Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ
4. Означення кореня n-го степеня. Функція кореня n-го степеня
Ви знаєте, що коренем другого степеня (квадратним коренем) із числа а називають таке число, другий степінь якого дорівнює а. Аналогічно дають означення кореня n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1.
Означення. Коренем n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад, коренем п’ятого степеня із числа 32 є число 2, оскільки 25 = 32; коренем третього степеня із числа -64 є число -4, оскільки (-4)3 = -64; коренями четвертого степеня із числа 81 є числа 3 і -3, оскільки З4 = 81 і (-3)4 = 81.
З означення випливає, що будь-який корінь рівняння хn = а, де n ∈ ℕ, n > 1, є коренем n-го степеня із числа а і, навпаки, будь-який корінь n-го степеня із числа а є коренем розглядуваного рівняння.
Якщо n — непарне натуральне число, то функція у = хn є зростаючою, і, оскільки її областю значень є множина ℝ, то рівняння хn = а має єдиний корінь при будь-якому а.
Рисунок 4.1 ілюструє останнє твердження: при будь-якому значенні а графіки функцій у = хn і у = а мають одну спільну точку. Тоді можна зробити такий висновок:
якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то з будь- якого числа існує корінь n-го степеня, причому тільки один.
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Корінь непарного степеня n, n > 1, із числа а позначають так: 
(читають: «корінь n-го степеня з а»). Знак 
називають знаком кореня n-то степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом.
Наприклад, 
Корінь третього степеня прийнято називати також кубічним коренем. Наприклад, запис 
читають: «корінь кубічний із числа 2».
Наголосимо, що вираз 
k ∈ ℕ, існує при будь-якому а.
З означення кореня n-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність
Наприклад,
Розглянемо рівняння хn = а, де n — парне натуральне число.
Оскільки областю значень функції у = хn, де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞), то при а < 0 дане рівняння не має розв’язків.
Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0.
Функція у = хn, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку [0; +∞) і набуває всіх додатних значень. Отже, при а ≥ 0 рівняння хn = а, де n — парне натуральне число, на проміжку [0; +оо) має єдиний корінь.
Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане рівняння має два корені, які є протилежними числами.
Наведені твердження мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 4.2). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хn і у = а не мають спільних точок; якщо а = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їхні абсциси — протилежні числа.
Тепер можна зробити такий висновок:
якщо n — парне натуральне число, то при а < 0 корінь n-го степеня із числа а не існує; при а = 0 корінь n-го степеня із числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежних числа, які є коренями n-го степеня із числа а.
Вище було встановлено, що рівняння хn = а при а > 0 обов’язково має один невід’ємний корінь. Його називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.
Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а позначають так: 
Наприклад, 
оскільки 3 ≥ 0 і 34 = 81;
оскільки 2 ≥ 0 і 26 = 64;
оскільки 0 ≥ 0 і 010 = 0.
Узагалі, якщо b ≥ 0 і bn = а, де n ∈ ℕ, n > 1, то 
Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа а та кореня непарного степеня n із числа а використовують один і той самий запис: 
Запис 
k ∈ ℕ, використовують тільки для позначення арифметичного кореня. Зауважимо, що корінь парного степеня із числа а не має позначення.
За допомогою знака кореня n-го степеня можна записувати корені рівняння хn = а, де n ∈ ℕ, n > 1.
Якщо n — непарне натуральне число, то при будь-якому значенні а розглядуване рівняння має єдиний корінь 
Якщо n — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені: 
Якщо а = 0, то х = 0.
Наприклад, коренем рівняння х3 = 7 є число 
коренями рівняння х4 = 5 є два числа: 
З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає, що:
Наприклад, 
Покажемо, що при будь-якому а і k ∈ ℕ 
Для того щоб довести рівність 
потрібно показати, що 
Маємо:
Доведена властивість дає змогу корінь непарного степеня з від’ємного числа виразити через арифметичний корінь.
Наприклад,
Вище було встановлено, що корінь непарного степеня з будь-якого числа існує та набуває єдиного значення. Отже, кожному числу х ∈ ℕ можна поставити у відповідність єдине число у таке, що 
Зазначене правило задає функцію 
де k ∈ ℕ, з областю визначення ℝ.
Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = x2k+1, k ∈ ℕ.
Оскільки рівняння 
при будь-якому а має корінь (а саме, число а2к + 1), то областю значень функції f є множина ℝ.
Маємо: D(f) = E(g) = ℝ,
E(f) = D(g) = ℝ.
Для всіх x ∈ ℝ виконується рівність 
Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х є D(f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.
Використовуючи графік функції у = х2к+1 і теорему 3.2, можна побудувати графік функції 
(рис. 4.3). Зокрема, на рисунку 4.4 зображено графіки функцій 
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Оскільки функція g(x) = x2k+1 є зростаючою, то за теоремою 3.3 функція 
також є зростаючою.
Функція 
має єдиний нуль х = 0.
Якщо х < 0, то f(х) < 0; якщо х > 0, то f(х) > 0. Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції f.
Для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності 
Отже, функція f є непарною.
Аналогічно дають означення функції 
k ∈ ℕ з областю визначення [0; +∞).
Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = x2k, k ∈ ℕ, з областю визначення [0; +∞).
Оскільки рівняння 
при будь-якому а ≥ 0 має корінь (а саме, число а2k) і при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень функції f є проміжок [0; +∞).
Маємо: D(f) = E(g) = [0; +∞], E(f) = D(g) = [0; +∞).
Для будь-якого х ∈ [0; +∞) виконується рівність 
Іншими словами, g(f(x)) = x для всіх х ∈ D(f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.
На рисунку 4.5 показано, як за допомогою графіка функції y = x2k, де х ≥ 0, побудувати графік функції 
k ∈ ℕ.
Рис. 4.5
На рисунку 4.6 зображено графік функції 
Рис. 4.6
З’ясуємо деякі властивості функції 
Оскільки функція g(x) = x2k, k ∈ ℕ, D(g) = [0; +∞), є зростаючою то функція 
також є зростаючою.
Функція f має єдиний нуль х = 0.
Якщо х > 0, то f(х) > 0. Отже, проміжок (0; +∞) є проміжком знакосталості функції f.
Оскільки область визначення функції f не є симетричною відносно початку координат, то функція f не є ні парною, ні непарною.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність:
Розв’язання. 1) Дана нерівність рівносильна такій:
Оскільки функція 
є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.
Відповідь: (-∞; 8).
2) Маємо: 
Оскільки функція 
є зростаючою з областю визначення [0; +∞), то дана нерівність рівносильна системі
Звідси 2 ≤ х < 3.
Відповідь: [2; 3).
3) Дана нерівність рівносильна системі
Тоді
Звідси отримуємо, що х > 4.
Відповідь: (4; +∞).
ПРИКЛАД 2 Порівняйте 
Розв’язання. Маємо: 
Оскільки функція 
є зростаючою, то 
Відповідь: 
ВПРАВИ
4.1. Обчисліть:
4.2. Знайдіть значення виразу:
4.3. Обчисліть:
4.4. Обчисліть:
4.5. Знайдіть область визначення функції:
4.6. Знайдіть область визначення функції:
4.7. Знайдіть область значень функції:
4.8. Знайдіть область значень функції:
4.9. Між якими двома послідовними цілими числами міститься на координатній прямій число:
4.10. Між якими двома послідовними цілими числами міститься на координатній прямій число:
4.11. Розв’яжіть рівняння:
4.12. Розв’яжіть рівняння:
4.13. Побудуйте графік функції:
4.14. Знайдіть область визначення виразу:
4.15. Знайдіть область визначення виразу:
4.16. Розв’яжіть рівняння:
4.17. Розв’яжіть рівняння:
4.18. Побудуйте графік функції:
4.19. Побудуйте графік функції:
4.20. Знайдіть найбільше і найменше значення функції 
на проміжку:
1) [-3; -1]; 2) [-1; 2]; 3) [-3; +∞).
4.21. Знайдіть найбільше і найменше значення функції 
на проміжку:
1) [2; 3]; 2) [-2; 1]; 3) (-∞; 2).
4.22. Розв’яжіть нерівність:
4.23. Розв’яжіть нерівність:
4.24. Доведіть, що є ірраціональним число:
4.25. Доведіть, що є ірраціональним число:
4.26. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:
4.27. Скільки коренів має рівняння 
залежно від значення параметра а?
4.28. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:
4.29. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:
4.30. Розв’яжіть рівняння 
4.31. Розв’яжіть рівняння 
4.32. Розв’яжіть систему рівнянь
4.33. Розв’яжіть систему рівнянь
4.34. Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f(х30) = х3 виконується для всіх х ∈ [0; +∞).
4.35. Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність 
виконується для всіх х ∈ [0; +∞).
4.36. Знайдіть усі визначені на ℝ. функції f такі, що рівність f(х8) = х2 виконується для всіх х ∈ ℝ.
4.37. Знайдіть цілу частину числа 
4.38. Знайдіть цілу частину числа 
4.39. Розв’яжіть рівняння 
4.40. Для n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, k > 1 позначимо 
Y = 1k + 2k + … + nk. Доведіть, що X + Y = nk + 1 + n.
4.41. Для невід’ємних чисел a, b і с доведіть нерівність 