Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 6 НЕРІВНОСТІ

Нерівності, як і рівняння, відіграють значну роль у курсі алгебри. У цьому параграфі систематизуємо та поглибимо знання про нерівності.

1. Нерівність з однією змінною. Рівносильні нерівності

У попередніх класах нам уже доводилося розв’язувати нерівності з однією змінною. Це були лінійні та квадратні нерівності, наприклад, 2(х - 1) + 5х > 7, х2 ≥ 4 тощо.

Значення змінної, яке перетворює нерівність у правильну числову нерівність, називають розв’язком нерівності.

Наприклад, число 1 є розв’язком нерівності 2х + 7 > 8, бо 2 · 1 + 7 > 8, але 0 не є розв’язком цієї нерівності, бо 2 · 0 + 7 < 8.

Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Наприклад, нерівність 0 · х > 7 розв’язків не має, а розв’язком нерівності 2х > 8 є проміжок (4; +∞).

Нерівності називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються.

Як і рівняння, нерівності теж можна розв’язувати за допомогою рівносильних перетворень, тобто замінюючи нерівність рівносильною їй простішою нерівністю (іноді кількома простішими нерівностями) або системою нерівностей, яка матиме ту саму множину розв’язків, що й початкова нерівність. У такому разі кажуть, що нерівність рівносильна нерівності (сукупності нерівностей) або системі нерівностей.

Пригадаємо рівносильні перетворення нерівностей, з якими ми ознайомилися в курсі алгебри 9 класу:

1) розкриття дужок та зведення подібних доданків у будь-якій частині нерівності;

2) перенесення доданка з однієї частини нерівності в іншу зі зміною його знаку на протилежний;

3) множення або ділення обох частин нерівності на одне й те саме додатне число;

4) множення або ділення обох частин нерівності на одне й те саме від’ємне число зі зміною при цьому знаку нерівності на протилежний.

Пригадаємо, як розв’язати нерівність за допомогою рівносильних перетворень.

Приклад 1. Розв’язати нерівність: 3(х - 2) + 5 > 5х - 2.

Розв’язання. 3х - 6 + 5 > 5х -2 (розкрили дужки).

3х - 5х > -2 + 6 - 5 (перенесли доданки).

-2х > -1 (звели подібні доданки), х < 0,5 (поділили на від’ємне число).

Відповідь. х < 0,5.

Зауважимо, відповідь можна записати і так: (-∞; 0,5).

2. Метод інтервалів

Пригадаємо, як розв’язати квадратну нерівність.

Приклад 2. Розв’язати нерівність: х2 + х - 6 > 0.

Розв’язання. Знайдемо корені квадратного тричлена х2 + х - 6. Маємо: х1 = 2; х2 = -3. Оскільки нерівність строгого знаку, то ці числа не належатимуть множині розв’язків нерівності. Тому на числовій осі зображуємо їх «порожніми» точками. Через ці точки схематично поведемо графік функції у = х2 + х - 6, що є параболою, гілки якої напрямлені вгору (мал. 6.1).

Мал. 6.1

Отже, множиною розв’язків нерівності є об’єднання інтервалів (-∞; -3) і (2; +∞), на яких функція набуває додатних значень.

Відповідь. (-∞; -3) ∪ (2; +∞).

Як і для рівнянь: областю допустимих значень (ОДЗ) змінної для кожної з нерівностей f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x)) називають переріз областей допустимих значень змінної виразів f(x) і g(x).

Розв’язати нерівність х2 + х - 6 > 0 можна й іншим способом, ґрунтуючись, наприклад, на властивостях неперервних функцій. Оскільки графіком функції f(x) = х2 + х - 6 є неперервна лінія, а нулями функції - числа -3 і 2, то ці числа розбивають числову вісь на три проміжки (інтервали): (-∞; -3), (-3; 2) і (2; +∞), на кожному з яких функція є знакосталою. Тому, щоб знайти знак функції на кожному із цих інтервалів знакосталості, достатньо визначити знак числа, що є значенням функції в одній (будь-якій) точці інтервалу (таку точку називатимемо «контрольною»). Той самий знак матиме і функція в кожній точці цього інтервалу, тобто на цьому інтервалі. Визначивши у цей спосіб знак функції на кожному з інтервалів знакосталості, легко записати розв’язки нерівності. Наприклад, -5 ∈ (-∞; -3), f(-5) > 0, тому х2 + х - 6 > 0, якщо х є (-∞; -3). Аналогічно, 0 ∈(-3; 2), f(0) < 0, тому х2 + х - 6 < 0, якщо х ∈ (-3; 2). Візьмемо останню «контрольну» точку: 3 ∈ (2; +∞), f(3) > 0, тому х2 + х - 6 > 0, якщо х ∈ (2; +∞). Як бачимо, знаки функції на інтервалах збігаються зі знаками цієї ж функції, отриманими у прикладі 2 (мал. 6.1).

Спосіб розв’язування нерівностей, який ми щойно використали, називають методом інтервалів. Він є універсальним, тому його можна застосовувати для будь-яких нерівностей. Зауважимо, що перевіряти знак функції на інтервалах за допомогою «контрольних» точок зручніше, коли вираз f(х) розкладено на лінійні множники.

Розглянемо кілька вправ на застосування методу інтервалів для розв’язування нерівностей, областю допустимих значень яких є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 3. Розв’язати нерівність: (х + 4)(х - 2) ≤ 0.

Розв’язання. Нулями функції а(х) = (х + 4)(х - 2) є числа -4 і 2. Позначимо їх точками на числовій осі. Ці числа належать множині розв’язків нерівності, оскільки нерівність є нестрогою. Отже, маємо три проміжки знакосталості функції: (-∞; -4], [-4; 2] та [2; +∞)

(мал. 6.2).

У кожному з інтервалів візьмемо по одній «контрольній» точці, за якими визначимо знак кожного з множників у лівій частині нерівності, отже, й усього виразу (мал. 6.3).

Мал. 6.2

Мал. 6.3

Маємо:

Отже, (х + 4)(х - 2) ≤ 0, коли х ∈ [-4; 2]

Відповідь. [-4; 2].

Приклад 4. Розв’язати нерівність: х3 - х2 - 4х + 4 < 0.

Розв’язання. Розкладемо на множники ліву частину нерівності способом групування: х3 - х2 - 4х + 4 = х2(х - 1) - 4(х - 1) = (х - 1)(х2 - 4) = (х - 1)(х - 2)(х + 2). Отримали нерівність, рівносильну даній: (х - 1)(х - 2)(х + 2) < 0.

Позначимо числа 1, 2 і -2, які є нулями функції f(х) = (х - 1)(х - 2)(х + 2), на числовій осі «порожніми» точками, бо знак нерівності є строгим (мал. 6.4). Визначимо знак функції f(х) на кожному з отриманих проміжків (зробіть це самостійно).

Маємо розв’язки нерівності: (-∞; -2) ∪ (1; 2).

Відповідь. (-∞; -2) ∪ (1; 2).

Мал. 6.4

Приклади, які ми розглянули вище, дають змогу дійти висновку, що функція може змінити свій знак при переході через свій нуль. Є й інша умова зміни знаку.

Розглянемо добре відомий нам графік функції у = , для якої D(y) : х ≠ 0 (мал. 6.5). Очевидно, якщо х > 0, то у > 0, а якщо х < 0, то у < 0.

Отже, функція може змінювати знак ще в одному випадку - при переході через точки, які не належать області визначення функції.

Таким чином, враховуючи, що знакосталість функції залежить не тільки від нулів функції, а й від її точок розриву (тобто функція може змінювати знак при переході як через свої нулі, так і через свої точки розриву), метод інтервалів можна застосовувати для розв’язування будь-яких нерівностей.

Сформулюємо алгоритм застосування методу інтервалів для розв’язування нерівностей.

При цьому зауважимо, що будь-яку нерівність можна перетворити так, щоб її права частина дорівнювала нулю.

Мал. 6.5

Щоб розв’язати нерівність вигляду f(х) > 0 (або f(х) ≥ 0, f(х) < 0, f(х) ≤ 0), треба:

1) Знайти область визначення функції f(x) та позначити її на числовій осі.

2) Знайти нулі функції f(х) (розв’язати рівняння f(x) = 0) та позначити їх на області визначення функції (для строгої нерівності — «порожніми» точками).

3) Визначити знак функції f(x) на кожному з отриманих проміжків (інтервалів знакосталості), наприклад, за допомогою «контрольних» точок.

4) Записати відповідь.

Розглянемо приклад на застосування методу інтервалів для раціональних нерівностей.

Приклад 5. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Застосуємо алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів. Для зручності розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники і розглянемо функцію

1) D(f): х ≠ 2. Позначимо цю точку «порожньою» на числовій осі.

2) Нулями функції є числа 1 і -3. Доповнимо цими точками числову вісь.

3) Визначимо знак функції на кожному з отриманих проміжків за допомогою «контрольних» точок. Маємо: -5 (-∞; -3), f(-5) > 0, отже, на інтервалі (-∞; -3) функція набуває додатних значень, тому на малюнку над цим інтервалом пишемо знак « + »; 0 (-3; 1), f(0) < 0, тому на інтервалі (-3; 1) маємо «-»; 1,5 (1; 2), f(1,5) > 0, тому на інтервалі (1; 2) маємо « + »; 3 (2; +∞), f(3) > 0, тому на інтервалі (2; +∞) теж маємо « + » (мал. 6.6).

Оскільки нерівність є нестрогою, то її розв’язками будуть усі проміжки, на яких маємо знак « + », включаючи кінці, крім «порожніх» точок, тобто проміжки (-∞; -3], [1; 2) та (2; +∞).

Мал. 6.6

Відповідь. (-∞; -3] ∪ [1; 2) ∪ (2; +∞).

Приклад 6. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Розглянемо функцію

1) D(f): х ≠ 3. Позначимо на числовій осі число 3 «порожньою» точкою.

2) Нулями функції є лише числа 0 i 1, оскільки вираз х2 + 1 нулів не має, отже, є знакосталим для будь-якого значення змінної (легко перевірити, що додатним). Оскільки х2 + 1 > 0, то для кожного значення х його можна вважати додатним числом, а отже, поділити на нього обидві частини нерівності або не враховувати під час розв’язання, оскільки додатне число на знак нерівності не впливає. Позначимо нулі функції 0 i 1 точками на тій самій числовій осі, де й область визначення функції.

3) Визначимо знак функції на кожному з отриманих проміжків (зробіть це самостійно) (мал. 6.7).

Оскільки нерівність є нестрогою, то її розв’язком буде не тільки проміжок [1; 3), а й число 0.

Відповідь. {0} ∪ [1; 3).

Мал. 6.7

3. Найпростіші нерівності з параметром

Під час розв’язування нерівностей з параметрами використовують ті самі прийоми розв’язання, що й для рівнянь з параметром. Розглянемо кілька прикладів нерівностей з параметрами.

Приклад 7. Розв’язати нерівність: ах > 1, де а - параметр.

Розв’язання. Нерівність є лінійною. Якби вона не містила параметра, то для знаходження її розв’язків ми б ділили обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній х. Оскільки цей коефіцієнт може бути додатним, від’ємним або нулем і для кожного із цих випадків розв’язки будуть різними, розглянемо кожен з них окремо.

1) Нехай а < 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на а, та, оскільки а < 0, знак нерівності змінимо на протилежний. Матимемо: х < .

2) Нехай а = 0. Отримаємо нерівність 0 · х > 1, яка не має розв’язків.

3) Нехай а > 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на число а, отримаємо: х > .

Відповідь. Якщо а < 0, то х < ; якщо а = 0, розв’язків немає; якщо а > 0, то х > .

Приклад 8. Розв’язати нерівність: х2 + х(2а - 4) - 8а ≤ 0.

Розв’язання. Нерівність є квадратною, для її розв’язання знайдемо корені квадратного тричлена х2 + х(2а - 4) - 8а. Маємо:

Оскільки D ≥ 0 для а ∈ R, то

Маємо: х1 = 4; х2 = -2а.

Щоб записати розв’язки нерівності, треба з’ясувати взаємне розташування цих коренів на числовій осі. Можливі три випадки такого розташування: -2а > 4, -2а = 4 та -2а < 4.

Розглянемо кожний з них окремо.

1) Нехай -2а > 4, тобто а < -2. Тоді множиною розв’язків нерівності буде проміжок [4; -2а] (мал. 6.8).

2) Нехай -2а = 4, тобто а = -2. Тоді х = 4 — єдиний розв’язок нерівності (мал. 6.9).

3) Нехай -2а < 4, тобто а > -2. Тоді множиною розв’язків нерівності буде проміжок [-2а; 4] (мал. 6.10).

Мал. 6.8

Мал. 6.9

Мал. 6.10

Відповідь. Якщо а < -2, то х ∈ [4; -2а]; якщо а = -2, то х = 4; якщо а > -2, то х ∈ [-2а; 4].

• Що називають розв’язком нерівності?

• Що означає розв’язати нерівність?

• Які перетворення є рівносильними для нерівностей? Поясніть суть методу інтервалів.

• Запам’ятайте алгоритм розв’язування нерівності методом інтервалів.

• Які прийоми використовують під час розв’язування нерівностей з параметрами?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1 Чи рівносильні нерівності (6.1—6.2):

6.1.

6.2.

Розв’яжіть нерівність (6.3—6.6):

6.3.

6.4.

2. 6.5.

6.6.

Розв’яжіть подвійну нерівність (6.7—6.8):

6.7.

6.8.

Розв’яжіть квадратичну нерівність, використовуючи ескіз графіка відповідної функції (6.9—6.10):

6.9.

6.10.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (6.11—6.16):

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

З. 6.17. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

6.18. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (6.19—6.22):

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

Розв’яжіть нерівність з параметром а (6.23—6.24):

6.23.

6.24.

Розв’яжіть нерівність (6.25—6.26):

6.25.

6.26.

6.27. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

6.28. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

Скільки цілих розв’язків має нерівність (6.29—6.30):

6.29.

6.30.

4. Розв’яжіть нерівність (6.31—6.32):

6.31.

6.32.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (6.33—6.34):

6.33.

6.34.

6.35. (Національна олімпіада Болгарії). Розв’яжіть нерівність

Розв’яжіть нерівність з параметром а (6.36—6.37):

6.36.

6.37.

6.38. При яких значеннях параметра Ь нерівність:

1) х2 + 6bх + 1 < 0 не має розв’язків;

2) х2 + (b + 1)х + 9 > 0 справджується для всіх дійсних значень х?

6.39. Одна пігулка важить 20 мг і містить 5 % активної речовини. Дитині у віці до шести місяців лікар прописує 1,4 мг активної речовини на кожен кілограм маси на добу. Скільки пігулок треба дати дитині у віці чотирьох місяців і масою 5 кг протягом доби?

6.40. (Задача ібн-Сіни (Авіценни)). Перевірте, що коли число, поділене на 9, дає в остачі 1 або 8, то квадрат цього числа, поділений на 9, дає в остачі 1.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити