Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 39 ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ

Для дослідження функції та побудови її графіка важливо знати точки екстремуму та екстремуми функції.

1. Екстремуми функції

Досліджуючи поведінку функції поблизу деякої точки, зручно користуватися поняттям околу точки. Околом точки х0 називають будь-який проміжок, що містить цю точку.

Наприклад, околом точки 2 може бути як проміжок (1,9; 2,1), так і проміжок (1,5; 2,5); околом точки -3 - проміжок (-3,8; -2,2).

Розглянемо графік функції у = f(х), зображений на малюнку 39.1. Бачимо, що існує такий окіл точки -2, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найбільшого значення саме в точці -2. Таку точку називають точкою максимуму функції, а значення функції у цій точці - максимумом функції.

Мал. 39.1

Точку х0 називають точкою максимуму функції у = f(х), якщо для всіх х з деякого околу точки х0 справджується нерівність f(x0) > f(x). Значення функції в точці максимуму називають максимумом функції.

Будемо позначати точки максимуму через хmах, а максимуми функції через fmах або ymах. Отже, у вищезгаданому прикладі: хmах = -2; ymах = у(-2) = 3.

Повертаючись до малюнка 39.1, помічаємо, що існує деякий окіл точки 1, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найменшого значення саме в точці 1. Таку точку називають точкою мінімуму, а значення функції в цій точці - мінімумом функції.

Точку х0 називають точкою мінімуму функції у = f(х), якщо для всіх х з деякого околу точки х0 справджується нерівність f(х0) < f(х). Значення функції в точці мінімуму називають мінімумом функції.

Через xmin позначають точки мінімуму, а через fmіn або уmіn - мінімуми функції. У нашому прикладі: хmіn = 1, а уmіn = у(1) = -2.

Точки максимуму і мінімуму разом називають точками екстремуму (від лат. extremum - крайній), а значення функції у цих точках — екстремумами функції.

Зауважимо, що оскільки в точці максимуму (мінімуму) функція набуває найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями цієї функції в точках деякого околу, то точки максимуму (мінімуму) називають ще локальними екстремумами.

2. Необхідна умова екстремуму

Сформулюємо важливу теорему, яку називають теоремою Ферма (на честь французького математика П’єра Ферма), у якій стверджується, що точками екстремуму можуть бути лише критичні точки функції.

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму). Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції f(х) і в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю: f'(x0) = 0.

Приймемо цей факт без доведення і зауважимо, що теорема Ферма є лише необхідною умовою екстремуму. Умова f'(х0) = 0 необов’язково означає, що х0 - точка екстремуму функції.

Приклад 1. Зокрема, для функції f(х) = х3(мал. 39.2) f'(х) = Зх2 і f'(0) = 0, але х0 = 0 - не є точкою екстремуму.

Мал. 39.2

Мал. 39.3

Приклад 2. Розглянемо функцію f(х) = |х| (мал. 39.3), для якої х0 = 0 — точка мінімуму. З’ясуємо, чи має функція f(х) = |х| похідну в точці х0. Для цього знайдемо :

Отже,

Отже, не існує, а тому функція f(х) = |х| похідної в точці х0 = 0 не має.

З теореми Ферма та прикладу 2 дійдемо висновку, що точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки.

Тому, шукаючи точки екстремуму функції, у першу чергу треба знайти її критичні точки. Але пам’ятати, що не кожна критична точка є точкою екстремуму (приклад 1).

3. Достатня умова екстремуму

З’ясувати, чи є критична точка точкою екстремуму, можна за допомогою теореми – достатньої умови існування екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму). Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 та:

1) f'(х) > 0 на проміжку (а; х0) і f'(x) < 0 на проміжку (х0; b), то х0 є точкою максимуму функції f(x);

2) f'(x) < 0 на проміжку (а; х0) і f'(x) > 0 на проміжку (х0; b), то х0 є точкою мінімуму функції f(x).

Доведення. 1) Функція f(x) неперервна в точці х0, f(x) > 0 на інтервалі (а; х0), тому функція f(x) зростає на (а; х0] і f(x) < f(x0) для всіх x ∈ (a; х0).

Ha проміжку [x0; b) функція f(x) спадає (доведення аналогічне), тому f(x) < f(х0) для всіх х ∈ (х0; b).

Отже, f(x) < f(х0) для всіх х ≠ х0 з проміжку (а; b), тому х0 - точка максимуму функції f(x).

2) Доведення аналогічне до пункту 1).

Коротко цю теорему можна переформулювати так.

Якщо в точці х0 похідна змінює знак з «+» на «—» (рухаючись у напрямі зростання х), то х0 — точка максимуму (мал. 39.4), а якщо з «-» на «+», то точка х0 — точка мінімуму (мал. 39.5).

Мал. 39.4

Мал. 39.5

Мал. 39.6

Мал. 39.7

Якщо зміни знаків не відбулося (мал. 39.6 і 39.7), то х0 не є точкою екстремуму.

Таким чином, можна дійти висновку, що задачі на знаходження проміжків зростання, спадання функції та отриманих екстремумів пов’язані між собою. Тому для знаходження екстремумів функції у = f(x) можна застосувати такий алгоритм.

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну функції.

3) Знайти критичні точки функції.

4) Позначити знайдені критичні точки на області визначення та з’ясувати знак похідної на кожному з отриманих проміжків.

5) Для кожної критичної точки за знаком похідної на проміжках зліва і справа від неї визначити, чи є вона точкою екстремуму і якою саме, максимуму чи мінімуму. Записати результат.

4. Задачі на пошук точок екстремуму та екстремумів функції

Розглянемо кілька задач.

Приклад 3. Знайти точки екстремуму функції

Розв’язання. Скористаємося вищезгаданим алгоритмом.

1) D(y) = R.

2) у' = х2 + х - 2 - (х - 1)(х + 2).

3) D(у') = R, у' = 0, маємо рівняння: (х - 1)(х + 2) = 0, звідки х1 = 1; х2 = -2 — критичні точки.

4) Позначимо критичні точки на числовій осі і визначимо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 39.8):

Відповідь.

Мал. 39.8

Приклад 4. Знайти точки екстремуму та екстремуми функції

Розв’язання.

звідки х1 = 1; х2 = 3 — критичні точки.

4) Позначимо критичні точки на області визначення функції та з’ясуємо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 39.9).

5) Отже, хmax = 1, хmin = 3 — точки екстремуму.

Мал. 39.9

Тоді

Відповідь.

Приклад 5. Знайти точки екстремуму функції

Розв’язання. 1) D(f) = (-∞; +∞).

Далі розглянемо функцію окремо для х < -1 і для х ≥ -1.

а) Якщо х < -1, то х + 1 = -(х + 1), тоді f(х) = 5х3 + х2 + х.

2) f'(х) = 15х2 + 2х + 1.

3) Рівняння f'(x) = 0 розв’язків не має. Для всіх х таких , що х < -1, маємо: f'(х) > 0.

б) Якщо х > -1, то х + 1 = х + 1, тоді f(х) = 5х3 - х2 - х.

2) f'(x) = 15х2 - 2х - 1.

3) Рівняння а'(х) = 0 має корені х1 = - ; х2 = .Обидва корені задовольняють умову х ≥ - 1. Отже, х1 = -; х2 = - критичні точки.

4) Знаки похідної зображено на малюнку 39.10.

5) Маємо:

Відповідь.

Мал. 39.10

Приклад 6. Знайти точки максимуму функції

Розв’язання. 1) D(y) = (-∞; +∞).

Похідна існує в усіх точках області визначення функції.

3) Розв’яжемо рівняння f'(х) = 0. Маємо:

звідки

або

- критичні точки.

4) Функція f'(х) є періодичною з періодом

Дослідимо знак похідної на деякому проміжку завдовжки , наприклад на

Цьому проміжку належать дві з критичних точок:

Знаки похідної на проміжку

зображено на малюнку 39.11. Враховуючи періодичність функції, матимемо, що

Відповідь.

Мал. 39.11

А ще раніше...

Латинською терміни «maximum» і «minimum» означають відповідно «найбільше» і «найменше» значення.

Задачею знаходження максимумів і мінімумів функції вчені почали займатися в середньовіччі. У 1615 році Кеплер висловив ідею про те, що поблизу максимуму величини зміна її є непомітною, передбачивши таким чином ідею прирівнювання похідної до нуля під час знаходження максимуму функції.

Уперше системний підхід до знаходження екстремумів виклав П. Ферма у своїй праці «Метод дослідження максимумів і мінімумів» (праця вийшла друком частково у 1642—1644 рр., а повністю - у 1779 р. після смерті автора). Листи ж Ферма кажуть про те, що цим методом він володів уже в 1629 р.

У подальшому цей метод вдосконалили Ньютон у праці «Метод флюксій» (1671 р.) і Лейбніц у своєму «Новому методі» (1684 р.).

• Що називають околом точки х0?

• Яку точку називають точкою максимуму функції, а яку - точкою мінімуму?

• Що називають максимумом функції, а що - мінімумом?

• Які точки називають точками екстремуму, а що - екстремумом функції?

• Сформулюйте теорему Ферма (необхідну умову екстремуму).

• Сформулюйте і доведіть достатню умову екстремуму.

• Яким формулюванням цієї теореми зручно користуватися?

• Сформулюйте алгоритм дослідження функції на екстремум.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 39.1. На малюнку 38.13 зображено графік функції у = g(х), визначеної на проміжку [-4; 4]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

39.2. На малюнку 38.12 зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку [-3; 5]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

39.3. (Усно). Функція у = f(x) неперервна в точці х0 = 2, причому f’(x) < 0 на проміжку (1; 2) і f'(x) > 0 на проміжку (2; 3). Чи є точка х0 = 2 точкою мінімуму або максимуму?

39.4. (Усно). Функція у = t(х) неперервна в точці х0 = -1, причому t'(x) > 0 на проміжку (-2; -1) і t'(x) < 0 на проміжку (-1; 0). Чи є точка х0 = - 1 точкою мінімуму або максимуму?

39.5. Знак похідної функції у = g(x), визначеної на R, змінюється за схемою, зображеною на малюнку 39.12. Визначте точки мінімуму і максимуму цієї функції.

Мал. 39.12

2. 39.6. Зобразіть схематично графіки функцій і впевніться в тому, що вони не мають точок екстремуму:

Знайдіть точки екстремуму функції у = f(х). Які з них є точками максимуму, а які - точками мінімуму (39.7—39.8)?

39.7.

39.8.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.9—39.10):

39.9.

39.10.

3. Знайдіть точки максимуму і точки мінімуму функції (39.11—39.12):

39.11.

39.12.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.13—39.14):

39.13.

39.14.

4. Знайдіть точки мінімуму функції (39.15—39.16):

39.15. у(х) =4x3 - x |x - 2|, що задана на проміжку [0;3].

39.16. у(х) = 3х|х -3| - х3, що задана на проміжку [0; 4].

Знайдіть точки екстремуму функції (39.17—39.18):

39.17.

39.18.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.19—39.20):

39.19.

39.20.

39.21. При яких значеннях а функція

не має точок екстремуму?

39.22. При яких значеннях b функція

не має точок екстремуму?

39.23. На малюнку 39.13 зображено графік похідної f'(x) функції f(х), визначеної на проміжку (-7; 8). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х) та вкажіть, скільки серед них точок максимуму і скільки точок мінімуму.

Мал. 39.13

Мал. 39.14

39.24. На малюнку 39.14 зображено графік похідної f'(x) функції f(х), визначеної на проміжку (-6; 7). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х) та вкажіть, скільки серед них точок мінімуму і скільки точок максимуму.

39.25. Знайдіть точки максимуму функції

39.26. Знайдіть точки мінімуму функції

39.27. Знайдіть усі точки мінімуму функції

39.28. Знайдіть усі точки максимуму функції

39.29. Відстань І (у км) від спостерігача, що перебуває на невеликій висоті h м над землею, до лінії горизонту, за якою він спостерігає, обчислюється за формулою

де R - 6400 км - радіус Землі. На якій найменшій висоті слід розташуватися спостерігачеві, щоб він бачив горизонт на відстані не менше ніж 4 кілометри?

39.30. Розв’яжіть рівняння х2 + 4х соs ху + 4 = 0.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

39.31. 1) Знайдіть координати вершини параболи f(х) = х2 - 2х + 3, визначте напрям гілок параболи та побудуйте схематично її графік.

2) Знайдіть точку екстремуму функції f(х) = х2 - 2х + 3, екстремум функції, проміжки зростання і спадання функції. Побудуйте графік цієї функції.

3) Порівняйте побудовані у пунктах 1) і 2) графіки функцій.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити