < х для всіх х > 0.

48.33. Доведіть нерівність arcsin х > х для всіх х ∈ (0; 1].

48.34. Доведіть нерівність tg х + sin х > 2х для всіх

48.35. Доведіть нерівність tg х + 2 sin х > 3х для всіх

48.36. Доведіть тотожність:

48.37. Доведіть тотожність:

48.38. При яких значеннях параметра с функція f(x) = (с - 12) х3 + 3 (с - 12) х2 + 6х + 7 зростає на ℝ?

48.39. При яких значеннях параметра а функція у = (а + 3) х3 + 3 (а + 3) х2 - 5х + 12 спадає на ℝ?

48.40. Знайдіть усі значення параметра b, при кожному з яких функція f(х) = sin 2х - 8 (b + 2) cos х - (4b2 + 16b + 6) х спадає на ℝ.

48.41. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких функція f(х) = sin 2х - 8 (а + 1) sin х + (4а2 + 8а - 14) х зростає на ℝ.

48.42. При яких значеннях параметра а функція зростає на ℝ?

48.43. При яких значеннях параметра а функція спадає на ℝ?

48.44. Доведіть нерівність sin А + sin В + sin С + tg A + tg В + tg С > 2, де А, В, С — кути гострокутного трикутника.

48.45. Спростіть вираз

48.46. Спростіть вираз

48.47. Порівняйте значення виразів

48.48. Порівняйте значення виразів

48.49. Знайдіть усі такі функції f, що для всіх дійсних x і у виконується нерівність | f(x) - f(y) | ≤ (х - y)2.

48.50. Знайдіть усі такі диференційовні на ℝ функції f, що для всіх дійсних х і у виконується рівність f(x) + f(y) = f(x + у).

48.51. Про диференційовну на ℝ функцію f відомо, що f'(х0) > 0. Чи обов’язково знайдеться такий δ-окіл точки х0, що функція f є зростаючою в цьому околі?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити