Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ В НЕРІВНОСТІ

§ 31 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Нерівність, що містить змінну під знаком тригонометричної функції, називають тригонометричною нерівністю.

Тригонометричними є, наприклад, нерівності:

тощо.

1. Найпростіші тригонометричні нерівності

Найпростішими називають нерівності вигляду sin t > a, cos t > a, tg t > a, ctg t > а та ті, які отримаємо, якщо в них знак > замінимо на один із знаків ≥, < або ≤. Загальні формули для розв’язування цих нерівностей є досить громіздкими. Тому розглянемо методи розв’язування нерівностей на прикладах. Для наочності будемо використовувати одиничне коло, лінії тангенса і котангенса.

Приклад 1. Розв’язати нерівність

Розв’язання, sin t- це ордината точки одиничного кола, що відповідає куту t. Позначимо на одиничному колі всі точки, ординати яких більші за , вони лежать вище прямої у = (мал. 31.1). Множина всіх таких точок утворює дугу І. Якщо рухатися вздовж цієї дуги проти руху годинникової стрілки, тобто в додатному напрямі відкладання кутів, то перша точка дуги І відповідає куту

а остання - куту

Мал. 31.1

Кожний із цих кутів є розв’язком нерівності, оскільки нерівність нестрогого знаку. Нерівність sin t ≥ задовольняють усі значення t, точки яких належать дузі І: ≤ t ≤ .

Функція синуса є періодичною з найменшим додатним періодом 2, тому множина всіх розв’язків нерівності має вигляд:

Відповідь.

Відповідь можна записати й у вигляді проміжка:

Приклад 2. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Нехай 2х = t. Маємо нерівність: sin t < - .

Позначимо на одиничному колі дугою І всі точки, ординати яких менші за -0,5, це точки дуги І, які лежать нижче прямої у = -0,5 (мал. 31.2). Якщо рухатися вздовж дуги І у додатному напрямі, то перша точка дуги І відповідає куту

а остання - куту

Мал. 31.2

Кінці дуги будуть «порожніми», оскільки нерівність строгого знаку. Розв’язки нерівності - усі кути t, яким відповідають точки, що лежать на дузі і між точками і .

Ураховуючи періодичність синуса, маємо:

Повертаємося до змінної

Поділимо всі частини отриманої нерівності на 2, матимемо:

Відповідь.

Приклад 3. Розв’язати нерівність:

Розв’язання, cos t- це абсциса точки одиничного кола, що відповідає куту t. Позначимо на одиничному колі всі точки, абсциси яких менші за ці точки лежать на дузі І одиничного кола зліва від прямої х = (мал. 31.3).

Мал. 31.3

Перша точка дуги І відповідає куту t1 =arcco s = , а остання - куту

Розв’язками нерівності є всі кути, яким відповідають точки цієї дуги, уключаючи її кінці. Ураховуючи періодичність косинуса, маємо:

Відповідь.

Приклад 4. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Нехай х + = t, маємо нерівність: cos t > .

Позначимо на одиничному колі всі точки, абсциси яких більші за , тобто за 0,5. Усі вони лежать на дузі І, перша точка якої відповідає куту t1 = - arccos = - , а остання - куту t2 = (мал. 31.4). Усі кути, що лежать між цими двома кутами, є розв’язками нерівності. Отже, маємо:

Повертаємося до змінної х:

отримаємо:

Відповідь.

k ∈ Z.

Мал. 31.4

Приклад 5.

Розв’язати нерівність tg t ≤ .

Розв’язання. Період функції тангенс дорівнює , тому спочатку знайдемо розв’язки нерівності на проміжку(-;), а потім використаємо періодичність.

Проведемо лінію тангенсів, tg t - це ордината точки на лінії тангенсів, що відповідає куту t. Позначимо на лінії тангенсів точку, ордината якої дорівнює (мал. 31.5). Ця точка відповідає куту t = arctg = , а точки лінії тангенсів,у яких ординати менші за , відповідають кутам від - до . Зауважимо,що кут — буде розв’язком нерівності, оскільки вона є нестрогою, а кут - - не буде, оскільки tg (-) не існує.

Мал. 31.5

Отже, на проміжку

маємо розв'язки нерівності:

Ураховуючи періодичність, остаточно отримаємо:

Відповідь.

Приклад 6. Розв'язати нерівність:

Розв'язання. Використовуючи малюнок 31.5 та періодичність, маємо:

Відповідь.

Приклад 7. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Використовуючи лінію котангенсів, отримаємо розв’язки нерівності на проміжку (0; ): 0 < t < (мал. 31.6). Далі використаємо періодичність:

Відповідь.

Мал. 31.6

2. Тригонометричні нерівності, що зводяться до найпростіших

Нерівності, відмінні від найпростіших, можна звести до найпростіших за допомогою тригонометричних формул.

Приклад 8. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Спростимо ліву частину нерівності:

Маємо нерівність ctg 2х > 1, яка заміною 2х = t зводиться до найпростішої: ctg t > 1.

Тоді k < t < +k, k ∈ Z (мал. 31.7).

Повертаючись до змінної х, матимемо:

Отже,

Відповідь.

Мал. 31.7

3. Розв’язування тригонометричних нерівностей за допомогою заміни змінної

Як і тригонометричні рівняння, деякі тригонометричні нерівності можна розв’язати за допомогою введення нової змінної.

Приклад 9. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перенесемо всі доданки у праву частину нерівності і спростимо отриманий вираз:

Маємо нерівність: (1 - 2 sin2x)(1 - 2 sin x) > 0. Заміна: sin x = t.

Маємо: (1 - 2t2)(1 - 2t) > 0, тобто

Мал. 31.8

Розв’язуючи останню нерівність методом інтервалів (мал. 31.8), отримаємо сукупність:

Покажемо на одиничному колі множину точок цієї сукупності (мал. 31.9). З урахуванням періодичності матимемо:

Мал. 31.9

Відповідь.

4. Розв’язування тригонометричних нерівностей методом інтервалів

Розв’язуючи нерівність f(x) > 0 (або f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0), де f(x) - тригонометричний вираз, не завжди можна звести її до одного з вищезгаданих видів нерівностей. У такому разі розв’язати нерівність можна універсальним методом - методом інтервалів.

Алгоритм застосування методу інтервалів для розв’язування тригонометричних нерівностей може бути таким:

1) подати вираз f(x) у вигляді суми тригонометричних функцій у першому степені;

2) знайти Т — період f(x), ним буде найменше спільне кратне періодів кожного з доданків;

3) розв’язати рівняння f(x) = 0 на проміжку завдовжки Т (найкраще, коли кінцями цього проміжку будуть нулі функції f(x), що надалі дасть змогу компактніше записати відповідь);

4) розбити проміжок Т областю визначення і нулями функції f(x) на скінченну кількість проміжків та знайти знак f(x) на кожному з них;

5) залежно від знайдених знаків з урахуванням періодичності f(x) записати відповідь.

Приклад 10. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перетворимо ліву частину нерівності: -cos(3x + 2х) > sin 10x. Отже, маємо нерівність: sin 10х + cos 5х < 0.

Найменшим додатним періодом функції φ1(х) = sin 10x є

а функції

Тому найменшим додатним періодом функції

Розглянемо цю нерівність на проміжку завдовжки . Длятого щоб вибрати «зручний» проміжок, спочатку знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння sin 10x+ cos 5х = 0 способом розкладання на множники. Маємо: 2 sin 5х cos 5х + cos 5х = 0; тобто cos 5х(2 sin 5х + 1) = 0. Отримане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

отже, маємо множину нулів функції f(x):

Мал. 31.10

Розглянемо проміжок

завдовжки . Йому належать 4 нулі функції:

Позначимо їх на числовій осі.

Визначимо знак функції на кожному з отриманих проміжків, підставляючи в f(х) по одному значенню х з кожного проміжки (мал. 31.10).

Додаючи до одержаних проміжків період , матимемомножину розв’язків нерівності:

Відповідь.

• Що таке найпростіша тригонометрична нерівність і як її розв’язати?

• Поясніть, які бувають тригонометричні нерівності і як їх розв’язати?

• Як розв’язати тригонометричну нерівність методом інтервалів?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 31.1. На якому з малюнків 31.11-31.14 зображено розв’язки нерівності соs х ≥ -, а на якому – sin x ≤ -?

Мал. 31.11

Мал. 31.12

Мал. 31.13

Мал. 31.14

31.2. На якому з малюнків 31.11-31.14 зображено розв’язки нерівності соsх ≤ -, а на якому – sin х ≥ -

2. Розв’яжіть нерівність (31.3—31.4):

31.3.

31.4.

31.5. (Усно.) Ураховуючи множини значень функцій у = sin x і у = cos n, розв’яжіть нерівність:

Розв’яжіть нерівність (31.6—31.9):

31.6.

31.7.

31.8.

31.9.

31.10. Кут а при основі рівнобедреного трикутника задовольняє умову sin а <. Доведіть, що трикутник тупокутний.

31.11. Кут β трикутника задовольняє умову соs β <. Чиможе цей трикутник бути рівностороннім?

3. Застосовуючи формули тригонометрії, зведіть нерівність до найпростішої та розв’яжіть її (31.12—31.13):

31.12.

31.13.

Розв’яжіть нерівність (31.14—31.25):

31.14.

31.15.

31.16.

31.17.

31.18.

31.19.

4. 31.20.

31.21.

31.22.

31.23.

31.24.

31.25.

31.26. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (31.27—31.28):

31.27.

31.28.

31.29. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких нерівність а2 + 2а - sin2х - 2а cos х > 2 справджується для будь-якого значення х.

31.30. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких нерівність cos2х + 2a sin х - 2а < а2 - 4 справджується для будь-якого значення х.

31.31. Брат із сестрою вирішили влітку трохи допомогти своїм батькам матеріально. Вони придбали в сусіда-садівника на 1000 грн яблук, переробили їх на сухофрукти та віддали в торгівельну мережу на реалізацію, за що отримали 3000 грн. Сплативши з отриманої суми 18 % податку на доходи фізичних осіб, брат із сестрою підрахували чистий прибуток від цієї справи та передали цю суму батькам. Яку суму коштів вони передали батькам, якщо витрати на сушіння яблук склали 500 грн, а на їх реалізацію - 300 грн?

31.32. Двоє гравців по черзі розламують шоколадну плитку 6x8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого зі шматочків уздовж заглиблення. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. Хто з гравців переможе при правильній грі обох суперників?




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити