Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ В НЕРІВНОСТІ

§ 27 РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

У цьому параграфі розглянемо деякі типи рівнянь і нерівностей, що містять аркфункції, та методи їх розв’язування.

1. Рівність однойменних аркфункцій

Ураховуючи монотонність аркфункцій, рівняння вигляду аrсsin f(х) = аrcsin g(х)та arccos f(х) = arccos g(x) будуть рівносильні системі:

а рівняння вигляду аrсtg f(х) = аrсtg g(х) і аrсtg f(х) = arcctg g(x) будуть рівносильні рівнянню f(х) = g(х).

Приклад 1. Розв’язати рівняння аrсsinх = аrсsin(х2 - 2х - 4).

Розв’язання. Маємо систему:

Отримаємо, що х = -1.

Відповідь. -1.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Маємо: х3 + 1 = х2 – х + 1, звідки х = 0.

Відповідь. 0.

2. Рівність аркфункції числу

Розглянемо рівняння вигляду аrcsin х = а. З графічної інтерпретації (мал. 27.1) бачимо, що при а < - або а > рівняння розв язків не має, а при - ≤ а ≤ має єдиний корінь: х = sin а. У той самий спосіб можна дійти висновків про розв’язки подібних рівнянь для інших аркфункцій. Ці висновки подамо у вигляді таблиць.

Мал. 27.1

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Відповідь..

Відповідь. 0.

Відповідь. 0.

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Відповідь. 0,25.

Відповідь. 2,5.

Відповідь. -.

3. Заміна змінної у рівняннях з аркфункціями

Рівняння вигляду F(y(x)) = 0, де F - раціональна функція, а у(х) - аркфункція, зводять до алгебраїчних рівнянь шляхом уведення нової

змінної t = у(х). Розв’язавши рівняння F(t) = 0 та повернувшися до заміни, отримаємо одне або кілька найпростіших рівнянь з аркфункціями.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Заміна: arctg x = t. Маємо рівняння:

3t2- 4t + 2 - 0, звідки t = або t = . Повертаючися до заміни, матимемо:

Перше рівняння розв’язків не має. З другого рівняння отримаємо, що

Відповідь. .

Для розв’язування рівнянь вигляду

використовуємо формулу arccos у(х) + arcsin у(х) = та зводимо рівняння до рівняння, що міститиме тільки arcsin у(х) або тільки arccos у(х). Далі, за необхідності, уводимо нову змінну t = arcsin y(x).

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки arccos х = - arcsin х, маємо:

Відповідь. 0,5.

Приклад 7. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Маємо:

Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки в ліву частину, рівняння набуде вигляду:

Зведемо подібні доданки, отримаємо квадратне рівняння відносно arcsin х, аналогічне до рівняння у прикладі 5:

2arcsin2х - arcsin x - 2 = 0.

Рівняння має єдиний корінь: х = - 1 (розв’яжіть самостійно).

Відповідь. -1.

Рівняння вигляду F(arctg y(x), arcctg y(x)) = 0 зводимо до рівняння, що міститиме лише arctg y(x) або arcctg y(x), за допомогою формули arctg y(x) + arcctg y(x) = . Далі, за необхідності, уводимо нову змінну t = arctg y(x).

Приклад 8. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки

рівняння набуде вигляду:

Після спрощень маємо:

Оскільки

то рівняння розв’язків не має.

Відповідь. Розв’язків немає.

4. Метод обчислення тригонометричної функції від обох частин рівняння

Це найбільш універсальний метод для розв’язування рівнянь, що містять аркфункції.

Якщо рівняння містить різнойменні аркфункції або аркфункції від різних аргументів і жодним з вищезгаданих методів розв’язати рівняння неможливо, треба обчислити деяку тригонометричну функцію від обох частин рівняння. Якщо при цьому область значень лівої і правої частин не належить проміжку монотонності цієї функції, то одержане алгебраїчне рівняння буде рівнянням-наслідком, тому можлива поява сторонніх коренів. Перевірка коренів у цьому випадку є обов’язковою.

Зауважимо, що розв’язати такі рівняння іноді допомагають формули, доведені у вправах 26.35 і 26.36.

Приклад 9. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння: -1 ≤ х ≤ 1. Знайдемо косинус від кожної частини рівняння:

Скористаємося формулою косинуса різниці, матимемо:

після спрощення якого отримаємо:

звідки х1,2 = ±1. Підставивши (для перевірки) отримані корені в рівняння, доходимо висновку, що -1 - сторонній корінь. Отже, х = 1.

Відповідь. 1.

Приклад 10. Розв’язати рівняння: arcsin х + arccos(х - 1) = .

Розв’язання. ОДЗ: 0 < х < 1. Тут зручніше знайти від обох частин синус. Матимемо:

Розв’язуючи це рівняння, одержимо, що х = 0 або х = 1. Перевіркою переконуємося в тому, що обидва числа - корені початкового рівняння. Відповідь. 0; 1.

Зауважимо, що тригонометричну функцію, значення якої від обох частин рівняння будемо знаходити, вибираємо так, щоб уникати громіздких перетворень. Корисно пам’ятати, що якщо в рівняннях з арксинусом і арккосинусом функції однойменні, то краще знаходити косинус, а якщо різнойменні - синус.

Якщо від обох частин рівняння знаходити значення тангенса або котангенса, може трапитися втрата коренів. Зазвичай це числа, які не належать області визначення функцій тангенса або котангенса. Тому, якщо під час розв’язування рівняння f(х) = g(x) переходимо до рівняння tg f(x) = або сtg f(x) = сtg g(х), тобто знаходимо від обох частин тангенс або котангенс, слід дотримуватися такої послідовності дій:

1) знайти всі значення х, для яких f(х) = 0,5 + k чи g(х) = 0,5 + k, k ∈ Z (якщо переходимо до рівняння tg f(х) = tg g(х)), або знайти всі значення х, для яких f(х) = + kчи g(x) = + k, k ∈ Z (якщо переходимо до рівняння ctg f(x) = ctg g(х));

2) перевірити, які зі знайдених у п. 1 значень х є коренями початкового рівняння;

3) для всіх інших значень х розв’язати рівняння tg g(x) = tg g(x) (або ctg f(х) = ctg g(х)), що є рівнянням-наслідком, та перевіркою вибрати з його коренів ті, що є коренями початкового рівняння;

4) записати відповідь, ураховуючи результати, отримані в п. 2 і 3.

Приклад 11. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Ті значення х, при яких ліва частина дорівнює 0,5 + k, k ∈ Z, не будуть коренями цього рівняння, бо права частина не дорівнює 0,5 + k, k ∈ Z. Візьмемо функцію тангенс від обох частин рівняння. Одержимо:

Звідси х2 + 2х - 1,25 = 0, звідки х = 0,5 або х = -2,5. Перевірка показує, що перший корінь задовольняє рівняння, а другий - не задовольняє.

Відповідь. 0,5.

5. Найпростіші нерівності, що містять аркфункцїі

Нерівності вигляду F(f(x)) < F(g(x), де F - аркфункція, розв’язують з урахуванням області визначення цієї функції та виходячи з того, що функції у = arcsin х і у = arctg х - зростаючі, а функції у = arccos х і у = arcctg x - спадні. Як розв’язати такі нерівності подано в таблицях.

arcsin f(х) < arcsin g(x)

arccos f(x) < arccos g(x)

-1 ≤ f(х) < g(x) ≤ 1

-1 ≤ g(x) < f(x) ≤ 1

arctg f(х) < arctg g(x)

arcctg f(x) < arcctg g(x)

f(x) < g(x)

g(x) < f(x)

Аналогічно розв’язують нерівності вигляду F(f(x)) ≤ F(g(x)), де F - аркфункція.

Приклад 12. Розв’язати нерівність arcsin(1 + х) < arcsin(2х).

Розв’язання. Маємо, ураховуючи, що у = arcsin х - зростаюча функція: -1 ≤ 1 + х < 2х ≤ 1. Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

система розв’язків не має.

Відповідь. Нерівність не має розв’язків.

Приклад 13. Розв’язати нерівність arccos(1 - х) < arccos(0,5x).

Розв’язання. Маємо, ураховуючи, що у = arccos х - функція спадна: -1 ≤ 0,5х < 1 - х ≤ 1. Звідси

Відповідь.

Приклад 14. Розв’язати нерівність: arcctg(2x) > arcctg x2.

Розв’язання. Оскільки у = arcctg x - функція спадна, маємо: 2х < х2, тобто х2 - 2х > 0, отже, х ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞).

Відповідь. (-∞; 0) ∪ (2; +∞).

Приклад 15. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Оскільки 0 = arcsin 0, то маємо:

Остаточно х ∈ [0; 1) ∪ (1; 2].

Відповідь. [0; 1) ∪ (1; 2].

6. Розв’язування більш складних нерівностей, що містять аркфункцїі

Під час розв’язування більш складних нерівностей, що містять обернені тригонометричні функції, застосовують прийоми, які використовувалися під час розв’язування рівнянь та прийоми розв’язування найпростіших нерівностей, що містять аркфункції.

Приклад 16. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді:

Тоді

тобто

тому

Відповідь. (1; +∞).

Приклад 17. Розв’язати нерівність: 4(arccosx)2 - 1 ≥ 0.

Розв’язання. Позначивши arccos х = t, матимемо квадратну нерівність: 4t2 - 1 ≥ 0, звідки t ≤ - або t ≥ . Повернувшися до змінної х, отримаємо: arccosх ≤ - або arccos х ≥ .

Перша з отриманих нерівностей розв’язків не має, а з другої отримаємо:

Відповідь.

• Як розв’язують рівняння, що містять рівність однойменних аркфункцій?

• Як розв’язують рівняння, що містять рівність оберненої тригонометричної функції числу?

• Як застосовують метод заміни змінної у рівняннях з аркфункціями?

• Як застосовують метод обчислення тригонометричної функції від обох частин рівняння в рівняннях з аркфункціями?

• Як розв’язують найпростіші нерівності, що містять аркфункції?

• Як розв’язують більш складні нерівності, що містять аркфункції?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи має розв’язки рівняння (27.1—27.2):

27.1.

27.2.

2. Розв’яжіть рівняння (27.3—27.12):

27.3.

27.4.

27.5.

27.6.

3. 27.7.

27.8.

27.9.

27.10.

27.11.

27.12.

Розв’яжіть нерівність (27.13—27.16):

27.13.

27.14.

27.15.

27.16.

27.17. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

27.18. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

4. Розв’яжіть рівняння (27.19—27.24):

27.19.

27.20.

27.21.

27.22.

27.23.

27.24.

Розв’яжіть нерівність (27.25—27.26):

27.25.

27.26.

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (27.27—27.28):

27.27.

27.28.

27.29. Розв’яжіть рівняння (27.29—27.34):

27.30.

27.31.

27.32.

27.33.

27.34.

27.35. При яких значеннях параметра а рівняння arctg х · arcctg x = а має розв’язки?

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (27.36—27.37):

27.36.

27.37.

27.38. Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність:

Для всіх значень параметра а, де а ≥ 0, розв’яжіть нерівність (27.39-27.40):

27.39.

27.40.

27.41. Швидкість автомобіля, який розганяється з місця старту вздовж прямолінійного відрізка шляху довжиною І км з постійним прискоренням а км/ч2, обчислюється за формулою

Визначте найменше прискорення, з яким повинен рухатися автомобіль, щоб, проїхавши один кілометр, набути швидкості не менше ніж 100 км/год.

27.42. Знайдіть усі пари цілих чисел (х; у), що задовольняють рівняння

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

27.43. Чи існує таке значення х, для якого справджується рівність:

27.44. Укажіть значення кута 0° < а < 90°, для якого справджується рівність:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити