Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ В НЕРІВНОСТІ

§ 30 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ РІЗНИМИ МЕТОДАМИ

У двох попередніх параграфах ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння та рівняння, які зводяться до алгебраїчних за допомогою заміни змінної. У цьому параграфі розглянемо інші види тригонометричних рівнянь та методи їх розв’язування.

1. Метод розкладання на множники

Нехай маємо рівняння F(х) = 0, ліву частину якого можна розкласти на множники, тобто звести до вигляду:

F(x) = f1(x) ∙ f2(х) ∙ ... ∙ fn(x).

Тоді рівняння F(х) = 0 буде рівносильне сукупності рівнянь вигляду: F1(х) = 0; f2(х) = 0; ...; Fn(х) = 0 за умови врахування його ОДЗ.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ: х ∈ R.

Ураховуючи, що sin 2а = 2 sin а соs а, рівняння набуває вигляду: 2 sin х соs x + 3 соs х = 0.

Ліву частину отриманого рівняння можна розкласти на множники: соs х(2 sin х + 3) = 0. Тоді маємо:

звідки

Отже,

Відповідь.

Приклад 2. Розв’язати рівняння: sin 5х - sin 3х = 0. Розв’язання. ОДЗ: х ∈ R.

Ураховуючи, що

рівняння набуде вигляду:

Отже, маємо рівняння: 2 sin х соs 4х = 0, яке рівносильне сукупності двох найпростіших тригонометричних рівнянь:

звідки отримаємо:

Відповідь.

Приклад 3. Розв’язати рівняння: cos x – cos 2x + cos 3x= 0

Розв’язання. ОДЗ: х ∈ R. Ураховуючи, що

рівняння набуде вигляду: 2 соs х соs 2х – соs 2х = 0. Розкладемо ліву його частину на множники, отримаємо: соs 2х(2 соs х - 1) = 0. Рівняння рівносильне сукупності рівнянь (розв’яжіть їх самостійно):

Відповідь.

Приклад 4. Розв’язати рівняння: cos z cos 2z cos 4z cos 8z = .

Розв’язання. Якби ліва частина рівняння містила множник sins, то її можна було звести до вигляду sin 16z, застосувавши 4 рази формулу 2 sin a cos a= sin 2a. Тому домножимо обидві частини рівняння на sin z. Зауважимо, що цей прийом зумовить появу сторонніх коренів вигляду z = k, k ∈ Z (розв’язків рівняння sin z= 0), оскільки множення обох частин на вираз, що може дорівнювати нулю, не є рівносильним перетворенням рівняння. Справді, якщо sin z= 0, тобто z = k, k∈ Z, ліва частина початкового рівняння дорівнює 1 або - 1 відповідно для парних і непарних k, тобто не дорівнюватиме правій частині. Тому, розв’язуючи рівняння зазначеним методом, з отриманих розв’язків треба вилучити ті, при яких вираз, на який ми домножили, дорівнює нулю, тобто числа k, k ∈ Z. Отже, після множення на sin z обох частин рівняння матимемо:

Переписавши його у вигляді: sin 16z - sin z = 0, розкладемо ліву частину на множники:

і отримаємо:

Далі з отриманих коренів вилучимо сторонні.

1) Нехай k, тобто n ≠ , k ∈ Z, але n - ціле, тому k = 2m - парне число і n ≠ 15m, m ∈ Z.

2) Нехай

Тоді

тобто

Оскільки І - ціле, то k = 2р + 1 - непарне число. Тоді

Отже,

Відповідь.

2. Однорідні тригонометричні рівняння

Тригонометричне рівняння вигляду a sin f(х) + b cos f(x) = 0, де a і b - числа, а ≠ 0, b ≠ 0, називають однорідним тригонометричним рівнянням 1-го степеня відносно sin f(x) і cos f(x), бо кожний із цих доданків міститься в рівнянні в першому степені. Рівняння зводять до найпростішого діленням обох його частин на cos f(х) за умови cos f(х) ≠ 0. При цьому втрати коренів не відбудеться, оскільки значення х, при яких cos f(x) = 0, не є коренями рівняння. Справді, якщо cos f(x) = 0, то рівняння набуде вигляду a sin f(x) = 0. Оскільки а ≠ 0, то тоді sin f(х) = 0. Але не існує таких значень х, що cos f(x) = sin f(x) = 0.

Отже, якщо поділити обидві частини рівняння a sin f(х) + b cos f(х) = 0 на cos f(х), отримаємо рівносильне йому рівняння: a tg f(x) + b = 0, що є найпростішим.

Приклад 5. Розв’язати рівняння: 2 sin 3x - 5 cos 3x = 0.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на cos 3x ≠ 0, матимемо:

тобто 2 tg 3х - 5 = 0.

Маємо рівняння: tg 3x = 2,5, звідки

k ∈ Z.

Відповідь.

Тригонометричне рівняння вигляду

де а, b, с — числа, з яких хоча б два відмінні від нуля, називають однорідним тригонометричним рівнянням 2-го степеня відносно sin f(х) і сов f(х). Кожний доданок у рівнянні - другого степеня.

Якщо а ≠ 0, то рівняння розв’язують, поділивши попередньо обидві його частини на cos2 f(x) (за умови cos f(x) ≠ 0) з подальшою заміною tg f(x) = t, при цьому втрати коренів (за аналогією з однорідним рівнянням 1-го степеня) не відбудеться. Якщо ж а = 0, то cos f(x) виносимо за дужки та застосовуємо прийом, відомий нам з попереднього пункту.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Ті значення х, при яких соsх = 0, не є коренями рівняння, тому, поділивши обидві частини рівняння на cos2х ≠ 0, коренів не загубимо. Маємо:

Отримали рівняння: tg2х - 4 tg х - 5 = 0.

Заміна: tg x = t. Маємо: t2 - 4t - 5 = 0, звідки t1 = -1; t2 = 5. Повертаємося до заміни:

1) t1 = -1, тоді tgx = -1, тобто х = -+ к, отже,х = -0,25 + k, k ∈ Z.

2) t2 = 5, тоді tgx = 5, тобто х = аrctg 5 + m, отже,

Відповідь.

Серед тригонометричних рівнянь трапляються рівняння, вигляд яких відмінний від згаданого вище, але їх можна звести до однорідного рівняння. Для цього часто застосовують формули подвійного кута та основну тригонометричну тотожність.

Розглянемо приклад такого рівняння.

Приклад 7. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Оскільки

рівняння набуває вигляду:

а після спрощень матимемо однорідне рівняння 2-го степеня:

Далі розв’язуємо рівняння, як у попередньому прикладі (розв’яжіть самостійно).

Відповідь.

3. Рівняння вигляду a sin х + b cos х = с, де а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0

Один із способів розв’язування такого рівняння, а саме, метод допоміжного кута, ми вже розглянули в § 28 (приклад 6).

Розглянемо ще один спосіб розв’язування рівнянь такого типу. Він полягає у зведенні цього рівняння до однорідного за допомогою формул подвійного кута та основної тригонометричної тотожності.

Розглянемо цей спосіб на прикладі.

Приклад 8. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки

матимемо:

Після спрощень отримаємо однорідне рівняння 2-го степеня:

Розв’язавши його як однорідне 2-го степеня (зробіть це самостійно), отримаємо корені:

Відповідь.

Приклад 9. Знайти корені рівняння:

Розв’язання. Скористаємося методом допоміжного кута. Оскільки

поділимо обидві частини рівняння на 13. Матимемо:

Оскільки права частина рівняння містить функцію синуса, вираз у лівій частині також зведемо до функції синуса. Нехай = sin φ, = cos φ. Маємо: sin φ cos 3х – cos φ sin 3х = sin х.

Застосуємо в лівій частині формулу додавання, отримаємо: sin(φ - 3х) = sin х. Це рівняння можна розв’язати або розкладанням на множники (аналогічно до прикладу 2 цього параграфа), або застосувати умову рівності двох однойменних функцій (як у прикладі 9 на с. 289). Запишемо для отриманого рівняння умову рівності двох синусів:

Маємо сукупність двох лінійних рівнянь зі змінною х (розв'яжіть їх самостійно).

Відповідь.

4. Розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

Під універсальною тригонометричною підстановкою розуміють запис основних тригонометричних функцій через тангенс половинного кута:

Слід пам’ятати, що застосування цих формул у рівнянні звужує його ОДЗ на множину а = + 2k, k ∈ Z. Тому перед застосуванням формул треба перевірити, чи не є числа цієї множини коренями рівняння.

Приклад 10. Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ рівняння — усі дійсні числа, крім чисел + 2 к, к ∈ Z, тому ці числа не можуть бути коренями даного рівняння.

Застосуємо формулу

та заміну:

Маємо рівняння:

звідки u = 1.

Повертаємося до заміни:

Відповідь.

Приклад 11. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Після застосування формули

ОДЗ рівняння звужується на множину z = 0,5 + k, k ∈ Z, але ці числа не є коренями рівняння (перевірте самостійно). Застосовуючи зазначену формулу і заміну tg z = u, матимемо:

звідки u = - 1. Повертаємося до заміни:

Відповідь.

5. Тригонометричні рівняння з параметрами

Раніше ми вже розглядали деякі тригонометричні рівняння з параметрами. Розглянемо кілька більш складних вправ.

Приклад 12. Для всіх значень параметра b розв’язати рівняння:

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

Уведемо допоміжний кут. Для цього поділимо обидві частини рівняння на 8, оскільки

Маємо:

тобто

Отримали рівняння:

Оскільки sin а ≤ 1, то:

1) якщо |b| > 8, тобто b< -8 або b > 8, коренів немає;

2) якщо |b| ≤ 8, тобто -8 ≤ b ≤ 8 і -1 ≤ ≤ 1. Тоді х - = (-1)kаrсsin + k, k ∈ Z, отже,

Відповідь. Якщо b < -8 або b > 8, то розв’язків немає;якщо

Приклад 13. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння (а2 - 6а + 9)(2 + 2sin х - сов2х) + + (12а - 18 - 2а2)(1 + sin х) + а + 3 = 0 не має розв’язків.

Розв’язання. Перетворимо лiву частину рівняння:

Отримали рівняння:

Перепишемо його у вигляді:

1) Якщо а = 3, то маємо рівняння: 0 ∙ соs2 х = 6, яке розв'язків не має.

2) Якщо а ≠ 3, то

Оскільки 0 ≤ cos2 х ≤ 1, то для вимог задачі необхідно виконання однієї з двох умов:

3 першої нерівності отримаємо, що а < -3, а з другої, що 1 < а < 3 або 3 < а < 6 (розв’яжіть нерівності самостійно). Отже, остаточно отримаємо, що вимогу задачі задовольняють такі значення параметра: а < -3 або 1 < а < 6.

Відповідь. а < -3 або 1 < а < 6.

• Як розв’язують рівняння F(x) = 0 у випадку, коли його ліву частину можна розкласти на множники?

• Які тригонометричні рівняння називають однорідними і як їх розв’язують?

• Якими способами можна розв’язувати рівняння a sin x+ b cos x= с?

• Як можна розв’язати тригонометричні рівняння за допомогою універсальної тригонометричної підстановки?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Розв’яжіть рівняння (30.1—30.2):

30.1.

30.2.

2. Розв’яжіть рівняння розкладанням на множники його лівої частини (30.3—30.4):

30.3.

30.4.

Розв’яжіть однорідне рівняння (30.5—30.6):

30.5.

30.6.

Розв’яжіть рівняння (30.7—30.10):

30.7.

30.8.

30.9.

30.10.

Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод допоміжного кута (30.11—30.12):

30.11.

30.12.

3. Розв’яжіть рівняння (30.13—30.14):

30.13.

30.14.

30.15. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння

30.16. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

Розв’яжіть рівняння (30.17—30.20):

30.17.

30.18.

30.19.

30.20.

30.21. При яких значеннях параметра а рівняння 4 sin х - З соs х = а має розв’язки?

30.22. При яких значеннях параметра bрівняння 5 соs х + 12 sin x = b має розв’язки?

4. Використовуючи метод уведення допоміжного кута, розв’яжіть рівняння (30.23—30.24):

30.23.

30.24.

Розв’яжіть рівняння (30.25—30.26):

30.25.

30.26.

30.27. Знайдіть усі корені рівняння 2 cos x – 3 sin x = -|sin x|що належать проміжку

30.28. Знайдіть усі корені рівняння 3 cos х - 2 sin х = |cos х|,що належать проміжку (0; ).

Використовуючи універсальну тригонометричну підстановку, розв’яжіть рівняння (30.29—30.30):

30.29.

30.30.

Розв’яжіть рівняння (30.31—30.32):

30.31.

30.32.

30.33. Знайдіть усі корені рівняння 2 cos 8x - 2 - sin 12x = 0, що належать проміжку

30.34. Знайдіть усі корені рівняння

що належать проміжку

30.35. Знайдіть усі розв’язки рівняння 2 cos2х = 1 - sin 4x, що задовольняють умову |х| ≤ 1.

30.36. Знайдіть усі розв’язки рівняння 2 sin2 х + cos 4x= 0, що задовольняють умову |х| ≤ 1.

Розв’яжіть рівняння (30.37—30.38):

30.37.

30.38.

30.39. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

30.40. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

30.41. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння (а2 - 4а + 4)(4 + 4 sin 2x + 8 sin х) + 2(16а - 16 - 4а2)(1 + sin x) + 28 - 8а = 0 має принаймні один розв’язок.

30.42. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння (а2 + 8а + 16)(2 - 2соsх - sin2х) + (32 + 2а2 + 16а)(соs х - 1) + За +10 = 0 не має розв’язків.

Знайдіть найменше додатне значення параметра а, при якому має єдиний розв’язок рівняння (30.43—30.44):

30.43.

30.44.

Знайдіть усі цілі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має розв’язки (30.45-30.46):

30.45.

30.46.

30.47. Потяг Харків-Ужгород відправляється о 10:35, а прибуває об 11:48 наступного дня. Скільки часу потяг перебуває в дорозі?

30.48. (Національна олімпіада Бельгії, 1979 р ). Розташуйте числа х, у, z, де х = (а + b)(с + d), у = (а + с)(b + d), z = (а + d)(b + с), у порядку зростання, якщо а < b < с < d.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

30.49. Укажіть серед нерівностей ті, що справджуються для будь-якого х, та ті, що при жодному значенні х не мають розв’язків:

30.50. Укажіть кілька значень кута а, для яких справджується нерівність:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити