Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 22 ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ. ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ. ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ

1. Періодичність функцій

Багато процесів та явищ у природі або техніці на практиці мають повторювальний характер: рух Землі навколо Сонця, рух маятника, різні обертальні рухи тощо. Такі процеси називають періодичними, а функції, які їх описують, - періодичними функціями.

Ми вже знаємо, що тригонометричні функції є періодичними, оскільки при зміні кута на ціле число обертів значення тригонометричних функцій синуса і косинуса не змінюються (§ 19, п. 5). При зміні кута на ціле число півобертів не змінюються значення функцій тангенс і котангенс. Тобто тригонометричні функції синуса і косинуса не змінюються, якщо до аргументу додати деяке число, кратне 2, а тангенса і котангенса, - якщо додати число, кратне .

Сформулюємо означення періодичної функції.

Функцію у = f(x) називають періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого де з області визначення функції числа х + Т і х - Т також належать області визначення і справджується рівність: f(x+ Т) = f(x) = f(x- Т).

Оскільки sin(х + 2) = sin (х - 2) = sin x де; cos (x + 2) = = cos (x - 2) = соs де для будь-якого х, то функції синуса і косинуса - періодичні з періодом 2. Періодами цих функцій також будуть числа, кратні 2, тобто числа -2; ± 4; ± 6; ... .

Для дослідження властивостей функцій та побудови їх графіків важливо знати найменший додатний період функції. Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у = cosx є число 2. Нехай Т - довільний період косинуса, тоді cos(x+ Т) = cos х для будь-якого х, отже і для х = 0. Підставивши в цю рівність замість х число 0, матимемо: cos Т = cos0 = 1. Найменшим додатним числом, для якого cos Т = 1, є число 2. Отже, 2 - найменший додатний період функції у = cos x.

У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = sin x також є число 2. Отже,найменшим додатним періодом функцій y = sin x і у = cos x є число 2.

Оскільки tg(x + ) = tg x; tg(х - ) = -tg( - х) = -(-tgх) = - tg x і сtg(х + ) = сtg x; ctg(х - ) = ctg x для будь-якого х з області визначення тангенса і котангенса відповідно, то функції тангенса і котангенса - періодичні з періодом .

Доведемо, що - найменший додатний період функції у = tg х. Нехай Т - довільний період функції у = tg х, тоді tg(x + Т) = tgx для будь-якого х з її області визначення, зокрема і для х = 0. Тоді tg T = tg 0 = 0. Найменшим додатним числом, для якого tg Т = 0, є число . Отже, - найменший додатний період функції у = tg x.

У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = ctg x також є число . Отже,найменшим додатним періодом функцій у = tg x і у = ctg x є число .

Періодичність функції використовують для побудови її графіка:

для побудови графіка періодичної функції з найменшим додатним періодом Т0 достатньо побудувати графік на будь-якому проміжку завдовжки Т0 (наприклад, [0; Т0]), а потім доповнити його отриманим графіком, паралельно перенесеним вправо і вліво вздовж осі абсцис на відстань kТ0, де k — будь-яке натуральне число.

2. Графік функції у =sin x

Спочатку побудуємо графік функції у = sin x на проміжку [0; ]. Складемо таблицю її значень:

x

0

y

0

1

0

Будуємо графік функції у =sinх на проміжку [0; ], враховуючи, що ≈ 3,14. На малюнку 22.1 зображено графік функції у = sin х на проміжку [0; ].

Мал. 22.1

Мал. 22.2

Оскільки функція у = sin Х є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Виконаємо симетричне відображення лінії, зображеної на малюнку 22.1, відносно початку координат і отримаємо графік функції у =sin х на проміжку [-; ] (мал. 22.2).

Далі врахуємо періодичність функції у = sin х, найменшим додатним періодом якої є 2, а саме, отриманий графік доповнимо таким самим, паралельно перенесеним вліво і вправо уздовж осі абсцис на 2, 4, 6, ... . Маємо графік функції у = sin х на всій області визначення (мал. 22.3). Лінію, яка є графіком функції у = sin х, називають синусоїдою.

Мал. 22.3

3. Графік функції у = cos x

Побудувати графік функції у = соs х можна в той самий спосіб, що й графік функції у = sin Х. Проте ми врахуємо тотожність

Тобто графік функції у = соs х отримаємо з графіка функції у = sin х за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво на відстань — (мал. 22.4). Графіком функції у = соs х є також синусоїда, бо це та сама лінія, що є графіком функції у = sin х, тільки розміщена інакше відносно системи координат. Інколи графік функції у = cos х називають ще косинусоїдою, його зображено на малюнку 22.4.

Мал. 22.4

4. Графік функції y= tg x

Побудуємо графік функції у = tg x спочатку на проміжку

використовуючи таблицю її значень.

x

-

-

-

-

0

y

-

-1

-

0

1

Графік функції зображено на малюнку 22.5. Зауважимо,що він не перетинає прямі х = й х = - (оскільки тангенсу точках і - не існує), при наближенні х до значення tg x стає як завгодно великим, а при наближенні до - – як завгодно малим.

Далі врахуємо періодичність функції у = tg x, найменший додатний період якої дорівнює я, та отримаємо графік функції у = tg x на всій області визначення (мал. 22.6). Графік функції у = tg x називають тангенсоїдою, він складається з безлічі окремих гілок - гілок тангенсоїди.

Мал. 22.5

Мал. 22.6

5. Графік функції y = ctg x

Функція у = ctg x не визначена для чисел k, k ∈ Z. Графік цієї функції можна або спочатку побудувати на проміжку (0; ) і далі використати періодичність функції,або скористатися формулою

і виконати послідовно два перетворення графіка у = tg x: паралельне перенесення на вліво вздовж осі абсцис, а потім симетричне відображення отриманого графіка відносно цієї осі. Графікфункції у = ctg x зображено на малюнку 22.7. Графіком функції у = сtg х є також тангенсоїда, але розміщена інакше відносно системи координат.

Графік функції у = ctg x називають також котангенсоїдою.

Мал. 22.7

6. Властивості тригонометричних функцій

Узагальнимо вивчені раніше властивості тригонометричних функцій та властивості, отримані з їх графіків (ураховуючи, що к ∈ Z) у таблицях на с. 214-215.

Тепер ми можемо знаходити властивості не тільки функцій, зазначених у цих таблицях, а й інших тригонометричних функцій.

Приклад 1. Знайти нулі функції

Розв’язання. Нулями функції у =tg x числа k, k ∈ Z.

Знайдемо такі значення х, для яких 2х - = k. Маємо:

тобто

звідки

нулі функції.

Відповідь.

Приклад 2. Знайти проміжки зростання функції

Розв’язання. Проміжками зростання функції у = sin х

Знайдемо такі значення х, для яких значення виразу 3х + належатиме цим проміжкам:

Отже, функція зростає на проміжках

k ∈ Z.

Відповідь.

Для знаходження періодів деяких тригонометричних функцій скористаємося властивістю, яку приймемо без доведення:найменший додатний період функцій виду у = sin(ах + b)і у = cos(ах + b), де а і b— числа, дорівнює , а функційвиду у = tg(ax+ b) і у = ctg (ах + b) дорівнює .

Наприклад, найменшим додатним періодом функції

буде , тобто , а для функції

матимемо такий найменший додатний період:

Розглянемо, як знайти найменший додатний період функції, що є сумою кількох періодичних функцій.

Приклад 3. Знайти найменший додатний період функції

Розв’язання. Нехай маємо функції

і

з найменшими додатними періодами Т1 і Т2 відповідно. Тоді

Найменшим додатним періодом функції f(х) буде найменше спільне кратне (якщо воно існує) чисел T1 і Т2. Таким числом є число 2.

Дійсно,

Отже, найменшим додатним періодом функції f(х) є число 2.

Відповідь. 2.

Зауважимо, що не завжди сума кількох періодичних функцій є функцією періодичною. Так, наприклад, функція

є періодичною з періодом

а функція g2(x) = tgx є періодичною з періодом Т2 = , протефункція

не є періодичною, оскільки не існує такого числа Т, яке б ділилося націло як на , так і на 2 (строге доведення цього факта не наводитимемо).

7. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою перетворень

Побудувати графіки тригонометричних функцій, відмінні від тих, які ми розглянули вище, можна за допомогою перетворень графіків функцій.

Наприклад, для побудови графіка функції у = соs х - 1 достатньо графік функції у = соs х перенести вздовж осі у на одну одиницю вниз (мал. 22.8).

Мал. 22.8

А для побудови графіка функції у = 2sin х достатньо графік функції у = sin х розтягнути удвічі від осі абсцис (мал. 22.9).

Мал. 22.9

8. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою комп’ютера

За допомогою спеціальних комп’ютерних програм можна будувати графіки тригонометричних функцій різного рівня складності.

На малюнку 22.10 зображено графік функції у = tg, а на малюнку 22.11 - графік функції

побудовані однією з подібних програм.

Мал. 22.10

Радимо перед використанням конкретної програми ознайомитися з файлом допомоги (у більшості програм для цього треба натиснути клавішу F1, знаходячись у вікні програми). Більшість програм має спеціальні опції або інструменти для роботи з тригонометричними функціями. Наприклад, у деяких з них опція «тригонометричний набір» дозволяє по осі х відкладати позначки, яким відповідають числа, що залежать від З. Саме такий інструмент застосовано до графіків, зображених на малюнках 22.10 і 22.11.

Мал. 22.11

За графіками легко визначати властивості функцій. Наприклад, нулями функції у = tgє числа вигляду х = 2k, k ∈ Z, а функція

спадає на проміжках

9. Гармонічні коливання

Величини, що змінюються за законом f(х) = Asin(ωx + φ), де А, ω, φ - деякі сталі, відіграють важливу роль у фізиці. Такими функціями описують гармонічні коливання - малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад у коливальному контурі тощо.

Якщо кульку, яка підвішена на пружині, вивести зі стану рівноваги, то в ідеальній ситуації (якщо нехтувати опором повітря чи нагріванням пружини) кулька здійснюватиме гармонічні коливання. Координата відхилення кульки від положення рівноваги буде залежати від часу tі визначатися за формулою f(t) =Asin(ωx + φ).

Параметри А, ω, φ, які повністю описують гармонічні коливання, мають спеціальні назви: А - амплітуда коливань, ω - циклічна (або кругова) частота коливань, φ - початкова фаза коливань (зазвичай, φ ∈ [0; 2)). Виходячи з фізичного змісту гармонічних коливань, матимемо, що А > 0, ω> 0.

Період функції f(t) = Asin(ωt + φ), який дорівнює , називають періодом гармонічного коливання. Період гармонічного коливання - це час одного повного коливання.

• Яку функцію називають періодичною з періодом Т ≠ 0?

• Назвіть найменший додатний період функцій у = sin х; у = соs х, у = tg x; у = ctg х?

• Як використовують періодичність для побудови графіків?

• За графіками функцій у = sin х, у = соs х, у = tg x, у =ctg x сформулюйте їх властивості.

• Назвіть найменший додатний період функцій виду у = sin(ах + b); у = cos(ах + b),y = tg(ax+ b); у = ctg (ах + b)?

• Функціями якого вигляду описують гармонічні коливання?

• Як називають параметри А, ω, φ у формулах гармонічних коливань?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 22.1. Для функції у = sin x знайдіть:

22.2. Для функції у = cos x знайдіть:

22.3. (Усно.) Координати рухомого тіла змінюються за законом у = 0,8sin 100t. Назвіть амплітуду коливання.

2.22.4. Побудуйте графік функції у = соs х на проміжку [0; 2]. Укажіть множину значень, проміжок зростання і проміжок спадання та нулі функції.

22.5. Побудуйте графік функції у = sin х на проміжку

Укажіть множину значень, проміжок зростання і проміжок спадання та нулі функції.

22.6. Побудуйте графік функції у = tg x на проміжку

Укажіть нулі функції, проміжки зростання і проміжки спадання функції.

Знайдіть найменший додатний період функції (22.7—22.8):

22.7.

22.8.

22.9. Під час обертання дротяної рамки у магнітному полі потік магнітної індукції, який пронизує її, змінюється залежно від часу за законом Ф(t) = 0,02sin 20t. Знайдіть амплітуду, частоту та період обертання.

22.10. Сила струму змінюється за законом I(t) = 5sin 50t (сила струму - в амперах; час - у секундах). Знайдіть амплітуду, частоту та період сили струму.

22.11. За графіками функцій у = sin х, у = соs х, у = tg x, у = ctg x визначте знак числа:

22.12. За графіками функцій у = sin х, у = соs х, у = tg x, у = сtg х порівняйте з нулем число:

Побудуйте графік функції та опишіть її властивості на зразок таблиці на с. 214 і 215 (22.13—22.14):

22.13.

22.14.

3. 22.15. На малюнках 22.12 і 22.13 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює 4. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-8; 8].

Мал. 22.12

Мал. 22.13

22.16. На малюнках 22.14 і 22.15 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює 5. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-10; 10].

Мал. 22,14

Мал. 22.15

22.17. Побудуйте графік функції

Укажіть:

1) нулі функції;

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і на яких — від’ємних;

3) проміжки зростання і проміжки спадання функції.

22.18. Побудуйте графік функції

Укажіть:

1) нулі функції;

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і на яких - від’ємних;

3) проміжки зростання і проміжки спадання функції.

22.19. Гармонічні коливання задано функцією

1) Запишіть функцію у вигляді f(t) = Аsin(ωt + φ).

2) Знайдіть амплітуду, частоту, початкову фазу та період коливань.

22.20. Гармонічні коливання задано функцією

1) Запишіть функцію у вигляді f(t) = Аsin(ωt + φ).

2) Знайдіть амплітуду, частоту, початкову фазу та період коливань.

22.21. Чи є число Т періодом функції f(х), якщо:

Знайдіть найменший додатний період функції (22.22—22.23):

22.22.

22.23.

Не виконуючи побудови, знайдіть нулі функції (22.24—22.25):

22.24.

22.25.

Користуючися графіками функцій у = sin x, у = cos x, у = tg x, у = ctg х, порівняйте числа (22.26—22.27):

22.26.

22.27.

Не виконуючи побудови, знайдіть (22.28—22.29):

22.28. 1) проміжки зростання функції

2) значення х, при яких функція

набуває додатних значень.

22.29. 1) проміжки спадання функції

2) значення х, при яких функція

набуває додатних значень.

Побудуйте графік функції (22.30—22.31):

22.30.

22.31.

Знайдіть область визначення функції (22.32—22.33):

22.32.

22.33.

4. При яких значеннях х з проміжки [0; 2] функція f(x) набуває найменшого значення, а при яких - найбільшого? Знайдіть ці значення, якщо (22.34-22.35):

22.34.

22.35.

Знайдіть область визначення функції (22.36—22.37):

22.36.

22.37.

Побудуйте графік функції (22.38—22.39):

22.38.

22.39.

Побудуйте графік рівняння (22.40—22.41):

22.40.

22.41.

22.42. При яких значеннях параметра а число є періодом функції

22.43. При яких значеннях параметра b число є періодом функції

Доведіть, що функція (22.44—22.45):

22.44.

1) f(x) = cos (sin х) спадає на [0; 0,5];

2) g(x) = sin (cos х) зростає на [я; 1,5].

22.45.

1) f(х) = sin (cos х) спадає на [0; 0,5];

2) g(x) = cos (sin х) зростає на [-0,5; 0].

22.46. Скільки коренів має рівняння

22.47. Скільки коренів має рівняння

22.48. Практична діяльність. За допомогою будь-якої комп’ютерної програми, що будує графіки, побудуйте графіки функцій

та

і вкажіть їх властивості на зразок таблиць на с. 214 і 215.

22.49. Вхідний квиток на 2-й поверх Ейфелевої вежі для дорослих коштує 8 євро, для осіб віком 12-24 років - 6,4 євро, а для дітей 4-11 років - 4 евро. Родина Петренків, що складається з батька, мами, студента Сергія (19 років), школярки Марійки (10 років) та малюка Ореста (2 роки), хоче відвідати 2-й поверх Ейфелевої вежі. У паризькому банку 1 євро коштує 32 гривні. Яку суму (у грн) заплатить родина Петренків за цю екскурсію? Округліть до цілих гривень.

22.50. (Задача аль-Хорезмі). Розв’яжіть систему рівнянь:

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

22.51. Знайдіть скалярний добуток векторів , якщо:

22.52. Дано: а = 60°, β = 30°. Перевірте, що:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити