Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

50. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Яку кількість продукції треба випустити підприємству, щоб отримати найбільший прибуток? Як, маючи обмежені ресурси, виконати виробниче завдання за найменший час? Як доставити товар у торговельні точки так, щоб витрати палива були найменшими?

З такими й подібними задачами на пошук найкращого або, як говорять, оптимального розв’язку людині досить часто доводиться стикатися у своїй діяльності.

Уявимо, що відомо функцію, яка описує, наприклад, залежність прибутку підприємства від кількості виготовленої продукції. Тоді задача зводиться до пошуку аргументу, при якому функція набуває найбільшого значення.

У цьому пункті ми з’ясуємо, як можна знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [а; b]. Обмежимося розглядом лише неперервних функцій.

Зауважимо, що точка, у якій функція набуває найменшого значення, не обов’язково є точкою мінімуму. Наприклад, на рисунку 50.1 а точок мінімуму функція fне має. Також точка мінімуму не обов’язково є точкою, у якій функція набуває найменшого значення. На рисунку 50.2, а точка х2 — єдина точка мінімуму, а найменше значення досягається в точці а.

Рис. 50.1

Аналогічне зауваження стосується і точок максимуму та точок, у яких функція досягає найбільшого значення.

На рисунку 50.2 подано різні випадки розташування точок екстремумів і точок, у яких функція набуває найбільшого та найменшого значень.

Рис. 50.2

Тут важливо зрозуміти, що властивість функції мати точку екстремуму х0 означає таке: функція набуває в точці х0 найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями функції в усіх точках деякого, можливо, дуже малого околу точки х0. Щоб наголосити на цьому факті, точки екстремуму називають іще точками локального максимуму або точками локального мінімуму (від латин, locus — місце).

Неперервна на відрізку [а; b] функція набуває на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень1 або на кінцях відрізка, або в точках екстремуму (рис. 50.2).

Тоді для такої функції пошук найбільшого і найменшого значень на відрізку [а; b] можна проводити, користуючись такою схемою.

1. Знайти критичні точки функції f, які належать відрізку [а; b].

2. Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на кінцях розглядуваного відрізка.

3. З усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Зрозуміло, що цей алгоритм можна реалізувати лише тоді, коли розглядувана функція f має скінченну кількість критичних точок на відрізку [а; b].

1 Нагадаємо, що існування найбільшого та найменшого значень неперервної на відрізку функції гарантує друга теорема Вейєрштрасса (теорема 40.4).

Якщо визначити, які з критичних точок є точками екстремуму, то кількість точок, у яких треба шукати значення функції, можна зменшити. Проте щоб виявити точки екстремуму, зазвичай потрібна більша технічна робота, ніж для обчислення значень функції в критичних точках.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = 4х3 - 9х2 - 12х + 6 на відрізку [-2; 0].

Розв’язання. Знайдемо критичні точки даної функції:

f'(x) = 12х2 -18x - 12;

2 - 3х-2 = 0; х = 2 або х = -.

Таким чином, функція f має дві критичні точки, а проміжку [-2; 0] належить одна: х = -.

Маємо:

Отже,

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб сума куба першого числа та квадрата другого була найменшою.

Розв’язання. Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 8 - х. З умови випливає, що 0 ≤ х ≤ 8.

Розглянемо функцію f(х) = х3 + (8 - х)2, визначену на відрізку [0; 8], і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найменшого значення.

Маємо: f'(х) = 3х2 - 2(8 - х) = 3х2 + 2х - 16. Знайдемо критичні точки даної функції:

2 + 2х - 16 = 0;

х = 2 або х = -.

Серед знайдених чисел проміжку [0; 8] належить тільки число 2. Отримуємо:

f(2) = 44, f(0) = 64, f(8) = 512.

Отже, функція f набуває найменшого значення при х = 2.

Відповідь: 8 = 2 + 6.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть сторони прямокутника, вписаного в коло радіуса R, при яких площа прямокутника набуває найбільшого значення.

Розв’язання. Розглянемо прямокутник ABCD, вписаний у коло

радіуса R (рис. 50.3). Нехай АВ = х, тоді

Звідси площа прямокутника ABCD дорівнює

З умови задачі випливає, що значення змінної х задовольняють нерівність 0 < х < 2R, тобто належать проміжку (0; 2R). Таким чином, задача звелася до знаходження найбільшого значення функції на інтервалі (0; 2R).

Розглянемо неперервну функцію D(f) = [0; 2R], і визначимо її найбільше значення на відрізку [0; 2R], Знайдемо критичні точки функції f:

Рис. 50.3

Функція f має одну критичну точку х = R.

Маємо:

Отже,

Звідси отримуємо, що функція на інтервалі (0; 2R) набуває найбільшого значення при х = R .

Тоді АВ = R ,

Отже, серед прямокутників, вписаних у коло радіуса R, найбільшу площу має квадрат зі стороною R.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розглянемо функцію

D(f) = [2; 4]. Для всіх х ∈ (2; 4) маємо:

Розв’яжемо рівняння f'(х) = 0.

Запишемо:

Звідси легко знайти, що х = 3. Отже, функція f на відрізку [2; 4] має єдину критичну точку х = 3.

Оскільки функція f є неперервною на відрізку [2; 4], то її найбільше і найменше значення знаходяться серед чисел f(3), f(2), f(4). Маємо: f(3) = 2, f(2) = f(4) =

Таким чином, причому найбільшого значення функція f набуває лише при х = 3.

Оскільки нам потрібно розв’язати рівняння f(x) = 2, то отримуємо, що x = 3 є його єдиним коренем.

Відповідь: 3.

ПРИКЛАД 5 Пункти А, В і С розміщені у вершинах прямокутного трикутника (∠ACB = 90°), ВС = 3 км, АС = 5 км. З пункту А в пункт С веде шосейна дорога. Турист починає рухатися з пункту А по шосе. На якій відстані від пункту А турист має звернути із шосе, щоб за найменший час дійти з пункту А до пункту В, якщо швидкість туриста по шосе дорівнює 5 км/год, а поза шосе — 4 км/год?

Розв’язання. Позначимо через D точку, у якій турист має звернути із шосе, щоб найшвидше подолати шлях (рис. 50.4).

Нехай АD = х км. Маємо: DC = 5 - х,

Тоді час, за який турист подолає шлях, дорівнює

Тепер зрозуміло, що для розв’язання задачі достатньо знайти найменше значення функції заданої на відрізку [0; 5].

Маємо:

Розв’язавши рівняння (зробіть це самостійно), установлюємо, що число х = 1 є його єдиним коренем. Порівнюючи числа

установлюємо, що — найменше значення функції f на відрізку [0; 5].

Відповідь: 1 км.

Рис. 50.4

ВПРАВИ

50.1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.3. Доведіть нерівність -20 ≤ х3 - 3х2≤ 16, де х ∈ [-2; 4].

50.4. Доведіть нерівність 0 ≤ х3 - 2х2 + х ≤ 2, де х ∈ [0; 2].

50.5. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.6. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.8. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.9. Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був найбільшим.

50.10. Подайте число 12 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток квадрата одного із цих чисел і подвоєного другого числа був найбільшим.

50.11. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.12. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

50.13. Розбийте число 180 на три таких невід’ємних доданки, щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.

50.14. Подайте число 18 у вигляді суми трьох таких невід’ємних чисел, щоб два з них відносились як 8 : 3, а сума кубів цих трьох чисел була найменшою.

50.15. У трикутник ABC вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на стороні АС, а дві інші — на сторонах АВ і ВС. Знайдіть найбільше значення площі такого прямокутника, якщо АС = 12 CМ, BD = 10 см, де BD — висота трикутника ABC.

50.16. У прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30° вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

50.17. У півколо радіуса 20 см вписано прямокутник найбільшої площі. Знайдіть сторони прямокутника.

50.18. У півколо радіуса 6 см вписано прямокутник найбільшого периметра. Знайдіть сторони прямокутника.

50.19. Дві вершини прямокутника належать графіку функції у = 12 - х2, а дві інші — осі абсцис. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

50.20. Дві вершини прямокутника належать графіку функції у = 0,5х2, а дві інші — прямій у = 9. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

50.21. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Якою має бути довжина основи трикутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого значення?

50.22. Василь Заплутайко вирішив знайти найбільше і найменше значення функції f(х) = на відрізку [-1; 1]. Він знайшов похідну і встановив, що рівняння

не має розв’язків. Порівнявши значення f (-1) = - 1 і f (1) = 1, Василь стверджує, що найбільше значення функції f на відрізку [-1; 1] дорівнює 1, а найменше дорівнює -1. Чи правильно міркує Василь?

50.23. У трапеції менша основа й бічні сторони дорівнюють а. Знайдіть більшу основу трапеції, при якій її площа набуває найбільшого значення.

50.24. У рівнобедрений трикутник вписано коло радіуса r. Яким має бути кут при основі трикутника, щоб його площа була найменшою?

50.25. Яким має бути кут при вершині рівнобедреного трикутника заданої площі, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був найбільшим?

50.26. На колі радіуса R позначили точку А. На якій відстані від точки А треба провести хорду ВС, паралельну дотичній у точці А, щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

50.27. Фігуру обмежено графіком функції у = , прямою у = 2 і віссю ординат. У якій точці графіка функції у = (0 ≤ х ≤ 4) треба провести дотичну, щоб вона відтинала від указаної фігури трикутник найбільшої площі?

50.28. На координатній площині розміщено прямокутний трикутник ABC (∠ABC = 90°). Вершина А має координати (-2; 0), вершина В належить відрізку [2; 3] осі абсцис, а вершина С — параболі у = х2 - 4х + 1. Якими мають бути координати точки С, щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

50.29. Пункти А, В і С знаходяться у вершинах прямокутного трикутника ABC (∠ACB = 90°), АС = 285 км, ВС = 60 км. Пункти А і С сполучає залізниця. У яку точку відрізка АС треба провести ґрунтову дорогу з пункту В, щоб час перебування в дорозі від пункту А до пункту В був найменшим, якщо відомо, що швидкість руху залізницею дорівнює 52 км/год, а ґрунтовою дорогою — 20 км/год?

50.30. Завод А розміщено на відстані 50 км від прямолінійної ділянки залізниці, яка прямує в місто B, і на відстані 130 км від міста В. Під яким кутом до залізниці треба провести шосе від заводу А, щоб доставка вантажів з А до B була найдешевшою, якщо вартість перевезення по шосе у 2 рази більша, ніж залізницею?

50.31. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = -5х3 + х | х - 1 | на проміжку [0; 2].

50.32. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = = 4х3 - х | х - 2 | на проміжку [0; 3].

50.33. Розв’яжіть рівняння

50.34. Розв’яжіть рівняння

50.35. Знайдіть усі такі значення параметра а, при яких найменше значення функції на відрізку [-1; 0] досягається в точці х = -1.

50.36. Знайдіть усі значення параметра а, при яких найменше значення функції у = х3 - 2ах2 + 1 на відрізку [0; 1] досягається в точці х = 1.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити