Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

51. Друга похідна. Поняття опуклості функції

Нехай матеріальна точка рухається за законом y = s(t) по координатній прямій. Тоді миттєву швидкість v(t) у момент часу t визначають за формулою

v(t) = s'(t).

Розглянемо функцію у = v(t). Її похідну в момент часу t називають прискоренням руху та позначають a(t), тобто

a(t) = v' (t).

Таким чином, функція прискорення руху — це похідна функції швидкість руху, яка у свою чергу є похідною функції закон руху, тобто

a(t) = v'(t) = (s'(t))'.

У таких випадках говорять, що функція прискорення руху у = a(t) є другою похідною функції у = s(t). Записують:

a(t) = s"(t)

(запис s"(t) читають: «ес два штрихи від те»).

Наприклад, якщо закон руху матеріальної точки задано формулою s(t) = t2 - 4t, то маємо:

s'(t) = v(t) = 2t - 4;

s" (t) = v'(t) = a(t) = 2.

Ми отримали, що матеріальна точка рухається зі сталим прискоренням. Як ви знаєте з курсу фізики, такий рух називають рівноприскореним.

Узагальнимо сказане.

Розглянемо функцію у = f(x), диференційовну на деякій множині М. Тоді її похідна також є деякою функцією, заданою на цій множині. Якщо функція f' є диференційовною в деякій точці х0 ∈ М, то похідну функції f у точці х0 називають другою похідною функції у = f(х) у точці х0 та позначають f"(х0) або y"(x0). Саму функцію f називають двічі диференційовною в точці х0.

Функцію, яка числу х0 ставить у відповідність число f"(х0), називають другою похідною функції y = f(x) і позначають f" або у".

Наприклад, якщо у = sin х, то у" = -sin х.

Якщо функція f є двічі диференційовною в кожній точці множини М, то її називають двічі диференційовною на множині М. Якщо функція f двічі диференційовна на D(f), то її називають двічі диференційовною.

Ви знаєте, що функцію характеризують такі властивості, як парність (непарність), періодичність, зростання (спадання) тощо. Ще однією важливою характеристикою функції є опуклість угору та опуклість униз.

Звернемося до прикладів.

Про функції у = x2, у = | x | говорять, що вони є опуклими вниз (рис. 51.1), а функції у = -х2, у = є опуклими вгору (рис. 51.2).

Рис. 51.1

Рис. 51.2

Функція у = sin х є опуклою вгору на проміжку [0; я] та опуклою вниз на проміжку [я; 2я] (рис. 51.3).

Надалі, вивчаючи поняття опуклості функції на проміжку І, обмежимося випадком, коли функція f є диференційовною1 на цьому проміжку.

Нехай функція f диференційовна на проміжку І. Тоді в будь-якій точці її

Рис. 51.3

графіка з абсцисою х ∈ І можна провести невертикальну дотичну. Якщо при цьому графік функції на проміжку І розміщений не вище за будь-яку таку дотичну (рис. 51.4), то функцію f називають опуклою вгору на проміжку І; якщо ж графік на проміжку І розміщено не нижче від кожної такої дотичної (рис. 51.5) — опуклою вниз на проміжку І.

Рис. 51.4

Рис. 51.5

Рис. 51.6

Наприклад, доведемо, що функція f(х) = х2 є опуклою вниз на проміжку (-∞; +∞). Проведемо дотичну до графіка функції f(х) = х2 у точці з абсцисою х0 (рис. 51.6). Рівняння цієї дотичної має вигляд

Розглянемо різницю

Оскільки ця різниця набуває лише невід’ємних значень, то це означає, що графік функції f лежить не нижче від будь-якої дотичної. Отже, функція f(х) = х2 є опуклою вниз на проміжку (-∞; +∞).

Аналогічно можна довести, що функція у = х3 є опуклою вгору на проміжку (-∞; 0] і опуклою вниз на проміжку [0; +∞) (рис. 51.7).

Рис. 51.7

1 У вищій школі поняття опуклості узагальнюють і на більш широкі класи функцій, наприклад на неперервні.

Кожна лінійна функція є як опуклою вгору, так і опуклою вниз на ℝ.

Зауважимо, що також буває доцільним виділяти строго опуклі функції.

Розглянемо графік функції f, опуклої вгору на проміжку І. Проведемо дотичну до нього в точці з абсцисою х ∈ І. Якщо графік на проміжку І має з кожною такою дотичною лише одну спільну точку, то говорять, що функція f є строго опуклою вгору на проміжку І. Аналогічно означають функцію, строго опуклу вниз на проміжку І.

Наприклад, функція у = х2 є строго опуклою вниз на ℝ. Жодна лінійна функція не є строго опуклою.

На рисунку 51.8 зображено графік функції f, яка є опуклою вниз на проміжку [а; b]. З рисунка видно, що зі збільшенням аргументу х кут нахилу відповідної дотичної збільшується. Це означає, що функція f зростає на проміжку [а; b].

Рис. 51.8

Рис. 51.9

Нехай функція f є опуклою вгору на проміжку [а; b] (рис. 51.9). З рисунка видно, що зі збільшенням аргументу х кут нахилу відповідної дотичної зменшується. Це означає, що функція f' спадає на проміжку [а; b].

ЦІ приклади показують, що характер опуклості функції f на деякому проміжку І пов’язаний зі зростанням (спаданням) функції f' на цьому проміжку.

Для двічі диференційовної на проміжку І функції f зростання (спадання) функції f' визначається знаком другої похідної функції f на проміжку І. Таким чином, характер опуклості двічі диференційовної функції пов’язаний зі знаком її другої похідної.

Цей зв’язок установлюють такі дві теореми.

Теорема 51.1 (ознака опуклості функції вниз). Якщо для всіх х ∈ I виконується нерівність f"(x) ≥ 0, то функція f є опуклою вниз на проміжку І.

Теорема 51.2 (ознака опуклості функції вгору) Якщо для всіх х ∈ I виконується нерівність f"(х) ≤ 0, то функція f є опуклою вгору на проміжку І.

Доведемо теорему 51.1 (теорему 51.2 можна довести аналогічно).

Доведення. У точці з абсцисою х0 І проведемо дотичну до графіка функції f. Рівняння цієї дотичної має вигляд

у = f'(x0)(х - х0) + f(х0).

Розглянемо функцію r(х) = f(х) - (f'(х0)(х - х0) + f(х0)).

Значення функції г показують, наскільки відрізняється ордината точки графіка функції f від ординати відповідної точки, яка лежить на проведеній дотичній (рис. 51.10).

Якщо ми покажемо, що r(х) ≥ 0 для всіх х ∈ I, то таким чином доведемо, що на проміжку І графік функції f лежить не нижче від проведеної до нього дотичної.

Нехай х ∈ І і х > х0 (випадок, коли х ≤ х0, розгляньте самостійно).

Рис. 51.10

Маємо: r(х) = f(х) - f(х0) - f'(х0)(х - х0). Для функції f і відрізка [х0; х] застосуємо теорему Лагранжа: f(х) - f(х0) = f'(с1)(х - х0), де c1 ∈ (х0; х).

Звідси r (х) = f'(с1)(х - х0) - f'(х0)(х - х0),

r(х) = (f'(с1) - f'(х0))(х - х0).

Оскільки функція у = f'(х) є диференційовною на відрізку [x0;c1], то можна застосувати теорему Лагранжа:

f'(с1) - f'(x0) - f''(с2)(с1 - х0), де с2 ∈ (х0; с1).

Звідси r(х) = f"(с2)(с1 - х0)(х - х0).

На рисунку 51.10 показано розміщення точок с1 і с2.

З нерівностей х0 < с2 < с1 < х випливає, що (c1 - х0) (х - х0) > 0. Оскільки с2∈ І, то з урахуванням умови теореми отримуємо: f''(c2) ≥ 0. Звідси для всіх х ∈ І виконується нерівність r(х) ≥ 0, тому функція f є опуклою вниз на проміжку І.

Також можна довести, що коли функція f є опуклою вниз (угору) і двічі диференційовною на проміжку І, то для всіх х ∈ І виконується нерівність f"(х) ≥ 0 (f''(х) ≤ 0).

ПРИ КЛАД 1 Дослідіть на опуклість функцію f(x) = tg х на проміжку

Розв’язання. Маємо:

Звідси

Нерівність f"(х) ≥ 0 на проміжку виконується при 0 ≤ х ≤ .

Таким чином, функція у = tg х є опуклою вниз на проміжку (рис. 51.11).

Рис. 51.11

Нерівність f"(х) ≤ 0 на проміжку виконується при - < х ≤ 0. Отже, функція у = tg х є опуклою вгору на проміжку (рис. 51.11).

Нагадаємо, що функція тангенс є періодичною з періодом Т = . Ми дослідили її на опуклість на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції. Отже, можна зробити висновок, що функція у = tg х є опуклою вниз на кожному з проміжків виду і опуклою вгору на кожному з проміжків виду n ∈ ℤ.

На рисунку 51.12 зображено графіки функцій і дотичні, проведені до них у точках з абсцисою х0. Кожна з наведених функцій на проміжках (а; х0] і [х0; b) має різний характер опуклості, тому на цих проміжках графік функції розташований у різних півплощинах відносно дотичної. У такому разі говорять, що точка х0 є точкою перегину функції.

Рис. 51.12

Рис. 51.13

Рис. 51.14

Наприклад, точка х0 = 0 є точкою перегину функції у = х3 (рис. 51.7); точки виду + n, n ∈ ℤ, є точками перегину функції у = cos х (рис. 51.13).

Теорема 51.3. Якщо х0 є точкою перегину функції f i в цій точці функція двічі диференційовна, то f"(x0)= 0.

Наведемо ідею доведення цієї теореми (за бажанням ви зможете відновити всі пропущені кроки доведення самостійно).

Розглянемо випадок, коли на проміжку [х0;b) графік функції f розташований не нижче від дотичної, а на проміжку (а;х0] — не вище за дотичну (рис. 51.12, а). Тоді, використовуючи рівняння дотичної, можна показати, що для всіх х ∈ (х0;b) виконується нерівність

Звідси за теоремою Лагранжа f'(c) ≥ f'(x0). Тоді

Тепер неважко встановити, що f"(х0) ≥ 0. Розглядаючи проміжок (а;х0), аналогічно встановлюємо, що f"(х0) ≤ 0. Тому f''(х0) = 0.

Зазначимо, що коли в точці х0 друга похідна дорівнює нулю, то не обов’язково ця точка є точкою перегину функції. Наприклад, для функції f(х) = х4 маємо: f"(х) = 12х2. Тоді f"(0) = 0. Проте х0 = 0 не є точкою перегину (рис. 51.14).

ПРИКЛАД 2 Дослідіть характер опуклості та знайдіть точки перегину функції

Розв’язання. Маємо:

Використовуючи метод інтервалів, дослідимо знак функції у = f"(x) (рис. 51.15). Отримуємо, що функція f є опуклою вгору на проміжку (-∞; 1] та опуклою вниз на проміжку [1; +∞).

Рис. 51.15

Функція f на проміжках (-∞; 1] і [1; +∞) має різний характер опуклості. У точці з абсцисою х0 = 1 до графіка функції f можна провести дотичну. Отже, х0 = 1 є точкою перегину функції f.

ВПРАВИ

51.1. Знайдіть другу похідну функції:

51.2. Знайдіть другу похідну функції:

51.3. На рисунку 51.16 зображено графік функції f. Укажіть кілька значень аргументу х, для яких:

1) f''(х) ≥ 0; 2) f"(х) ≤ 0.

Рис. 51.16

51.4. Доведіть, що функція у = f(х) є опуклою вниз (угору) на проміжку І тоді й тільки тоді, коли функція y = -f(x) є опуклою вгору (униз) на проміжку І.

51.5. Двічі диференційовні на проміжку І функції у = f(х) і у = g(x) є опуклими вниз (угору) на проміжку І. Доведіть, що функція у = f(х) + g(x) є опуклою вниз (угору) на проміжку І.

51.6. Чому дорівнює значення другої похідної функції у = 5 sin х - 3 cos 4х у точці:

51.7. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = 2t3 - 5t2 + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть її прискорення в момент часу t0 = 2 с.

51.8. Одне тіло рухається по координатній прямій за законом s1(t) = t3 - t2 + 3t - 2, а друге — за законом (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть прискорення кожного тіла в момент часу, коли їхні швидкості рівні.

51.9. Тіло масою 5 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = t3 - 6t + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть силу F(t) = ma(t), що діє на тіло через 3 с після початку руху.

51.10. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) у = х3 - 3х + 2; 2) у = х4 - 8х3 + 18х2 - х + 1.

51.11. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) у = х3 - 2х2 + х - 2; 2) у = х4 - 6х3 + 12х2 - 3х + 4.

51.12. Знайдіть точки перегину функції у = 3х5 - 10х4 + 10х3 + 12х + 3.

51.13. Знайдіть точки перегину функції у = 3х5 + 10х4 + 10х3 - 5х - 4.

51.14. Доведіть, що функція f(х) = х4 - 4х3 + 12х2 - 11х - 7 є опуклою вниз на ℝ.

51.15. Доведіть, що функція f(х) = sin2x - 2х2 є опуклою вгору на ℝ.

51.16. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

51.17. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

51.18. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції у = х2 + 4 sin х.

51.19. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції у = х2 - 4 cos х.

51.20. Знайдіть другу похідну функції

51.21. Знайдіть другу похідну функції

51.22. Функція f двічі диференційовна на ℝ. На рисунку 51.17 зображено графік похідної функції f. Укажіть проміжки опуклості та точки перегину функції f.

Рис. 51.17

51.23. Функція f двічі диференційовна на ℝ. На рисунку 51.18 зображено графік похідної функції f. Укажіть проміжки опуклості та точки перегину функції f.

Рис. 51.18

51.24. На рисунку 51.19 зображено графік другої похідної функції f. Відомо, що f(х0) = 0. З’ясуйте, чи є х0 точкою екстремуму функції f, якщо:

1) х0 = -1,5; 2) х0 = 0; 3) х0 = 1.

Рис. 51.19

51.25. На рисунку 51.20 зображено графік другої похідної функції f. Відомо, що f'(х0) = 0. З’ясуйте, чи є х0 точкою екстремуму функції f, якщо:

1) х0 = -1; 2) х0 = 1; 3) х0 = 0.

Рис. 51.20

51.26. На рисунку 51.21 зображено графік функції f(х) = х4 + ах2 + bх + с. Знайдіть знаки чисел а, b і с.

Рис. 51.21

Рис. 51.22

51.27. На рисунку 51.22 зображено графік функції f(х) = х3 + ах2 + bх + с. Знайдіть знаки чисел а, b і с.

51.28. Для всіх х ∈ ℝ доведіть нерівність

51.29. Для всіх х ≥ 0 доведіть нерівність

51.30. Про функцію f відомо, що f"(x) > 0 для всіх х ∈ ℝ (f"(х) < 0 для всіх х ∈ ℝ). Доведіть, що довільна пряма має з графіком функції f не більше двох спільних точок.

51.31. Розв’яжіть рівняння

51.32. Розв’яжіть рівняння

51.33. Обчисліть суму

S = 60 ∙ 59 ∙ 258 + 59 ∙ 58 ∙ 257 + 58 ∙ 57 ∙ 256 +… + 3 ∙ 2 ∙ 21 + 2 ∙ 1 ∙ 20.

51.34. Обчисліть суму S = 12 - 2n-1 +22⋅ 2n-2 + 32 ∙ 2n-3 +… +n2 ⋅ 20.

51.35. Доведіть, що функція у = xsinx не є періодичною.

51.36. Доведіть, що функція у = cos x + sin x не є періодичною.

51.37. Кожне із чисел х, у, z належить відрізку [1; 2]. Доведіть нерівність x3 + у3+ z3 - 3xyz ≤ 5.

51.38. Кожне із чисел х, у, z належить відрізку [1; 2]. Доведіть нерівність





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити