§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

5. Властивості кореня n-го степеня

Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня n-го степеня.

Теорема 5.1 (перша теорема про корінь із степеня). Для будь-якого а ∈ ℝ і k ∈ ℕ виконуються рівності:

Доведення. Щоб довести рівність достатньо показати, що у^2k+1 = х. Для першої рівності, що доводиться, х = a^2k+1, а у = а. Звідси рівність y^2k+1 = х є очевидною.

Щоб довести рівність достатньо показати, що у ≥ 0 і y^2k = x. Для другої рівності, що доводиться, маємо: |а| ≥ 0 і (| а |)^2k = a^2k.

Теорема 5.2 (корінь із добутку). Якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Для того щоб довести рівність де х ≥ 0, достатньо показати, що у ≥ 0 і уn = х.

Маємо:

Тоді

Крім того,

Використовуючи теорему 5.2, можна показати, що коли а ≤ 0 і b ≤ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Теорема 5.3 (корінь із частки). Якщо а > 0 i b > 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Доведіть цю теорему самостійно.

Зауважимо, що коли а ≤ 0 і b <0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Теорема 5.4 (степінь кореня). Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.

Нехай k > 1.

Маємо:

Теорема 5.5 (корінь із кореня), Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, k > 1, то

Доведення. Маємо:

Крім того,

Теорема 5.6 (друга теорема про корінь із степеня). Якщо а ≥ 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.

Нехай k > 1. Маємо:

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:

якщо х ≥ 0 і у ≤ 0.

Розв’язання. Застосуємо теореми 5.5 і 5.1.

1) 3 умови випливає, що а ≥ 0. Тоді

4) Ураховуючи, що х ≥ 0 і у ≤ 0, можна записати:

ПРИКЛАД 2 Винесіть множник з-під знака кореня:

якщо а < 0.

Розв’язання. 1) 3 умови випливає, що b ≥ 0.

Тоді

2) 3 умови випливає, що b ≤ 0. Тоді

3) 3 умови випливає, що b ≥ 0.

Тоді

ПРИКЛАД 3 Внесіть множник під знак кореня:

Розв’язання.

2) Якщо а ≥ 0, то

якщо а < 0, то

3) 3 умови випливає, що с ≥ 0. Тоді

4) 3 умови випливає, що b ≤ 0. Тоді

ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб

Розв’язання. Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо:

ПРИКЛАД 5 Скоротіть дріб

Розв’язання. З умови випливає, що числа а і b однакового знака. Розглянемо два випадки.

Перший випадок: а > 0 і b > 0. Маємо:

Другий випадок: а < 0, b < 0. Маємо:

Випадок, коли а < 0 і b < 0, можна розглянути інакше. Нехай а = -х, b = -у, де х > 0, у > 0. Маємо:

ПРИКЛАД 6 Доведіть, що

Розв’язання. Нехай

Скористаємося тим, що (а + b)³ = a³ + b³ + 3ab (а + b).

Маємо:

Звідси х³ = 18 + 3х; х³ - 3х - 18 = 0.

Розглянувши дільники числа 18, нескладно установити, що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен х³ - 3х - 18 на двочлен х - 3, отримуємо: х² + 3х + 6.

Маємо: (х - 3) (х² + 3х + 6) = 0.

Це рівняння має єдиний корінь х = 3.

ВПРАВИ

5.1. Знайдіть значення виразу:

5.2. Чому дорівнює значення виразу:

5.3. Винесіть множник з-під знака кореня:

5.4. Винесіть множник з-під знака кореня:

5.5. Внесіть множник під знак кореня:

5.6. Внесіть множник під знак кореня:

5.7. Спростіть вираз:

5.8. Спростіть вираз:

5.9. Спростіть вираз:

5.10. Спростіть вираз

5.11. Скоротіть дріб:

5.12. Скоротіть дріб:

5.13. При яких значеннях а виконується рівність:

5.14. При яких значеннях а виконується рівність:

5.15. При яких значеннях а і b виконується рівність:

5.16. При яких значеннях х виконується рівність:

5.17. Спростіть вираз:

5.18. Спростіть вираз:

5.19. Винесіть множник з-під знака кореня:

5.20. Винесіть множник з-під знака кореня:

5.21. Внесіть множник під знак кореня:

5.22. Внесіть множник під знак кореня:

5.23. Доведіть, що значення виразу є цілим числом:

5.24. Знайдіть значення виразу:

5.25. Знайдіть значення виразу:

5.26. Побудуйте графік функції:

5.27. Побудуйте графік функції:

5.28. Розв’яжіть рівняння

5.29. Побудуйте графік функції

5.30. Спростіть вираз:

5.31. Доведіть тотожність:

5.32. Доведіть, що значення виразу є раціональним числом:

5.33. Доведіть, що

5.34. Спростіть вираз

5.35. Спростіть вираз

5.36. Спростіть вираз

5.37. Спростіть вираз

5.38. Наведіть приклад такого многочлена із цілими коефіцієнтами, що число є його коренем.

5.39. Доведіть, що число є ірраціональним.

5.40. Доведіть рівність