Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
Нерівність Єнсена
Теорема 51.4. Якщо функція f є опуклою вгору на проміжку І, то для будь-яких a i b з проміжку І виконується нерівність
Ця теорема має просту геометричну інтерпретацію (рис. 51.23). Якщо функція f є опуклою вгору на відрізку [а; b], то ордината точки М є не меншою, ніж ордината точки М1.
Доведення. Проведемо дотичну до графіка функції f у точці М (рис. 51.23). Оскільки функція f опукла вгору, то точка А лежить не нижче від точки А1 а точка В — не нижче від точки В1. Тому середина відрізка АВ (точка М) лежить не нижче від середини відрізка А1B1 (точка М1). Це й означає, що ордината точки М є не меншою, ніж ордината точки M1.
Теорема 51.4 має таке узагальнення.
Рис. 51.23
Теорема 51.5 Якщо функція f є опуклою вгору на проміжку І, то для будь-яких х1, х2, …, хn з проміжку І виконується нерівність
Нерівність (1) називають нерівністю Єнсена для опуклої вгору функції.
Доведемо теорему 51.5.
Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції.
З теореми 51.4 випливає, що нерівність (1) є правильною при n = 2. Доведемо, що коли нерівність (1) є правильною для n = k, k > 2, то вона є правильною для n = 2k.
Розглянемо 2k чисел х1, х2, …, х2k, які належать проміжку І.
Очевидно, що кожне із чисел
належить проміжку І.
Маємо:
Тепер можемо зробити висновок, що нерівність (1) є правильною для n = 2, n = 4, n = 8 і т. д., тобто для всіх натуральних степенів числа 2.
Нехай m — такий степінь числа 2, що m > n.
Розглянемо m чисел:
Для цих m чисел застосуємо доведену нерівність (1):
Звідси
Зауважимо, що для опуклої вниз функції f знак нерівності (1) змінюється на протилежний, тобто для будь-яких х1, х2, …, хn з проміжку І виконується нерівність
Цю нерівність називають нерівністю Єнсена для опуклої вниз функції.
ПРИКЛАД 1 Для кутів А, В і С трикутника ABC доведіть нерівність
Розв’язання. Розглянемо функцію f(x) = tg х, 
Оскільки дана функція опукла вниз на проміжку 
то
Звідси
ПРИКЛАД 2 Відомо, що а > 0, b > 0, с > 0 і а + b + с = 1. Доведіть нерівність
Розв’язання. Розглянемо функцію 
D(f) = ( 0; 1).
Маємо:
Отримуємо, що f"(x) < 0 для будь-якого х ∈ (0; 1). Тому функція f є опуклою вгору. Зазначимо, що а ∈ (0; 1), b ∈ (0; 1), с ∈ (0; 1). Для функції f можна застосувати нерівність (1):
Звідси
ВПРАВИ
51.39. Для кутів А, В і С трикутника ABC доведіть нерівність:
51.40. Доведіть нерівність 
де x1 ≥ 0, х2≥ 0, …, хn > 0,k ∈ ℕ, n ∈ ℕ.
51.41. Відомо, що х1 > 0, х2 > 0, …, хn > 0 і х4 + х2 + … + хn = n.
Доведіть, що
51.42. Відомо, що х > 0, у> 0, z > 0 і х2 + у2 + z2 = 1. Доведіть, що
