Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 19 ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Розглянемо властивості тригонометричних функцій, які безпосередньо випливають з їх означень.

1. Область визначення тригонометричних функцій

Як ми вже зазначали раніше, вирази sin а і соs а мають зміст для будь-якого кута а (§ 17, п. 3). Так само мають зміст вирази sin х і соs х для будь-якого числа х (кута х у радіанах). Отже, областю визначення функцій синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел.

Це можна записати так: D(sin х) = D(соs х) = (-∞; +∞), або D(sin х) = D(соs х) = R. Вираз tg a має зміст для будь-яких кутів а, крім ±90°, ±270°, ±450°, тобто крім кутів, які можна задати формулою 90° + 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз tg x не має змісту для чисел (кутів у радіанах) вигляду

Областю визначення функції тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел

Вираз ctg а має зміст для всіх кутів а, крім кутів 0°, ±180°, ±360°, ..., тобто кутів, які можна задати формулою 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз ctg x не має змісту для чисел (кутів у радіанах) вигляду k, де k ∈ Z.

Областю визначення функції котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел k, де k ∈ Z.

Приклад 1. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Знайдемо значення х, для яких котангенс не існує, розв’язавши рівняння:

Далі маємо:

Отже, областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім чисел

Скорочено це можна записати так:

Відповідь.

2. Множина значень тригонометричних функцій

Синус і косинус кута а є відповідно ординатою та абсцисою точки Ра(х; у) одиничного кола (див. § 17, п. 3). Тому ординати і абсциси точок одиничного кола набувають усіх значень від -1 до 1. Отже, множиною значень функцій синуса і косинуса є проміжок [-1; 1].

Такий самий проміжок [-1; 1] є множиною значень і для випадку синуса і косинуса числового аргументу х (кута х у радіанах). Отже,

Розглянемо кілька вправ на використання встановлених фактів.

Приклад 2. Чи існують значення х, при яких справджується рівність:

Розв’язання. 1) Оскільки -1 ≤ - ≤ 1, то значення х, при якому cos х = - , існує. 2) Оскільки > 1, то не існує значення х, при якому sin х = .

Відповідь.

1) Так;

2) ні.

Приклад 3. Знайти множину значень функції:

Розв’язання. 1) Маємо: -1 ≤ sin x ≤ 1;

-1 + 2 ≤ sin x + 2 ≤ 1 + 2 (додали до усіх частин число 2);

1 ≤ sin x + 2 ≤ 3.

Отже, Е(у) = [1; 3].

2) Зрозуміло, що cos2 x ≥ 0, з іншого боку, -1 ≤ cos x ≤ 1, тому cos2 х ≤ 1. Отже, 0 ≤ cos2 х ≤ 1;

0 - 3 < cos2x - 3 ≤ 1 - 3 (відняли від усіх частин число3);

-З ≤ cos2x - 3 ≤ -2.

Отже, Е(у) = [-3; -2].

3) Оскільки -1 ≤ cos x ≤ 1, маємо: 3 ≤ 4 + cos x ≤ 5. Тоді

(порівняли обернені вирази), тобто

маємо:

(помножили усі частини на 15).

Отже, Е(у) = [3; 5].

Відповідь.

1) [1; 3];

2) [-3; -2];

3) [3; 5].

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких нерівність а(2 - sin x)4 - 12 + cos2x + За > 0 є правильною для будь-якого значення х.

Розв’язання. Зауважимо, що вирази (2 - sin х)4 і соs2х набувають найменших значень, коли sin х = 1, а соs х = 0, тобто, наприклад, для значення х = .

Оскільки нерівність має бути правильною для будь-якого значення х, то має бути правильною і для х = . Підставимо в нерівність замість х число ., матимемо правильну нерівність:

а після спрощень: 4а - 12 > 0, отже, а > 3. Таким чином, усі значення а, що задовольняють умову задачі, належать проміжку (3; +∞). Перевіримо, чи всі значення а з отриманого проміжку задовольняють умову задачі.

Нехай а > 3. Для будь-якого х справджуються нерівності: 2 - sin х ≥ 1; (2 - sin х)4≥ 1 та соs2х ≥ 0. Оскільки а > З, то, очевидно, що а > 0. Враховуючи ці співвідношення в початковій нерівності, матимемо: а(2 - sin х)4 - 12 + соs2х + + За ≥ а - 12 + 0 + За = 4а - 12 = 4(а - 3) > 0.

Отже, умову задачі задовольняють усі значення а, такі, що а > 3.

Відповідь. а > 3.

Множину значень тангенса знайдемо за допомогою графічної інтерпретації.

Розглянемо пряму І, що проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис. Вона є дотичною до одиничного кола (мал. 19.1). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа, а пряма ОРа перетинає пряму І у точці Da. Нехай Ра(х; у), тому х = cos а; у = sin а. Проведемо перпендикуляр РаК на вісь абсцис.

Тоді

тому

тобто

отже,

Отже, ордината точки Dа дорівнює тангенсу а.

Пряму, яка проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис, називають лінією тангенсів.

У разі зміни положення точки Ра на одиничному колі буде змінюватися і положення точки Dа (мал. 19.1). Геометрична інтерпретація показує, що ордината точки Dа може набувати будь-яких значень. Отже, множиною значень тангенса є множина всіх дійсних чисел.

У той самий спосіб визначимо і множину значень котангенса.

Мал. 19.1

Мал. 19.2

Пряму m, яка проходить через точку (0; 1) перпендикулярно до осі ординат, називають лінією котангенсів (мал. 19.2). Можна довести, що абсциса точки Са перетину прямої ОРаз лінією котангенсів дорівнює котангенсу а.

За малюнком 19.2 зрозуміло, що абсциса точки Са може набувати будь-яких значень, тому множиною значень котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Отже, множиною значень функцій тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел: Е(tg х) = E(ctg x) = R.

3. Знаки тригонометричних функцій

Синус кута а є ординатою точки Ра(х; у) одиничного кола. У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому:

• sin a > 0, якщо a - кут І або II чверті,

• sin a < 0, якщо a - кут III або IV чверті.

Косинус кута а є абсцисою точки Ра(х; у) одиничного кола. У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому:

• cos a > 0, якщо a - кут І або IV чверті,

• cos a < 0, якщо a - кут II або III чверті.

Оскільки

то tg a і ctg а залежать від знаків sin а і cos а. У І та III чвертях sin а і cos а мають однакові знаки, а у II та IV чвертях - різні. Тому:

• tg a > 0 і ctg a > 0, якщо a - кут І або III чверті;

• tg a < 0 і ctg a < 0, якщо a - кут II або IV чверті. Висновки щодо знаків тригонометричних функцій кутів зручно запам’ятати за малюнком 19.3.

Мал. 19.3

Приклад 5. Порівняти з нулем числа:

1) sin 152°;

2) cos(-12°);

3) tg(-125°);

4) ctg2.

Розв’язання.

1) Оскільки 152° - кут II чверті, то sin 152° > 0;

2) -12° - кут IV чверті, тому cos (-12°) > 0;

3) -125° - кут III чверті, тому tg(-125°) > 0;

4) 2 радіани ≈ 2 · 57° = 114°, тоді 2 радіани - кут II чверті; тому ctg 2 < 0.

Відповідь.

1) sin 152° > 0;

2) cos(-12°) > 0;

3) tg(-125°) > 0;

4) ctg 2 < 0.

4. Парність і непарність тригонометричних функцій

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа, а при повороті на кут -а - у радіус ОР(мал. 19.4). Точки Ра і Р-a - симетричні відносно осі абсцис, тому вони мають однакові абсциси і протилежні ординати. Маємо:

Мал. 19.4

Отже, косинус — парна функція; синус, тангенс і котангенс — непарні функції, тобто:

Ці формули допомагають обчислювати значення тригонометричних виразів. Наприклад,

5. Періодичність тригонометричних функцій

Якщо при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа (мал. 19.4), то цей самий радіус ОРа отримаємо і при повороті радіуса ОР0 на кут, відмінний від а на повний оберт або будь-яку кількість повних обертів, тобто на число 360°k (або 2k), де k ∈ Z. Маємо, що при зміні кута на ціле число повних обертів значення тригонометричних функцій не змінюються:

Отже, значення тригонометричних функцій синус і косинус не змінюються, якщо до їх аргументів додати (або відняти) число, кратне числу 2. Кожне таке число для синуса і косинуса є періодом, а 2 - найменшим періодом. Функції, що мають таку властивість, називають періодичними.

Число 2 також є періодом функцій тангенс і котангенс, проте для цих функцій можна знайти і менший період. Розглянемо точки О, Ра та Рβ, які лежать на одній прямій (мал. 19.5). Тоді прямі ОРа і ОРβ збігаються, а тому перетинають вісь тангенсів в одній і тій самій точці D.

Мал. 19.5

Мал. 19.6

Аналогічно, прямі ОРа і ОРβ перетинають вісь котангенсів в одній і тій самій точці С (мал. 19.6). Отже, якщо k ∈ Z, то при зміні кута на ціле число півобертів (; 2; З; 4; ...) значення функцій тангенса і котангенса не змінюються:

Виходячи з періодичності, знаходження значень синуса і косинуса будь-якого кута можна звести до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 360° (або від 2), а значень тангенса і котангенса будь-якого кута - до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 180° (або від p).

Приклад 6. Обчислити

Розв’язання. 1) 1-й спосіб. Подамо градусну міру кута 780° у вигляді а + 360°k, де k ∈ Z, та застосуємо формулу sin(а + 360°k) = sin а. Маємо: sin 780° = sin(60°+2 · 360°) = sin 60° = .

2-й спосіб. Від 780° віднімемо два періоди по 360°. Маємо: sin 780° = sin(780° - 2 · 360°) = sin 60° = .

2) Ураховуючи, що період тангенса дорівнює , матимемо:

1-й спосіб:

2-й спосіб:

Відповідь.

1)  

2)

Інколи шукати значення тригонометричної функції деякого кута за допомогою періодичності доцільніше через значення цієї функції від’ємного кута, який лежить в межах від -180° до 0° (або від - до 0), а далі застосувати парність або непарність відповідної тригонометричної функції.

Наприклад,

• Назвіть область визначення функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

• Назвіть множину значень функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

• Які знаки мають тригонометричні функції в кожній із координатних чвертей?

• Назвіть тригонометричні функції, що є парними; непарними. Запишіть відповідні рівності.

• Поясніть, у чому полягає періодичність тригонометричних функцій.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 19.1. (Усно.) Чи існує таке значення х, для якого справджується рівність:

19.2. Чи існує таке значення а, для якого справджується рівність:

Який знак має (19.3—19.4):

19.3.

19.4.

Закінчіть обчислення (19.5—19.6):

19.5.

19.6.

Обчисліть (19.7-19.8):

19.7.

19.8.

2. Порівняйте вираз з нулем (19.9—19.10):

19.9.

19.10.

З’ясуйте знак виразу (19.11—19.12):

19.11.

19.12.

19.13. Чи можна стверджувати, що - є значенням:

19.14. Чи можна стверджувати, що є значенням:

Знайдіть значення виразу (19.15—19.16):

19.15.

19.16.

19.17. Доведіть, що функція є парною:

19.18. Доведіть, що функція є непарною:

19.19. Доведіть, що функція:

Знайдіть найменше і найбільше значення виразу (19.20—19.21):

19.20.

19.21.

19.22. Чи існує таке значення а, для якого:

3. 19.23. Кутом якої чверті є кут β, якщо:

19.24. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

Обчисліть (19.25—19.26):

19.25.

19.26.

Знайдіть область визначення функції (19.27—19.28):

19.27.

19.28.

Знайдіть множину значень функції (19.29—19.30):

19.29.

19.30.

Дослідіть функцію на парність і непарність (19.31—19.32):

19.31.

19.32.

19.33. Відомо, що β - кут II чверті. Спростіть вираз:

19.34. Відомо, що х - кут III чверті. Спростіть вираз:

19.35. При яких значеннях b для деякого кута х можлива рівність:

19.36. При яких значеннях а для деякого кута х можлива

рівність:

4. 19.37. Кутом якої чверті може бути кут х, якщо:

19.38. Кутом якої чверті може бути кут а, якщо:

Знайдіть найбільше і найменше значення виразу (19.39—19.40):

19.39.

19.40.

19.41. Знайдіть множину значень функції

19.42. Знайдіть множину значень виразу

19.43. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких нерівність sin2х + 2 - 4а + а(3 - соs2х) < 0 є правильною для будь-якого значення х.

19.44. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких нерівність 4а - 5 + sin2х + а(2 - соs х)3 < 0 є правильною для будь-якого значення х.

19.45. Знайдіть множину всіх пар чисел (х; у), для кожної з яких при будь-якому а справджується рівність

Знайдіть найменше значення функції (19.46—19.47):

19.46.

на проміжку (0; +∞).

19.47.

на проміжку (0; +∞).

19.48. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має розв’язки.

19.49. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має розв'язки.

19.50. Знайдіть усі значення параметра а, при якому нерівність

має хоча б один розв’язок.

19.51. Залежність обсягу попиту q (одиниць на місяць) на продукцію підприємства-монополіста від ціни р

(тис. грн) задається формулою q - 50 - 5р. Виручка підприємства за місяць r (у тис. грн) обчислюється за формулою r(p) = qp. Визначте найбільшу ціну р, при якій виручка r(р) складе не менше 120 тис. грн на місяць.

19.52. (Національна олімпіада Великої Британії). Функція f(x) тотожно не дорівнює нулю. Нехай f(x) · f(y) = f(x - у) для всіх можливих значень х і у. Знайдіть f(x).

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

19.53. На колі х2 + у2 = 1 знайдіть точки:

1) з абсцисою

2) з ординатою

19.54. Знайдіть точку, що належить колу х2 + у2 = 1 та має:

1) абсцису - і розміщена в IV чверті;

2) ординату - і розміщена у III чверті.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити