§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

4. Означення кореня n-го степеня. Функція кореня n-го степеня

Ви знаєте, що коренем другого степеня (квадратним коренем) із числа а називають таке число, другий степінь якого дорівнює а. Аналогічно дають означення кореня n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1.

Означення. Коренем n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, коренем п’ятого степеня із числа 32 є число 2, оскільки 2⁵ = 32; коренем третього степеня із числа -64 є число -4, оскільки (-4)³ = -64; коренями четвертого степеня із числа 81 є числа 3 і -3, оскільки З⁴ = 81 і (-3)⁴ = 81.

З означення випливає, що будь-який корінь рівняння хⁿ = а, де n ∈ ℕ, n > 1, є коренем n-го степеня із числа а і, навпаки, будь-який корінь n-го степеня із числа а є коренем розглядуваного рівняння.

Якщо n — непарне натуральне число, то функція у = хⁿ є зростаючою, і, оскільки її областю значень є множина ℝ, то рівняння хⁿ = а має єдиний корінь при будь-якому а.

Рисунок 4.1 ілюструє останнє твердження: при будь-якому значенні а графіки функцій у = хⁿ і у = а мають одну спільну точку. Тоді можна зробити такий висновок:

якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то з будь- якого числа існує корінь n-го степеня, причому тільки один.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Корінь непарного степеня n, n > 1, із числа а позначають так: (читають: «корінь n-го степеня з а»). Знак називають знаком кореня n-то степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом.

Наприклад,

Корінь третього степеня прийнято називати також кубічним коренем. Наприклад, запис читають: «корінь кубічний із числа 2».

Наголосимо, що вираз k ∈ ℕ, існує при будь-якому а.

З означення кореня n-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність

Наприклад,

Розглянемо рівняння хⁿ = а, де n — парне натуральне число.

Оскільки областю значень функції у = хⁿ, де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞), то при а < 0 дане рівняння не має розв’язків.

Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0.

Функція у = хⁿ, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку [0; +∞) і набуває всіх додатних значень. Отже, при а ≥ 0 рівняння хⁿ = а, де n — парне натуральне число, на проміжку [0; +оо) має єдиний корінь.

Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане рівняння має два корені, які є протилежними числами.

Наведені твердження мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 4.2). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хⁿ і у = а не мають спільних точок; якщо а = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їхні абсциси — протилежні числа.

Тепер можна зробити такий висновок:

якщо n — парне натуральне число, то при а < 0 корінь n-го степеня із числа а не існує; при а = 0 корінь n-го степеня із числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежних числа, які є коренями n-го степеня із числа а.

Вище було встановлено, що рівняння хⁿ = а при а > 0 обов’язково має один невід’ємний корінь. Його називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а позначають так:

Наприклад, оскільки 3 ≥ 0 і 3⁴ = 81;

оскільки 2 ≥ 0 і 2⁶ = 64;

оскільки 0 ≥ 0 і 0¹⁰ = 0.

Узагалі, якщо b ≥ 0 і bⁿ = а, де n ∈ ℕ, n > 1, то

Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа а та кореня непарного степеня n із числа а використовують один і той самий запис:

Запис k ∈ ℕ, використовують тільки для позначення арифметичного кореня. Зауважимо, що корінь парного степеня із числа а не має позначення.

За допомогою знака кореня n-го степеня можна записувати корені рівняння хⁿ = а, де n ∈ ℕ, n > 1.

Якщо n — непарне натуральне число, то при будь-якому значенні а розглядуване рівняння має єдиний корінь

Якщо n — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені:

Якщо а = 0, то х = 0.

Наприклад, коренем рівняння х³ = 7 є число

коренями рівняння х⁴ = 5 є два числа:

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає, що:

Наприклад,

Покажемо, що при будь-якому а і k ∈ ℕ

Для того щоб довести рівність потрібно показати, що

Маємо:

Доведена властивість дає змогу корінь непарного степеня з від’ємного числа виразити через арифметичний корінь.

Наприклад,

Вище було встановлено, що корінь непарного степеня з будь-якого числа існує та набуває єдиного значення. Отже, кожному числу х ∈ ℕ можна поставити у відповідність єдине число у таке, що  

Зазначене правило задає функцію де k ∈ ℕ, з областю визначення ℝ.

Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = x^2k+1, k ∈ ℕ.

Оскільки рівняння при будь-якому а має корінь (а саме, число а^{2к + 1}), то областю значень функції f є множина ℝ.

Маємо: D(f) = E(g) = ℝ,

E(f) = D(g) = ℝ.

Для всіх x ∈ ℝ виконується рівність

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х є D(f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

Використовуючи графік функції у = х^2к+1 і теорему 3.2, можна побудувати графік функції (рис. 4.3). Зокрема, на рисунку 4.4 зображено графіки функцій

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Оскільки функція g(x) = x^2k+1 є зростаючою, то за теоремою 3.3 функція також є зростаючою.

Функція має єдиний нуль х = 0.

Якщо х < 0, то f(х) < 0; якщо х > 0, то f(х) > 0. Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції f.

Для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності

Отже, функція f є непарною.

Аналогічно дають означення функції k ∈ ℕ з областю визначення [0; +∞).

Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = x^2k, k ∈ ℕ, з областю визначення [0; +∞).

Оскільки рівняння при будь-якому а ≥ 0 має корінь (а саме, число а^2k) і при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень функції f є проміжок [0; +∞).

Маємо: D(f) = E(g) = [0; +∞], E(f) = D(g) = [0; +∞).

Для будь-якого х ∈ [0; +∞) виконується рівність Іншими словами, g(f(x)) = x для всіх х ∈ D(f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

На рисунку 4.5 показано, як за допомогою графіка функції y = x^2k, де х ≥ 0, побудувати графік функції k ∈ ℕ.

Рис. 4.5

На рисунку 4.6 зображено графік функції

Рис. 4.6

З’ясуємо деякі властивості функції

Оскільки функція g(x) = x^2k, k ∈ ℕ, D(g) = [0; +∞), є зростаючою то функція також є зростаючою.

Функція f має єдиний нуль х = 0.

Якщо х > 0, то f(х) > 0. Отже, проміжок (0; +∞) є проміжком знакосталості функції f.

Оскільки область визначення функції f не є симетричною відносно початку координат, то функція f не є ні парною, ні непарною.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Дана нерівність рівносильна такій:

Оскільки функція є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.

Відповідь: (-∞; 8).

2) Маємо:

Оскільки функція є зростаючою з областю визначення [0; +∞), то дана нерівність рівносильна системі

Звідси 2 ≤ х < 3.

Відповідь: [2; 3).

3) Дана нерівність рівносильна системі

Тоді

Звідси отримуємо, що х > 4.

Відповідь: (4; +∞).

ПРИКЛАД 2 Порівняйте

Розв’язання. Маємо:

Оскільки функція є зростаючою, то

Відповідь:

ВПРАВИ

4.1. Обчисліть:

4.2. Знайдіть значення виразу:

4.3. Обчисліть:

4.4. Обчисліть:

4.5. Знайдіть область визначення функції:

4.6. Знайдіть область визначення функції:

4.7. Знайдіть область значень функції:

4.8. Знайдіть область значень функції:

4.9. Між якими двома послідовними цілими числами міститься на координатній прямій число:

4.10. Між якими двома послідовними цілими числами міститься на координатній прямій число:

4.11. Розв’яжіть рівняння:

4.12. Розв’яжіть рівняння:

4.13. Побудуйте графік функції:

4.14. Знайдіть область визначення виразу:

4.15. Знайдіть область визначення виразу:

4.16. Розв’яжіть рівняння:

4.17. Розв’яжіть рівняння:

4.18. Побудуйте графік функції:

4.19. Побудуйте графік функції:

4.20. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку:

1) [-3; -1]; 2) [-1; 2]; 3) [-3; +∞).

4.21. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку:

1) [2; 3]; 2) [-2; 1]; 3) (-∞; 2).

4.22. Розв’яжіть нерівність:

4.23. Розв’яжіть нерівність:

4.24. Доведіть, що є ірраціональним число:

4.25. Доведіть, що є ірраціональним число:

4.26. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:

4.27. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а?

4.28. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

4.29. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

4.30. Розв’яжіть рівняння

4.31. Розв’яжіть рівняння

4.32. Розв’яжіть систему рівнянь

4.33. Розв’яжіть систему рівнянь

4.34. Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f(х³⁰) = х³ виконується для всіх х ∈ [0; +∞).

4.35. Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність виконується для всіх х ∈ [0; +∞).

4.36. Знайдіть усі визначені на ℝ. функції f такі, що рівність f(х⁸) = х² виконується для всіх х ∈ ℝ.

4.37. Знайдіть цілу частину числа

4.38. Знайдіть цілу частину числа

4.39. Розв’яжіть рівняння

4.40. Для n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, k > 1 позначимо Y = 1k + 2^k + ... + n^k. Доведіть, що X + Y = n^{k + 1} + n.

4.41. Для невід’ємних чисел a, b і с доведіть нерівність