Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 44 ДРУГА ПОХІДНА. ОПУКЛІСТЬ ФУНКЦІЇ ТА ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ. ЗАСТОСУВАННЯ ДРУГОЇ ПОХІДНОЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВИ ЇХ ГРАФІКІВ

1. Друга похідна функції

Нехай функція у = f(х) має похідну f'(x) в усіх точках деякого проміжку. Тоді її можна розглядати як функцію аргументу х. Якщо функція f'(x) є диференційовною на деякому проміжку, то її похідну називають другою похідною функції f(х) (або похідною другого порядку) і позначають так: f''(х) або у".

Приклад 1. Знайти похідну другого порядку для функції f(х) = х3 - sin x.

Розв’язання. f'(х) = (х3 - sin x)' = 3х2 - cos x.

f"(x) = (f'(х))' = (3х2 - cos x)' = 6х + sin x.

Відповідь. f''(х) = 6х + sin x.

2. Поняття опуклості функції

Нехай функція у = f(х) визначена на проміжку (а; b) і в точці х0∈ (а; b) має похідну. Тоді в цій точці існує дотична до графіка функції.

Функцію f(x) називають опуклою вниз на проміжку (а; b), якщо для будь-якої точки х ∈ (а; b), де х ≠ х0, графік функції лежить вище дотичної до цього графіка, проведеної в точці (х0; f(х0)) (мал. 44.1).

Мал. 44.1

Мал. 44.2

Функцію f(х) називають опуклою вгору на проміжку (а; b), якщо для будь-якої точки х ∈ (а; b), де х ≠ х0, графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка, проведеної в точці (х0; f(х0)) (мал. 44.2).

Приклад 2. Функція у = , графік якої зображено на малюнку 44.3, на проміжку (0; +∞) є опуклою вниз, а на проміжку (-∞; 0) - опуклою вгору.

Точку А графіка неперервної функції f(x), у якій існує дотична до цього графіка і при переході через яку крива, що є графіком функції, змінює вид опуклості, називають точкою перегину функції.

Мал. 44.3

Мал. 44.4

Мал. 44.5

На малюнку 44.4 точка А - точка перегину графіка функції.

Приклад 3. Для функції у = х3, графік якої зображено на малюнку 44.5, (0; 0) - точка перегину.

3. Знаходження проміжків опуклості функції та точок її перегину

Розглянемо функцію f(х), яка є опуклою вниз на проміжку (а; b) (мал. 44.6). При зростанні аргументу х міра кута а, який утворює дотична до графіка функції з додатним напрямом осі абсцис, зростає: при х2 > х1 маємо, що а2 > a1. Оскільки

то зростає і tg a, але tg a = f'(x), тому зростає і функція f'(x). Оскільки f'(x) зростає на (а; b), то f"(x) > 0 на (а; b).

Мал. 44.6

Мал. 44.7

Міркуючи аналогічно (мал. 44.7, на якому для х2 > х1 маємо, що а2 < а1), дійдемо висновку, що коли функція f(x) на проміжку (а; b) є опуклою вгору, то f"(x) < 0 на (а; b).

Можна довести й обернені твердження:

якщо на проміжку (а; b) двічі диференційовна функція f(x) має додатну другу похідну, тобто f"(x) > 0 для всіх х ∈ (а; b), то графік цієї функції на (а; b) є опуклим униз;

якщо на проміжку (а; b) удвічі диференційовна функція f(x) має від’ємну другу похідну, тобто f"(х) < 0 для всіх х ∈ (а; b), то графік цієї функції на (а; b) є опуклим угору.

Отже, алгоритм дослідження функції у = f(х) на опуклість та точки перегину може бути таким:

1) Знайти область визначення функції у = f(x).

2) Знайти другу похідну f"(x).

3) Знайти внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує.

4) Позначити знайдені точки на області визначення функції у = f(x) та з’ясувати знак другої похідної f"(x) на кожному з отриманих проміжків.

5) За отриманими знаками дійти висновку про опуклість функції та абсциси точок перегину і записати відповідь.

Приклад 4. Дослідити функцію у = х4 + 2х3 - 12х2 + х на опуклість і точки перегину.

Розв’язання. 1) D(у) = R.

2) у' = 4х3 + 6х2 - 24х + 1; у" = 12х2 + 12х - 24 = 12(х2 + х - 2).

3) Друга похідна існує в усіх точках. Розв’яжемо рівняння у" = 0, тобто х2 + х - 2 = 0, звідки х1 = 1; х2 = -2.

4) Позначимо числа 1 і -2 на області визначення функції та з’ясуємо знак другої похідної у" на кожному з проміжків (мал. 44.8).

5) На проміжках (-∞; -2) та (1; +∞) графік функції опуклий униз, а на (-2; 1) - вгору, тому х = -2 і х = 1- абсциси точок перегину. Маємо: у(-2) = -50; y(1) = -8.

Отже, (-2; -50) та (1; -8) - точки перегину.

Відповідь. (-∞; -2) і (1; +∞) - проміжки опуклості вниз, (-2; 1) - проміжок опуклості вгору; (-2; -50) і (1; -8) - точки перегину.

Мал. 44.8

4. Застосування другої похідної до дослідження функцій і побудови їх графіків

Ми вже розглядали застосування першої похідної до дослідження функцій і побудови їх графіків (див. § 40). Тому, для більш точної побудови, алгоритм дослідження функції і побудови її графіка, який було сформульовано у § 40, можна доповнити пошуком асимптот графіка та дослідженням функції на опуклість і точки перегину.

Отже, дослідити функцію і побудувати її графік можна за таким алгоритмом:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат (якщо це можливо).

4) Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків її області визначення (якщо це можливо) та знайти всі асимптоти її графіка (якщо вони існують).

5) Знайти похідну та критичні точки функції.

6) Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції.

7) Дослідити функцію на опуклість і точки перегину.

8) За потреби знайти ще кілька точок графіка та, використовуючи отримані результати, побудувати графік функції.

Приклад 5. Дослідити функцію

та побудувати її графік.

Розв’язання.

Функція непарна.

3) Якщо х = 0, то у = 0, отже (0; 0) - точка перетину з віссю у. Якщо у = 0, тобто = 0, то х = 0, знову маємо точку (0; 0) - точка перетину з віссю х.

Отже, (0; 0) - єдина точка перетину графіка функції з осями координат.

4) Оскільки х = 1 та х = -1 - точки розриву функції і

то х = 1 і х = -1 — вертикальні асимптоти.

Якщо х → -1, х < -1, то у → -∞; якщо x → -1, х > -1, то у +∞;

Якщо х → 1, х < 1, то у → -∞; якщо х → 1, х > 1, то у → +∞. Знайдемо похилі асимптоти (у = kх + l):

Отже, у = х - похила асимптота.

З рівняння

маємо критичні точки функції:

6) Заповнюємо таблицю:

x

(-∞; -)

--

(-;-1)

-1

(-1; 0)

0

f'(х)

+

0

-

не існує

0

f(х)

-

не існує

0

Висновок

Функція зростає

mах

Функція спадає

Асимптота

Функція спадає

-

x

(0; 1)

1

(1; )

(; +∞)

f'(х)

-

не існує

-

0

+

f(x)

не існує

Висновок

Функція спадає

Асимптота

Функція спадає

mіn

Функція зростає

у" = 0, якщо х = 0.

Систематизуємо дані, отримані за другою похідною, у таблиці.

8) Графік функції у = зображено на малюнку 44.9.

Мал. 44.9

• Як знайти другу похідну функції?

• Яку функцію називають опуклою вниз?

• Яку функцію називають опуклою вгору?

• Яку точку називають точкою перегину?

• Сформулюйте алгоритм дослідження функції на опуклість і точки перегину.

• Сформулюйте алгоритм дослідження функції та побудови її графіка.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Знайдіть другу похідну функції (44.1—44.4):

44.1.

44.2.

2. 44.3.

44.4.

Знайдіть абсциси точок перегину функції (44.5—44.6):

44.5.

44.6.

3. Знайдіть другу похідну функції (44.7—44.8):

44.7.

44.8.

Дослідіть функцію на опуклість і точки перегину (44.9—44.10):

44.9.

44.10.

44.11. Дослідіть функцію f(х) = х4 - 6х2 за допомогою першої та другої похідних і побудуйте її графік.

44.12. Дослідіть функцію f(х) = 3х2 - х3 за допомогою першої та другої похідних і побудуйте її графік.

4. Дослідіть функцію на опуклість і точки перегину (44.13— 44.14):

44.13.

44.14.

44.15. Дослідіть функцію

за допомогою першої та другої похідних та побудуйте її графік.

44.16. Дослідіть функцію

за допомогою першої та другої похідних та побудуйте її графік.

44.17. Практичне завдання. Дослідіть функцію

за допомогою першої і другої похідних та побудуйте її графік на міліметровому папері.

44.18. У школі 600 учнів, з них 30 % - учні початкової школи. Серед учнів середньої та старшої школи 20 % вивчають німецьку мову. Скільки учнів у школі вивчають німецьку мову, якщо в початковій школі німецька мова не вивчається?

44.19. Розв’яжіть рівняння:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити