Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

49. Точки екстремуму функції

Ознайомлюючись з такими поняттями, як границя та неперервність функції в точці, ми досліджували поведінку функції поблизу цієї точки або, як прийнято говорити, у її околі.

Означення. Інтервал (а; b), який містить точку х0, називають околом точки х0.

Зрозуміло, що будь-яка точка має безліч околів. Наприклад, проміжок (-1; 3) — один з околів точки 2,5. Разом з тим цей проміжок не є околом точки 3.

На рисунку 49.1 зображено графіки чотирьох функцій. Усі ці функції мають спільну особливість: існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≥ f(х).

Рис. 49.1

Означення. Точку х0 називають точкою максимуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≥ f(x).

Наприклад, точка х0 = є точкою максимуму функції у = sin х (рис. 49.2). Записують: хmах = .

Рис. 49.2

На рисунку 49.1 хmах = х0.

Означення. Точку х0 називають точкою мінімуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≤ f(x).

Наприклад, точка х0 = - є точкою мінімуму функції у = sin х (рис. 49.2). Записують: xmin =-.

На рисунку 49.3 зображено графіки функцій, для яких х0 є точкою мінімуму, тобто xmin = х0.

Рис. 49.3

Точки максимуму і мінімуму мають спільну назву: їх називають точками екстремуму функції (від латин, extremum — край, кінець).

На рисунку 49.4 точки х1, х2, х3, х4, х5, х6 є точками екстремуму функції f.

Рис. 49.4

Рис. 49.5

З означень точок максимуму і мінімуму випливає, що точки екстремуму є внутрішніми точками1 області визначення функції. Це означає, що, наприклад, точка х0 = 0 не є точкою мінімуму функції y = (рис. 49.5), а точка х0 = 1 не є точкою максимуму функції y = arcsin х (рис. 49.6). Разом з тим найменше значення функції y = на множині [0; +∞) дорівнює нулю, тобто а

1 Точку х0∈ М називають внутрішньою точкою множини М, якщо існує окіл точки х0, який є підмножиною множини М.

Рис. 49.6

Рис. 49.7

На рисунку 49.7 зображено графік деякої функції f, яка на проміжку [х1; х2] є константою. Точка х1 є точкою максимуму, точка х2 — мінімуму, а будь-яка точка інтервалу (х1; х2) є одночасно як точкою максимуму, так і точкою мінімуму функції f.

Зауважимо, що також буває доцільним виділяти точку строгого максимуму, тобто таку точку х0, для якої існує проколотий -окіл такий, що для всіх х із цього проколотого -околу виконується строга нерівність f(х0) > f(х). Аналогічно означають і точку строгого мінімуму. Наприклад, на рисунку 49.4 кожна точка максимуму (мінімуму) є також точкою строгого максимуму (мінімуму). На рисунку 49.7 жодна з точок відрізка [х1; х2] не є точкою строгого максимуму або строгого мінімуму.

Графіки функцій, зображених на рисунках 49.8 і 49.9, показують, що точки екстремуму можна поділити на два види: ті, у яких похідна дорівнює нулю (на рисунку 49.8 дотична до графіка в точці з абсцисою х0 є горизонтальною прямою), і ті, у яких функція є недиференційовною (рис. 49.9).

Рис. 49.8

Рис. 49.9

Теорема 49.1. Якщо х0 є точкою екстремуму функції f, то або f'(х0) = 0, або функція f не є диференційовною в точці х0.

Справедливість цієї теореми випливає з теореми Ферма.

Виникає природне запитання: чи обов’язково є точкою екстремуму внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує?

Відповідь на це запитання заперечна.

Так, на рисунку 49.10 зображено графік функції, недиференційовної в точці х0. Проте точка х0 не є точкою екстремуму.

Рис. 49.10

Рис. 49.11

Наведемо ще один приклад. Для функції f(х) = х3 маємо: f'(х) = Зх2. Тоді f'(0) = 0. Проте точка х0 = 0 не є точкою екстремуму функції f (рис. 49.11).

Ці приклади показують, що теорема 49.1 дає необхідну, але не достатню умову існування екстремуму в даній точці.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Наприклад, точка х0 = 0 є критичною точкою функцій у = х3 і у = | х |; точка х0 = є критичною точкою функції у = sin x.

Зі сказаного вище випливає, що кожна точка екстремуму функції є її критичною точкою, проте не кожна критична точка є точкою екстремуму. Іншими словами, точки екстремуму потрібно шукати серед критичних точок. Цей факт проілюстровано на рисунку 49.12.

На рисунку 49.13 зображено графіки функцій, для яких х0 є критичною точкою.

На рисунках 49.13, а-г критична точка х0 є точкою екстремуму, на рисунках 49.13, ґ, д критична точка х0 не є точкою екстремуму.

Наявність екстремуму функції в точці х0 зумовлена поведінкою функції в околі цієї точки. Так, для функцій, графіки яких зображено на рисунках 49.13, а-г, маємо: функція зростає (спадає) на проміжку (а; х0] і спадає (зростає) на проміжку [х0; b).

Функції, графіки яких зображено на рисунках 49.13, ґ, д, такої властивості не мають: перша з них зростає на кожному з проміжків (а; х0] і [х0; b), друга спадає на цих проміжках.

Рис. 49.12

Рис. 49.13

Узагалі, якщо область визначення неперервної функції розбито на скінченну кількість проміжків зростання і спадання, то легко знайти всі точки екстремуму (рис. 49.14).

Рис. 49.14

Ви знаєте, що за допомогою похідної можна знаходити проміжки зростання (спадання) диференційовної функції. Дві теореми, наведені нижче, показують, як за допомогою похідної можна знаходити точки екстремуму функції.

Теорема 49.2 (ознака точки максимуму функції). Нехай функція f є диференційовною на кожному з проміжків (a; x0) і (x0; b) та неперервною в точці x0. Якщо для всіх х ∈ (а; x0) виконується нерівність f'(x) ≥ 0, а для всіх х ∈ (x0; b) виконується нерівність f'(x) < 0, то точка х0 є точкою максимуму функції f (рис. 49.13, а, в).

Теорема 49.3 (ознака точки мінімуму функції). Нехай функція f є диференційовною на кожному з проміжків (а; х0) і (х0; b) та неперервною в точці х0. Якщо для всіх х ∈ (а; х0) виконується нерівність f'(x) ≤ 0, а для всіх х ∈ (х0; b) виконується нерівність f'(x) > 0, то точка х0 є точкою мінімуму функції f (рис. 49.13, б, г).

Доведемо теорему 49.2 (теорему 49.3 можна довести аналогічно).

Доведення. Нехай х — довільна точка проміжку (а;х0). За теоремою Лагранжа для функції f на відрізку [х; х0] можна записати:

де с ∈ (х;х0). За умовою теореми f'(c)>0, тому f(х0) ≥ f(х).

Аналогічно доводимо, що для довільного х ∈ (х0;b) також виконується нерівність f(х0) ≥ f(х). Отже, для будь-якого х ∈ (а; b) виконується нерівність f(х0) ≥ f(х). Таким чином, х0— точка максимуму.

Інколи зручно користуватися спрощеними формулюваннями цих двох теорем: якщо при переході через точку х0, у якій функція є неперервною, похідна змінює знак із плюса на мінус, то х0 — точка максимуму, якщо похідна змінює знак із мінуса на плюс, то х0 — точка мінімуму.

Зазначимо, що вимога неперервності функції f у точці х0 в умовах теорем 49.2 і 49.3 є суттєвою. На рисунку 49.15 похідна функції f при переході через критичну точку х0 змінює знак із мінуса на плюс, при цьому точка х0 є точкою максимуму; на рисунку 49.16 похідна функції f при переході через критичну точку х0 змінює знак із плюса на мінус, при цьому точка х0 не є точкою екстремуму.

Рис. 49.15

Рис. 49.16

Для функції f точки екстремуму можна шукати за такою схемою.

1) Знайти f'(х).

2) Дослідити знак похідної в околах критичних точок.

3) Користуючись відповідними теоремами, стосовно кожної критичної точки з’ясувати, чи є вона точкою екстремуму.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть точки екстремуму функції:

Розв’язання. 1) Маємо:

f'(х) = 6х2 - 6х -12 = 6 (х2 - х - 2) = 6 (х + 1) (х - 2).

Методом інтервалів дослідимо знак похідної в околах критичних точок х1 =-1, х2 = 2 (рис. 49.17). Отримуємо: хmах = -1, хmіn = 2.

Рис. 49.17

Рис. 49.18

2) f'(x) = 4х - 4х3 = -4х (х2 - 1) = -4х (х + 1) (х - 1).

Дослідивши знак похідної (рис. 49.18), отримуємо: хmах = -1, xmіn = 0 i xmах = 1.

3) Маємо:

Дослідимо знак похідної в околах критичних точок x1 = -1, х2 = 3 (рис. 49.19). Отримуємо: хmах = -1, xmіn = 3.

4) Маємо:

Рис. 49.19

4) Маємо:

Якщо 0 < х ≤ 2, то f'(х) ≤ 0; якщо х ≥ 2, то f'(x) ≥ 0. Отже, критична точка х = 2 є точкою мінімуму, тобто xmin = 2.

5) Якщо х < 0, то f(х) = -4х3 - 3х2 - 6х. Якщо х > 0, то f(х) = -4х3 + 3х2 + 6х. Тоді для будь-якого х ∈ (-∞; 0) маємо: f'(х) = -12х2 - 6х - 6, а для будь-якого х ∈ (0; +∞) маємо: f'(х) = -12х2 + 6х + 6.

Рис. 49.20

Рис. 49.21

На рисунку 49.20 показано результат дослідження знака похідної на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞). Функція f є неперервною в точках х = 0 і х = 1. Тепер можна зробити висновок: х = 0 — точка мінімуму, х = 1 — точка максимуму.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть точки екстремуму функції

Розв’язання. Маємо:

Знайдемо критичні точки даної функції:

Функція є періодичною з періодом Т = 4.

Методом інтервалів дослідимо її знак на проміжку [-2; 2] завдовжки в період. Цьому проміжку належать дві критичні точки:

х = 0 і х = - .

На рисунку 49.21 показано результат дослідження знака похідної на проміжку [-2; 2]. Тепер можна зробити висновок:

xmax = 0, xmin = -.

Узагальнюючи отриманий результат, отримуємо відповідь: хmах = 4 k, хmin = - +- 4 k, k ∈ ℤ.

ВПРАВИ

49.1. На рисунку 49.22 зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [-10; 9]. Укажіть: 1) критичні точки функції; 2) точки мінімуму; 3) точки максимуму.

Рис. 49.22

49.2. На рисунку 49.23 зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [-7; 7]. Укажіть: 1) критичні точки функції; 2) точки мінімуму; 3) точки максимуму.

Рис. 49.23

49.3. На рисунку 49.24 укажіть графік функції, для якої точка х0 є точкою мінімуму.

Рис. 49.24

49.4. Чи має критичні точки функція:

49.5. На рисунку 49.25 зображено графік функції y = f(x), визначеної на множині дійсних чисел. Чи є правильною рівність:

1) f'(-3) = 0; 3)f'(0) = 0; 5)f'(2) = 0;

2) f'(-2) = 0; 4) f'(1) = 0; 6) f'(3) = 0?

Рис. 49.25

Рис. 49.26

49.6. Функція y = f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку 49.26 зображено графік її похідної. Укажіть точки максимуму і мінімуму функції у = f(x).

49.7. Функція y = f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку 49.27 зображено графік функції у = f'(x). Скільки точок екстремуму має функція у = f(х)?

Рис. 49.27

49.8. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

49.9. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

49.10. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.11. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) f(х) = 3х4 - 8х3 + 6х2 - 9; 2) f(x) = (х + 4)4 (х - 3)3.

49.12. Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:

49.13. Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:

1) f(х) = 6х5 - 15х4 + 10х3 - 20; 2) f(х) = cos х + х.

49.14. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.15. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.16. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.17. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.18. Чи є правильним твердження:

1) значення функції в точці максимуму може бути меншим від значення функції в точці мінімуму;

2) функція в точці екстремуму може бути недиференційовною;

3) якщо похідна в деякій точці дорівнює нулю, то ця точка є точкою екстремуму функції?

49.19. Чи є правильним твердження:

1) у точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю;

2) якщо функція в деякій точці недиференційовна, то ця точка є точкою екстремуму функції?

49.20. Точка х0 — критична точка функції f. Для всіх х < х0 виконується нерівність f'(х) > 0, а для всіх х > х0 — нерівність f'(х) < 0. Чи може точка х0 бути точкою мінімуму?

49.21. Точка х0 — критична точка функції f. Для всіх u і v таких, що u < х0 і v > х0, виконується нерівність f'(u)f'(v)< 0. Чи обов’язково точка х0 є точкою екстремуму?

49.22. Точка х0 — критична точка функції f. Для всіх u і v таких, що u < x0 i v > х0, виконується нерівність f'(u)f'(v) > 0. Чи може точка х0 бути точкою екстремуму?

49.23. Доведіть, що многочлен степеня n має не більше ніж (n - 1) точку екстремуму.

49.24. Для кожного n ∈ ℕ доведіть існування многочлена степеня n, що має (n - 1) точку екстремуму.

49.25. Доведіть, що між довільними двома точками мінімуму (максимуму) неперервної на ℝ функції є точка максимуму (мінімуму).

49.26. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.27. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

49.28. Знайдіть точки екстремуму функції:

49.29. Знайдіть точки екстремуму функції:

49.30. При яких значеннях параметра а функція у = х3 - 3ах2 + 27х - 5 має тільки одну критичну точку?

49.31. При яких значеннях параметра а функція має тільки одну критичну точку?

49.32. Чи є правильним твердження: якщо х0 ∈ М, і функція f є диференційовною в точці х0, то f'(х0) = 0?

49.33. Чи може мати тільки одну точку екстремуму: 1) парна функція; 2) непарна функція; 3) періодична функція?

49.34. Для всіх х ∈ D виконується нерівність f(х) ≥ f(х0). 1) Чи є правильним твердження, що х0 — точка мінімуму функції f?

2) Чи зміниться відповідь, якщо D(f) = ℝ?

49.35. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

49.36. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

49.37. При яких значеннях параметра а функція має додатну точку мінімуму?

49.38. При яких значеннях параметра а функція має додатну точку мінімуму?

49.39. При яких значеннях параметра а точка х0 = 1 є точкою мінімуму функції

49.40. При яких значеннях параметра а точка х0 = 0 є точкою максимуму функції

49.41. При яких значеннях параметра а точка х0 = 1 є точкою екстремуму функції у = х3 - ах2 + (а2 - 2а) х - 11

49.42. При яких значеннях параметра а точка х0 - 2 є точкою екстремуму функції у = х3 - 2ах2 + (2а2 - 2а) х + 9?

49.43. Знайдіть усі значення параметра р, при яких рівняння х3 - 3рх2 + р = 0 має три різних корені.

49.44. При яких значеннях параметра а нерівність 2 (х - а)4≤ 1 - х має хоча б один розв’язок?

49.45. При яких значеннях параметра а функція має не більше двох точок екстремуму на проміжку (; 5)?

49.46. Про диференційовну на ℝ. функцію f відомо, що х0 — її точка мінімуму. Чи обов’язково знайдеться такий окіл І точки х0, що для всіх х < х0, х ∈ I виконується нерівність f'(х) ≤ 0, а для всіх х > х0, х ∈ I —нерівність f'(х) ≥ 0?

49.47. Чи можна стверджувати, що х0 — точка мінімуму визначеної на ℝ. функції f, якщо в будь-якому інтервалі координатної прямої знайдеться така точка х, що f(х0) < f(х)?

49.48. Чи існує визначена на (-1; 1) функція така, що кожна точка інтервалу (-1; 1) є точкою строгого максимуму цієї функції?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити