Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ
5. Властивості кореня n-го степеня
Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня n-го степеня.
Теорема 5.1 (перша теорема про корінь із степеня). Для будь-якого а ∈ ℝ і k ∈ ℕ виконуються рівності:
Доведення. Щоб довести рівність 
достатньо показати, що у2k+1 = х. Для першої рівності, що доводиться, х = a2k+1, а у = а. Звідси рівність y2k+1 = х є очевидною.
Щоб довести рівність 
достатньо показати, що у ≥ 0 і y2k = x. Для другої рівності, що доводиться, маємо: |а| ≥ 0 і (| а |)2k = a2k.
Теорема 5.2 (корінь із добутку). Якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то 
Доведення. Для того щоб довести рівність 
де х ≥ 0, достатньо показати, що у ≥ 0 і уn = х.
Маємо:
Тоді
Крім того,
Використовуючи теорему 5.2, можна показати, що коли а ≤ 0 і b ≤ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то
Теорема 5.3 (корінь із частки). Якщо а > 0 i b > 0, n ∈ ℕ, n > 1, то
Доведіть цю теорему самостійно.
Зауважимо, що коли а ≤ 0 і b <0, n ∈ ℕ, n > 1, то
Теорема 5.4 (степінь кореня). Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то
Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.
Нехай k > 1.
Маємо:
Теорема 5.5 (корінь із кореня), Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, k > 1, то
Доведення. Маємо:
Крім того,
Теорема 5.6 (друга теорема про корінь із степеня). Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то
Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.
Нехай k > 1. Маємо:
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
якщо х ≥ 0 і у ≤ 0.
Розв’язання. Застосуємо теореми 5.5 і 5.1.
1) 3 умови випливає, що а ≥ 0. Тоді 
4) Ураховуючи, що х ≥ 0 і у ≤ 0, можна записати:
ПРИКЛАД 2 Винесіть множник з-під знака кореня:
якщо а < 0.
Розв’язання. 1) 3 умови випливає, що b ≥ 0.
Тоді
2) 3 умови випливає, що b ≤ 0. Тоді
3) 3 умови випливає, що b ≥ 0.
Тоді
ПРИКЛАД 3 Внесіть множник під знак кореня:
Розв’язання.
2) Якщо а ≥ 0, то 
якщо а < 0, то 
3) 3 умови випливає, що с ≥ 0. Тоді 
4) 3 умови випливає, що b ≤ 0. Тоді 
ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб 
Розв’язання. Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо:
ПРИКЛАД 5 Скоротіть дріб 
Розв’язання. З умови випливає, що числа а і b однакового знака. Розглянемо два випадки.
Перший випадок: а > 0 і b > 0. Маємо:
Другий випадок: а < 0, b < 0. Маємо:
Випадок, коли а < 0 і b < 0, можна розглянути інакше. Нехай а = -х, b = -у, де х > 0, у > 0. Маємо:
ПРИКЛАД 6 Доведіть, що 
Розв’язання. Нехай 
Скористаємося тим, що (а + b)3 = a3 + b3 + 3ab (а + b).
Маємо:
Звідси х3 = 18 + 3х; х3 - 3х - 18 = 0.
Розглянувши дільники числа 18, нескладно установити, що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен х3 - 3х - 18 на двочлен х - 3, отримуємо: х2 + 3х + 6.
Маємо: (х - 3) (х2 + 3х + 6) = 0.
Це рівняння має єдиний корінь х = 3.
ВПРАВИ
5.1. Знайдіть значення виразу:
5.2. Чому дорівнює значення виразу:
5.3. Винесіть множник з-під знака кореня:
5.4. Винесіть множник з-під знака кореня:
5.5. Внесіть множник під знак кореня:
5.6. Внесіть множник під знак кореня:
5.7. Спростіть вираз:
5.8. Спростіть вираз:
5.9. Спростіть вираз:
5.10. Спростіть вираз 
5.11. Скоротіть дріб:
5.12. Скоротіть дріб:
5.13. При яких значеннях а виконується рівність:
5.14. При яких значеннях а виконується рівність:
5.15. При яких значеннях а і b виконується рівність:
5.16. При яких значеннях х виконується рівність:
5.17. Спростіть вираз:
5.18. Спростіть вираз:
5.19. Винесіть множник з-під знака кореня:
5.20. Винесіть множник з-під знака кореня:
5.21. Внесіть множник під знак кореня:
5.22. Внесіть множник під знак кореня:
5.23. Доведіть, що значення виразу є цілим числом:
5.24. Знайдіть значення виразу:
5.25. Знайдіть значення виразу:
5.26. Побудуйте графік функції:
5.27. Побудуйте графік функції:
5.28. Розв’яжіть рівняння 
5.29. Побудуйте графік функції 
5.30. Спростіть вираз:
5.31. Доведіть тотожність:
5.32. Доведіть, що значення виразу є раціональним числом:
5.33. Доведіть, що 
5.34. Спростіть вираз 
5.35. Спростіть вираз 
5.36. Спростіть вираз 
5.37. Спростіть вираз 
5.38. Наведіть приклад такого многочлена із цілими коефіцієнтами, що число 
є його коренем.
5.39. Доведіть, що число 
є ірраціональним.
5.40. Доведіть рівність 