Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

52. Побудова графіків функцій

Коли вам доводилося будувати графіки, ви зазвичай робили так: позначали на координатній площині деяку кількість точок, які належать графіку, а потім сполучали їх. Точність побудови залежала від кількості позначених точок.

На рисунку 52.1 зображено кілька точок, які належать графіку деякої функції у = f(х). Ці точки можна сполучити по-різному, наприклад так, як показано на рисунках 52.2 і 52.3.

Рис. 52.1

Рис. 52.2

Проте якщо знати, що функція f зростає на кожному з проміжків [х1; х2] і [х3; х4], спадає на проміжку [х2; х3] та є диференційовною, то, скоріше за все, буде побудовано графік, показаний на рисунку 52.4.

Рис. 52.3

Рис. 52.4

Ви знаєте, які особливості мають графіки парної, непарної, періодичної функцій тощо. Узагалі, чим більше властивостей функції вдалося з’ясувати, тим точніше можна побудувати її графік.

Дослідження властивостей функції проводитимемо за таким планом.

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність.

3. Знайти нулі функції.

4. Знайти проміжки знакосталості функції.

5. Дослідити функцію на неперервність, знайти вертикальні асимптоти.

6. Знайти похилі асимптоти графіка функції.

7. Знайти проміжки зростання і спадання функції.

8. Знайти точки екстремуму та значення функції в точках екстремуму.

9. Знайти проміжки опуклості функції і точки перегину.

10. Виявити інші особливості функції (періодичність функції, поведінку функції в околах окремих важливих точок тощо).

Зауважимо, що наведений план дослідження має рекомендаційний характер і не є незмінним та вичерпним. Під час дослідження функції важливо виявити такі її властивості, які дадуть змогу коректно побудувати графік.

ПРИКЛАД 1 Дослідіть функцію

і побудуйте її графік.

Розв’язання. 1. Функція визначена на множині дійсних чисел, тобто D (f) = ℝ.

2. Маємо:

Звідси f(-х) ≠ f(х) і f(-х) ≠ f(х), тобто функція у = f(-х) не збігається ні з функцією у = f(х), ні з функцією у = -f(х). Таким чином, дана функція не є ні парною, ні непарною.

3-4. Маємо:

Числа 0 і 6 є нулями

функції f. Застосувавши метод інтервалів (рис. 52.5), знаходимо проміжки знакосталості функції f, а саме: установлюємо, що f(х) > 0 при х ∈ (-∞; 0) U (0; 6) і f(х) < 0 при х ∈(6; +∞).

Рис. 52.5

Рис. 52.6

Рис. 52.7

5. Функція f неперервна на ℝ, тому її графік не має вертикальних асимптот.

6. Маємо:

Оскільки функція не має границі ні при х +∞, ні при х -∞ то графік функції f не має похилих асимптот.

7-8. Маємо:

Дослідивши знак похідної (рис. 52.6), доходимо висновку, що функція f зростає на проміжку [0; 4], спадає на кожному з проміжків (-∞; 0] і [4; +∞), хmах = 4, хmіn = 0. Отримуємо: f(4) = 8, f(0) = 0.

9. Маємо: f"(x) = 3-.

Дослідивши знак другої похідної (рис. 52.7), робимо висновок, що функція f є опуклою вниз на проміжку (-∞; 2], опуклою вгору на проміжку [2; +∞). Отже, х0 = 2 є точкою перегину і f(2) = 4.

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції (рис. 52.8).

Рис. 52.8

ПРИКЛАД 2 Дослідіть функцію і побудуйте її графік.

Розв’язання

1. Функція визначена на множині

2. Функція не є ні парною, ні непарною.

3. Розв’язавши рівняння установлюємо, що х = 0 — єдиний нуль даної функції.

4. f(x) > 0 при f(x) < 0 при

5. Функція f неперервна на множині

Тому вертикальною асимптотою графіка функції f може бути лише пряма

Маємо:

Отже, пряма — вертикальна асимптота графіка даної функції.

6. Дослідимо графік функції f на наявність похилих асимптот у = kх + b.

Тому k = 1. Маємо:

Отже, b = 0.

Таким чином, пряма у = х — похила асимптота графіка даної функції при х +∞ і при х -∞.

7-8. Маємо:

Дослідивши знак f' (рис. 52.9), доходимо висновку, що функція f спадає на кожному з проміжків і зростає на кожному з проміжків

f(0) = 0.

Рис. 52.9

9. Маємо:

Дослідивши знак f" (рис. 52.10), доходимо висновку, що функція f є опуклою вниз на кожному з проміжків опуклою вгору на проміжку

— точка перегину і

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції (рис. 52.11).

Рис. 52.10

Рис. 52.11

ВПРАВИ

52.1. Побудуйте графік функції:

52.2. Побудуйте графік функції:

52.3. Побудуйте графік функції:

52.4. Побудуйте графік функції:

52.5. Побудуйте графік функції f(х) = х2(2х - 3) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f(x) = a залежно від значення параметра а.

52.6. Побудуйте графік функції f(х) = -х22 - 4) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f(х) = а залежно від значення параметра а.

52.7. Побудуйте графік функції:

52.8. Побудуйте графік функції:

52.9. Побудуйте графік функції:

52.10. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

52.11. Побудуйте графік функції:

1) f(х) = sin 2х - х; 2) f(х) = 2 sin х - cos 2х.

52.12. Побудуйте графік функції:

1) sinx + ;

2) f(х) = 2 cos х - cos 2х.

52.13. При яких значеннях параметра а рівняння х3 + ах + 2 = 0 має три корені?

52.14. При яких значеннях параметра а рівняння х3 - ах + 2а + 32 = 0 має три корені?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити