Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 16 СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

Функцію вигляду у = ха, де а — деяке стале число, називають степеневою.

Мал. 16.1

Наприклад, у = х3, у = х0,2, у = - степеневі функції.

Властивість степеневої функції у = ха та вигляд її графіка залежать від виду числа а. Розглянемо степеневу функцію для різних видів числа ос, вважаючи, що a - раціональне число.

Випадок, коли а ∈ N, ми детально розглянули в п. 1 § 9.

2. Функція у = ха, якщо а = 0

Розглянемо функцію у = х0, яка визначена для всіх значень х, крім 0, бо вираз 00 не має змісту. Оскільки х0 = 1 при х ≠ 0, то функція набуває лише одного значення: у = 1. Графік її зображено на малюнку 16.1.

3. Функція у = xа, а - ціле від’ємне число

У цьому випадку функція визначена для всіх значень х, крім х = 0. Якщо а = -1, то матимемо функцію у = х-1, тобто у = , графіком якої є гіпербола (мал. 16.2).

Функція спадає на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞), є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат.

Ті самі властивості має функція у = ха для будь-якого цілого від’ємного непарного а, тобто коли а = -1; -3; -5; .... Схематично графік функції у = ха, де а - ціле від’ємне непарне число зображено на малюнку 16.3.

Мал. 16.2

Мал. 16.3

Якщо а = -2, то маємо у = х-2, тобто у = . Функція парна, тому її графік симетричний відносно осі ординат, його зображено на малюнку 16.4. Функція зростає на проміжку (-∞; 0) і спадає на проміжку (0; +∞). Ті самі властивості має функція у = ха для будь-якого від’ємного парного числа а, тобто коли а = -2; -4; -6; .... Схематично графік функції у = ха, де а - ціле від’ємне парне число, зображено на малюнку 16.5.

Мал. 16.4

Мал. 16.5

4. Функція у = ха, а - не ціле додатне число

У випадку, коли а - додатне, але неціле число, областю визначення функції є проміжок [0; +∞). Оскільки область визначення функції не є симетричною відносно нуля, то функція ні парна, ні непарна. На малюнку 16.6

зображено графіки функцій у = і у = та графік функції у = х для наочності їх взаємного розташування.

На малюнку 16.7 схематично зображено графік функції у = ха, якщо 0 < а < 1, а на малюнку 16.8 - якщо а > 1, де а - не ціле число. У кожному із цих випадків функція є зростаючою на проміжку [0; +∞).

Мал. 16.6

Мал. 16.7

Мал. 16.8

5. Функція у = ха, а - не ціле від’ємне число

У цьому випадку областю визначення є проміжок (0; +∞). функція ні парна, ні непарна.

На малюнку 16.9 зображено графік функції у = . На малюнку 16.10 схематично зображено графік функції у = ха, коли а < 0, а — не ціле. Функція в цьому випадку спадає на (0; +∞).

Мал. 16.9

Мал. 16.10

Узагальнимо всі згадані вище властивості функції у = ха у вигляді таблиці (с. 157).

Приклад 1. Дано функцію f(x) = . Порівняти:

1) f(3) і f(3,2);

2) f() і f(1,4).

Розв’язання. D(f) = [0; +∞).

Функція f(х) = зростає на D(f). Тому більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

1) Оскільки 3 < 3,2, то f(3) < f(3,2).

2) Оскільки > 1,4, то f() > f(1,4).

Відповідь.

1) f(3) < f(3,2);

2) f() > f(1,4).

Приклад 2. Дано функцію g(x) = х-2018. Порівняти:

1) g(-5) і g(-6);

2) g(1) і g (1,2).

Розв’язання. 1) На проміжку (-∞; 0) функція g(x) = х-2018 зростає, тому якщо -5 > -6, то і g(-5) > g(-6).

2) На проміжку (0; +∞) функція g(х) = х-2018 спадає, тому якщо 1 < 1,2, то g(1) > g(1,2).

Відповідь.

1) g(-5) > g(-6);

2) g(1) > g(1,2).

7. Розв’язування рівняння ха = m - не ціле число, m ∈ R

Якщо m < 0, то рівняння ха = m коренів не має. Якщо m = 0 і а > 0, то рівняння ха = 0 має лише один корінь: х = 0. Якщо ж m = 0 і а < 0, то рівняння ха = 0 коренів не має.

Якщо m, > 0, то рівняння ха = m має єдиний корінь, оскільки графіки функцій у = ха і у = m, де m > 0, як у випадку не цілого додатного а, так і у випадку не цілого від’ємного а, перетинаються в єдиній точці. Щоб знайти цей єдиний корінь, потрібно ліву і праву частини рівняння xа = m піднести до степеня . Маємо:

Систематизуємо дані про розв'язки рівняння ха = m, у вигляді схеми:

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Відповідь. 1)8; 2) ; 3) .

8. Побудова графіків степеневих функцій за допомогою комп’ютера

Існує багато програм, які дозволяють будувати графіки функцій, а потім їх аналізувати. На малюнку 16.11 зображено вікно однієї з програм, за допомогою якої побудовано графіки функцій y = x02 (зеленого кольору), у = (червоного), у = х-3 (сірого) і у = х-2 (синього).

Серед корисних опцій подібних програм слід відзначити опцію слідування курсора вздовж графіка (за допомогою цієї опції можна встановлювати координати точок графіка), знаходження точки перетину двох графіків (за допомогою цієї опції можна, наприклад, знаходити наближений розв’язок рівняння вигляду xа = m, де m ∈ R), збільшувати чи зменшувати окремі ділянки графіка тощо.

Мал. 16.11

• Яку функцію називають степеневою?

• Пригадайте властивості цієї функції та вигляд її графіка для різних значень (парних та непарних) показника степеня.

• Опишіть властивості степеневої функції у = ха залежно від значення а. а Як розв'язати рівняння xа = m, де а - не ціле число?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 16.1. (Усно.) Серед запропонованих функцій укажіть степеневі:

16.2. (Усно.) На якому з малюнків 16.12-16.17 схематично зображено графік функції у = х3, на якому у = , а на якому у = х-4?

Мал. 16.12

Мал. 16.13

Мал. 16.14

Мал. 16.15

Мал. 16.16

Мал. 16.17

16.3. На якому з малюнків 16.12-16.17 схематично зображено графік функції у = х2; у = х-5; у = ?

2. Накресліть схематично графік функції та запишіть її властивості (16.4-16.5):

16.4.

16.5.

Розв’яжіть рівняння (16.6—16.7):

16.6.

16.7.

16.8. Чи проходить графік функції у = х-3 через точку:

16.9. Чи проходить графік функції у = х-4 через точку:

16.10. Функцію задано формулою а(х) = х-9. Порівняйте:

1) а(2) і а(4);

2) а(3,7) і а(3,6).

16.11. Функцію задано формулою g(х) = . Порівняйте:

1) g(7) і g(8);

2) g(1,19) і g(1,15).

16.12.

image1

16.13.

image2

16.14. Побудуйте графік функції у = х0,25. За допомогою графіка знайдіть значення:

1) функції, якщо значення аргументу дорівнює 0,5; 16;

2) аргументу, що відповідають значенням функції 1; 1,5.

16.15. Побудуйте графік функції у = . За допомогою графіка знайдіть значення:

1) функції, якщо значення аргументу дорівнює 0,5; 8;

2) аргументу, що відповідають значенням функції 1; 1,5.

З. Побудуйте графік функції та запишіть її властивості (16.16-16.17):

16.16.

image3

16.17.

image4

Розв’яжіть рівняння (16.18—16.19):

16.18.

image5

16.19.

image6

Порівняйте числа (16.20—16.21):

16.20.

image7

16.21.

image8

16.22. Функцію задано формулою f(х) = х-108. Порівняйте:

1) f(1,2) і f(1,3);

2) f(-5) і f(-5,01);

3) f(-7,4) і f(7,4);

4) f(-2,7) і f(2,8).

16.23. Функцію задано формулою g(х) = х-104. Порівняйте:

1) g(-6) і g(-7);

2) g(1,7) і g (1,6);

3) g(4,2) і g(-4,1);

4) g(7,9) і g(-7,9).

16.24. Побудуйте ескіз графіка функції у = (х + 3)0,8 - 2 та запишіть її властивості.

16.25. Побудуйте ескіз графіка функції

Та запишіть її властивості.

Розв’яжіть рівняння (16.26—16.29):

16.26.

16.27.

16.28.

16.29.

Скільки коренів має рівняння (16.30—16.31):

16.30.

16.31.

16.32. Побудуйте графік функції

Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання функції f(х).

16.33. Побудуйте графік функції

Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання функції g(x).

16.34. Парним чи непарним є натуральне число n у показнику степеня функції g(х) = х-n, якщо:

1) g(-3) > g(-2);

2) g(-3) > g(4);

3) g(3) > g(4);

4) g(-8) = g(8)?

16.35.Парним чи непарним є натуральне число n у показнику степеня функції f(х) = х-n, якщо:

1) f(-1) > f(5);

2) f(6) > f(10);

3) f(4) = f(-4);

4) f(-4) > f(-2)?

16.36. Практична діяльність. За допомогою будь-якої комп’ютерної програми, що будує графіки, побудуйте графіки функцій

та заповніть таблицю.

Завдання

y = x0,8

y =

у = x15

y = x-4

1

Знайти значення функції, що відповідає значенню аргументу: х = 1,5

       
 

х = 3

       
 

х = 4

       

2

Знайти значення аргументу, що відповідає значенню функції: у = 0,5

       
 

у = 1

       
 

У = 1,5

       

3

Знайти наближений розв’язок рівняння

х08 =1,5

x ≈

= 0,5

x ≈

x1,5 = 5

x ≈

x-4 = 3

x ≈

16.37.Залізничний квиток на потяг Київ-Львів для дорослого коштує 180 гривень. Знижка на вартість квитка для дітей від 6 до 14 років становить 25 % від вартості квитка для дорослого. Група, що складається із 16 школярів віком 12-13 років та 2 дорослих, вирушає з Києва до Львова на екскурсію. Скільки заплатили за квитки на всю групу?

16.38.(Українська математична олімпіада, 1975 р.). Знайдіть усі цілі значення n, для яких число (n + 2)4 - n4 є кубом цілого числа.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

16.39. У ∆АВС ∠C - 90°, АС = 12, ВС = 5, АВ = 13 (мал. 16.18). Знайдіть:

Мал. 16.18

16.40. Обчисліть:

16.41. Знайдіть за допомогою калькулятора або комп’ютера:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити