Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 34 ПОХІДНА ФУНКЦІЇ. ПОХІДНІ НАЙПРОСТІШИХ ФУНКЦІЙ

1. Приріст аргументу і приріст функції

На практиці нас часто цікавить не значення якоїсь величини, а її приріст. Приріст величини позначають великою літерою грецького алфавіту ∆ (дельта). Розглянемо поняття приросту для функції.

Спочатку розглянемо поняття приросту аргументу. Нехай х0 - деяке фіксоване значення аргументу, а х- деяке довільне його значення.

Різницю х - х0 називають приростом аргументу (незалежної змінної) у точці х0 і позначають ∆х (читають: «дельта ікс»).

Отже, ∆х = х - х0, звідси х = х0 + ∆х.

Зауважимо, що значення Ах може бути як додатним, так і від’ємним. Зрозуміло, що коли ∆х > 0, то х > х0, а коли ∆х < 0, то х < х0 (мал. 34.1).

Мал. 34.1

Мал. 34.2

Розглянемо значення функції f(х) у точках х та х0, тобто f(х) та f(х0). Значення функції f(х) змінилося при переході від точки х0 до точки х на значення ∆f = f(х) - f(х0).

Різницю f(х) — f(х0) називають приростом функції в точці х0 і позначають ∆f (читають: «дельта еф»).

Оскільки х = х0 + ∆х, то ∆f = f(х) - f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0), звідки f(х0 + ∆х) = f(х0) + ∆f (мал. 34.2).

Приклад 1. Знайти приріст функції f(х) = 3х - 2 в точці « х0 =1, що відповідає приросту аргументу ∆х = 0,1. Розв’язання. f(х0) = f(1) = 3 · 1 - 2 = 1. Оскільки х0 + f(х = 1 + 0,1 = 1,1, то f(х0 + ∆х) = f(1,1) = 3 · 1,1 - 2 = 1,3. Тоді ∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0) = 1,3 - 1 = 0,3.

Відповідь. 0,3.

2. Похідна функції

Для функції поняття похідної є одним з найважливіших понять математичного аналізу. За допомогою похідної можна досліджувати властивості функцій, знаходити їх найбільше і найменше значення на проміжку тощо. Похідну застосовують у фізиці, економіці, інших науках.

Границю відношення приросту функції ∆f у точці х0 до приросту аргументу ∆х, коли ∆х → 0, називають похідною функції у = f(х) у точці х0.

Похідну позначають так: f'(х0) (читають: «f штрих у точці х0») або так: y'(х0) (читають: «у штрих у точці х0»). Означення похідної у вигляді формули можна записати так:

Якщо врахувати, що

то

Функцію у = f(х), що має похідну в точці х0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція у = f(х) має похідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що функціядиференційовна на цьому проміжку. Дію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Приклад 2. Знайти похідну функції f(х) у точці х0 за означенням можна за таким алгоритмом:

1) знайти приріст функції ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0), що відповідає приросту аргументу ∆х;

2) знайти відношення

та спростити його;

З) знайти границю

Знайти похідну функції f(х) = х2 у точці х0 - 7.

Розв’язання.

Відповідь. f'(7) = 14.

Приклад 3. Чи має функція

похідну у точці х0 = 1? У разі позитивної відповіді, знайти f'(1).

Розв’язання. Маємо: f(х0) = (1) = 12 - 3 = -2. Оскільки функцію f(х) для різних значень аргументу задано різними формулами: для х ≤ 1 - однією формулою, а для х > 1 - іншою, і дати відповідь про існування похідної потрібно саме в точці х0 = 1, то під час розв’язування задачі треба розглянути два випадки ∆х < 0 і ∆х > 0.

Якщо

Тоді

Якщо

Отже, в обох випадках

тобто f'(1) існує і f’(1) = 2.

Відповідь. Має; f'(1) = 2.

3. Похідні найпростіших функцій

Оскільки для кожного значення х0 значення f'(х0) або єдине, або взагалі не існує, будемо розглядати похідну f'(х) як функцію від х.

Для деяких функцій можна знайти формули їх похідних. Це дозволить знаходити похідну функції в точці не за означенням, а за формулою.

Знайдемо формули похідних деяких найпростіших функцій за означенням, замінивши в запропонованому вище алгоритмі х0 на х.

Приклад 4. Нехай f(х) = С, де С - число. Тоді за алгоритмом:

Отже, С' = 0.

Приклад 5. Нехай f(х) = х. Тоді:

Отже, х' = 1.

Приклад 6. Нехай f(x) = х2. Тоді:

Отже, (х2)' = 2х.

Аналогічно можна знайти похідні й інших функцій шкільного курсу математики.

Радимо запам’ятати похідні функцій, які найчастіше використовують у курсі алгебри і початків аналізу:

Зверніть увагу, що похідна функції - це також функція, а похідна функції в точці - це число. Отже, тепер, знаючи формули похідних, похідні функцій в точках можна обчислювати значно простіше, ніж за означенням. Для цього достатньо у формулу похідної функції підставити дану точку і виконати обчислення.

Приклад 7. Дано функцію f(х) = х3. Знайти f'(-1), f'(2).

Розв’язання. Відомо, що похідною функції f(х) = х3 є функція f'(х) = 3х2. Тоді f'(-1) = 3 · (-1)2 = 3 і f'(2) = 3 · 22 = 12.

Відповідь. f’(-1) = 3; f'(2) = 12.

А ще раніше ...

Розділ математики, у якому вивчають похідні та їх застосування, називають диференціальним численням. Диференціальне числення створено не так давно, у кінці XVII cm., завдяки Ньютону і Лейбніцу. Вони майже одночасно прийшли до поняття похідної. Ньютон прийшов до цього, розглядаючи питання механіки, зокрема питання миттєвої швидкості. Функцію він називав «флюентою», а похідну - «флюксією», функції позначав літерами х; у; z; u; v; w, а їхні похідні — тими самими літерами із крапками вгорі: х; у тощо.

Лейбніц прийшов до поняття похідної, виходячи з геометричних задач, а саме, розглядаючи задачу про проведення дотичної до кривої. Замість відомого нам Ах, він використовував позначення dx (літера d - перша літера латинського слова differentia - різниця).

І. Ньютон (1643-1727)

І.Ф. Лейбніц (1646-1716)

М.В. Остроградський (1801-1862)

М.П. Кравчук (1892-1942)

Подальший внесок у розвиток математичного аналізу взагалі та диференціального числення зокрема зробили А. Лопіталь (1661-1704), Л. Ейлер (1707-1783), О. Коші (1789-1857), К.Ф. Гаус (1777-1855), а також українські математики М.В. Остроградський і М.П. Кравчук.

• Що називають приростом аргументу в точці х0?

• Що називають приростом функції у точці х0?

• Що називають похідною функції у = f(х) у точці х0?

• Яку функцію називають диференційовною в точці х0?

• Сформулюйте алгоритм знаходження похідної за означенням.

• Запам’ятайте похідні функцій f(x) = С,

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Знайдіть приріст аргументу ∆х, якщо (34.1-34.2):

34.1.

34.2.

Які похідні знайдено правильно, а які - ні (34.3—34.4):

34.3.

34.4.

2. Знайдіть приріст функції f(x) у точці х0 для даного приросту аргументу (34.5—34.6):

34.5.

34.6.

34.7. Знайдіть приріст функції g(x) = sin x у точці х0 = 0, якщо:

34.8. Знайдіть приріст функції f(х) = cos x у точці х0 = , якщо:

Використовуючи таблицю похідних, знайдіть похідну функції (34.9-34.10):

34.9.

34.10.

3. 34.11. 1) Запишіть приріст функції f(х) = 2х - 3 в точці х0 через х0 і ∆х.

2) Знайдіть ∆f(х0), якщо х0 = 1, ∆х = 0,5.

3) Накресліть графік функції f(х) = 2х - 3.

4) Проілюструйте зроблене малюнком.

34.12. 1) Запишіть приріст функції g(x) = 2 - 3х у точці х0 через х0 і ∆х.

2) Знайдіть ∆g(x0), якщо х0 = 2, ∆х = 0,5.

3) Накресліть графік функції g'(x) = 2 - 3х.

4) Проілюструйте зроблене малюнком.

Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції g(x) у точці х0 (34.13— 34.14):

34.13.

34.14.

34.15. Порівняйте ∆f(х0) і ∆g(x0) у точці х0 = 1 для функцій

Складіть і розв’яжіть рівняння (34.16—34.17):

34.16.

34.17.

34.18. Складіть і розв’яжіть нерівність f'(x) ≥ 3f(х), якщо f(х) = х2.

34.19. Порівняйте f'(3) і f'(-3), якщо f(х) = х3.

34.20. Порівняйте

якщо g’(x) = .

4. Користуючись означенням похідної, знайдіть значення похідної функції f(х) у точці х0 (34.21—34.22):

34.21.

34.22.

Користуючись означенням, знайдіть похідну функції (34.23— 34.24І:

34.23.

34.24.

34.25. Складіть і розв’яжіть нерівність f'(x) + g'(x) - 5 > 0, якщо f(х) = х2, g(x) = х3.

34.26. Складіть і розв’яжіть рівняння |f'(х)| = f(х), якщо f(х) = х2.

34.27. Чи має функція

Похідну у точці х0 = 1? Якщо так, то знайдіть f'(1).

34.28. Доведіть, користуючись означенням похідної, що в точці х0 = 2 існує похідна функції

Знайдіть f'(2).

34.29. Висота над землею підкинутого вгору м’яча змінюється за законом h(t) = 1,6 + 8t - 5t2, де k - висота в метрах, t - час у секундах, що минув з моменту підкидання. Скільки секунд м’яч буде перебувати на висоті, що не менша за три метри?

34.30. Додатні числа х і у задовольняють умову х - у = х3 + у3. Доведіть, що x2 + у2 < 1.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

34.31. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої:

34.32. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку К(-1; 4) і паралельна осі абсцис.

34.33. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку М(2; -1) і має кутовий коефіцієнт:

1) 3;

2) -7;

3) 0;

4) 0,5.

34.34. Який кут утворює з додатним напрямом осі абсцис пряма:

34.35. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку L(2; —3) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 45°;

2) 120°.

34.36. Укажіть пари паралельних прямих серед прямих, які задано рівняннями:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити