§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Нерівність Єнсена

Теорема 51.4. Якщо функція f є опуклою вгору на проміжку І, то для будь-яких a i b з проміжку І виконується нерівність

Ця теорема має просту геометричну інтерпретацію (рис. 51.23). Якщо функція f є опуклою вгору на відрізку [а; b], то ордината точки М є не меншою, ніж ордината точки М₁.

Доведення. Проведемо дотичну до графіка функції f у точці М (рис. 51.23). Оскільки функція f опукла вгору, то точка А лежить не нижче від точки А₁ а точка В — не нижче від точки В1. Тому середина відрізка АВ (точка М) лежить не нижче від середини відрізка А₁B₁ (точка М₁). Це й означає, що ордината точки М є не меншою, ніж ордината точки M₁.

Теорема 51.4 має таке узагальнення.

Рис. 51.23

Теорема 51.5 Якщо функція f є опуклою вгору на проміжку І, то для будь-яких х₁, х₂, ..., х_n з проміжку І виконується нерівність

Нерівність (1) називають нерівністю Єнсена для опуклої вгору функції.

Доведемо теорему 51.5.

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції.

З теореми 51.4 випливає, що нерівність (1) є правильною при n = 2. Доведемо, що коли нерівність (1) є правильною для n = k, k > 2, то вона є правильною для n = 2k.

Розглянемо 2k чисел х₁, х₂, ..., х_2k, які належать проміжку І.

Очевидно, що кожне із чисел

належить проміжку І.

Маємо:

Тепер можемо зробити висновок, що нерівність (1) є правильною для n = 2, n = 4, n = 8 і т. д., тобто для всіх натуральних степенів числа 2.

Нехай m — такий степінь числа 2, що m > n.

Розглянемо m чисел:

Для цих m чисел застосуємо доведену нерівність (1):

Звідси

Зауважимо, що для опуклої вниз функції f знак нерівності (1) змінюється на протилежний, тобто для будь-яких х₁, х₂, ..., х_n з проміжку І виконується нерівність

Цю нерівність називають нерівністю Єнсена для опуклої вниз функції.

ПРИКЛАД 1 Для кутів А, В і С трикутника ABC доведіть нерівність

Розв’язання. Розглянемо функцію f(x) = tg х,

Оскільки дана функція опукла вниз на проміжку то

Звідси

ПРИКЛАД 2 Відомо, що а > 0, b > 0, с > 0 і а + b + с = 1. Доведіть нерівність

Розв’язання. Розглянемо функцію D(f) = ( 0; 1).

Маємо:

Отримуємо, що f"(x) < 0 для будь-якого х ∈ (0; 1). Тому функція f є опуклою вгору. Зазначимо, що а ∈ (0; 1), b ∈ (0; 1), с ∈ (0; 1). Для функції f можна застосувати нерівність (1):

Звідси

ВПРАВИ

51.39. Для кутів А, В і С трикутника ABC доведіть нерівність:

51.40. Доведіть нерівність де x₁ ≥ 0, х₂≥ 0, ..., х_n > 0,k ∈ ℕ, n ∈ ℕ.

51.41. Відомо, що х₁ > 0, х₂ > 0, ..., х_n > 0 і х₄ + х₂ + ... + х_n = n.

Доведіть, що

51.42. Відомо, що х > 0, у> 0, z > 0 і х² + у² + z² = 1. Доведіть, що