Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 7 ДІЛЕННЯ МНОГОЧЛЕНІВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ ТА НАСЛІДКИ З НЕЇ

Раніше ви вже виконували деякі арифметичні дії з многочленами, зокрема, додавали, віднімали та множили многочлени. У цьому параграфі дізнаємося, як поділити многочлен на многочлен, розглянемо важливу теорему про ділення многочлена на двочлен та її застосування.

1. Многочлен від однієї змінної

Многочленом (поліномом) n-го степеня з однією змінною називають вираз вигляду

де х - змінна, аn, аn-1, ..., а0 - числа, аn ≠ 0.

Запис многочлена в такому вигляді називають стандартним виглядом многочлена, доданок аnхn — старшим членом, аn - старшим коефіцієнтом, а0 - вільним членом многочлена Р(х).

Якщо Р(х) = а0, де а0≠ 0, то многочлен Р(х) називають многочленом нульового степеня. Многочлен Р(х) = 0 називають нульовим многочленом.

Значенням многочлена Р(х) при х = х0 називають число Р(х0), яке отримують, якщо у вищезазначений запис многочлена замість х підставити х0 і знайти значення отриманого виразу.

Наприклад, якщо Р(х) - х3 - х2 + 3х - 1, то Р(2) = 23 - 22 + 3 · 2 - 1 = 9- значення многочлена Р(х) при х = 2.

Очевидно, що Р(0) = а0, Р(1) = аn + аn-1 + ... + а1 + а0. Тобто значення будь-якого многочлена Р(х) для х = 0 дорівнює вільному члену цього многочлена, а для х = 1 — сумі всіх його коефіцієнтів.

Приклад 1. Знайти вільний член і суму всіх коефіцієнтів , многочлена Р(х), який тотожно дорівнює виразу

(3х2 - 2х - 3)2(4х3 - 2х + 1)5.

Розв’язання. Для виконання вимоги задачі не обов’язково зводити даний вираз до многочлена стандартного вигляду, адже а0 = Р(0). Знайдемо значення виразу Р(х) при: х = 0: а0 = (3 · 02 - 2 · 0 - 3)2(4 · 03 - 2 · 0 + 1)5 = (-3)2 · 15 = 9. Так само знайдемо суму всіх коефіцієнтів многочлена, яка дорівнює значенню виразу Р(х) при х = 1.

Маємо: аn + аn-1 + ... + а10 = P(1) = (3 · 12 - 2 · 1 - 3)2(4 · 13 - 2 · 1 + 1)5 = (-2)2 · З5 = 972. Відповідь. а0 = 9; аn + аn-1 + ... + а0 = 972.

Число а називають коренем многочлена Р(х), якщо Р(а) = 0.

Наприклад, коренями многочлена 2х2 + 3х - 5 є числа 1 і -2,5 (перевірте це самостійно).

Многочлени називають тотожно рівними, якщо вони однакового степеня і їх відповідні коефіцієнти при однакових степенях змінних також між собою рівні.

2. Ділення многочленів

Як ми вже знаємо, результатом додавання, віднімання або множення многочленів є многочлен. Розглянемо, як знайти частку двох многочленів.

Означимо дію ділення многочленів аналогічно до дії ділення натуральних чисел націло, тобто без остачі. Раніше вже було домовлено, що у випадку натуральних чисел замість терміну «ділиться без остачі» використовуватимемо «ділиться». Так само домовимося і в теорії ділення многочленів.

Нагадаємо, про натуральне число а кажуть, що воно ділиться на натуральне число b, якщо існує таке число q, що а = bq. Аналогічно означимо і дію ділення многочленів.

Кажуть, що многочлен Р(х) ділиться на многочлен В(х) (де В(х) — ненульовий многочлен), якщо існує такий многочлен Q(x), що для будь-якого дійсного значення х справджується рівність: Р(х) = В(х) · Q(x).

Многочлен А(х) при цьому називають діленим, многочлен В(х) - дільником, а многочлен Q(х) - часткою.

Наприклад, якщо х3 - 8 = (х - 2)(х2 + 2х + 4), це означає, що многочлен х3 - 8 ділиться на двочлен х - 2, при цьому в частці отримуємо многочлен х2 + 2х + 4, і навпаки, х3 - 8 ділиться на х2 + 2х + 4, при цьому в частці отримуємо х - 2.

Знаходити частку від ділення многочлена на многочлен зручно у спосіб, подібний до ділення чисел «у стовпчик», його ще називають діленням «куточком».

Приклад 2. Поділити многочлен х3 - 2х2 + 3х + 22 на двочлен х + 2.

Розв’язання. Виконаємо ділення «куточком». Спочатку знайдемо результат ділення х3 (старшого члена діленого) на х (старший член дільника). Для цього з’ясуємо, якийодночлен при множенні на одночлен х дає х3. Це буде х2. Очевидно, що х2· (х + 2) = х3 + 2х2. Цей результат множення записуємо під дільником і виконуємо почленне віднімання: (х3 - 2х2) - (х3 + 2х2), у результаті отримаємо - 4х2. До отриманої різниці додаємо 3х (наступний член діленого) і у той самий спосіб продовжуємо процес ділення.

У результаті отримаємо частку: х2 - 4х + 11.

Отже, х3 - 2х2 + 3х + 22 = (х + 2)(х2 - 4х + 11).

Щоб перевірити, чи правильно виконано ділення, достатньо помножити дільник на отриману частку і порівняти отриманий добуток з діленим.

Якщо многочлен Р(х) ділиться на ненульовий многочлен В(х) і справджується рівність Р(х) = В(х) · Q(x), то, очевидно, що степінь многочлена Р(х) дорівнює сумі степенів многочленів В(х) і Q(x).

Як і для натуральних чисел, не завжди один многочлен ділиться на інший. Так, наприклад, многочлен х2 + 4 не ділиться на многочлен х -1. Справді, припустимо, що існує многочлен Q(x) такий, що для будь-якого значення х справджується рівність: х2 + 4 = (х - 1)Q(x). При цьому для х = 1 отримаємо рівність: 5 = 0 · Q(x), яка не є правильною. Отже, многочлен х2 + 4 не ділиться на многочлен х - 1.

Тому є потреба означити дію ділення многочленів з остачею.

Кажуть, що многочлен Р(х) ділиться на ненульовий многочлен В(х) з остачею, якщо існують такі многочлени Q(x) і R(х), що для будь-якого дійсного значення х справджується рівність Р(х) = В(х) · Q(x) + R(x), при цьому степінь многочлена R(x) менший за степінь многочлена В(х).

Зазначимо, що в рівності Р(х) = B(х) · Q(x) + R(x) многочлен Q(x) називають неповною часткою, а R(x) - остачею.

Знайти неповну частку та остачу від ділення одного многочлена на інший також можна «куточком». Виконаємо, наприклад, ділення многочлена Зх4 - х3 + 4х - 2 на многочлен х2- x + 1.

Отримали неповну частку Зх2 + 2х - 1 і остачу х - 1.

Отже, можемо записати, що

Зх4 - х3 + 4х - 2 - (х2 - х + 1)(3х2 + 2х - 1) + (х - 1).

Дріб, чисельником і знаменником якого е многочлен з однією і тією самою змінною, називають правильним, якщо степінь його чисельника менший за степінь знаменника, і відповідно - неправильним, якщо степінь його чисельника не менший за степінь знаменника. Ділення многочленів (без остачі чи з остачею), дозволяє у неправильних раціональних дробах виділяти цілу частину.

Приклад 3. Виділити цілу частину дробу

Розв’язання. Вище ми вже розклали на множники многочлен, що е чисельником дробу. Ураховуючи це, маємо:

Відповідь.

3. Теорема Безу та її наслідки

Цікаву властивість ділення многочлена Р(х) на двочлен х - с помітив французький математик Етьєн Безу.

Розглянемо цю властивість.

Теорема Безу. Остача від ділення многочлена Р(х) на двочлен х - с дорівнює Р(с).

Доведення. Оскільки степінь дільника (двочлена х - с) дорівнює 1, то степінь остачі має бути нульовою (тобто остачею є або деяке відмінне від нуля число, або остача дорівнює нулю, тобто Р(х) на х - с ділиться без остачі).

Е. Безу (1730-1783)

Припустимо остачею є деяке число r. Тоді

Якщо x = с, то

тобто r = Р(с).

Розглянемо наслідки з теореми Безу.

Наслідок 1. Якщо число с є коренем многочлена Р(х), то цей многочлен ділиться на. х - с без остачі.

Доведення. Нехай с є коренем многочлена Р(х), тоді Р(с) = 0, але r = Р(с) = 0, отже, r = 0.

Наслідок 2. Якщо многочлен Р(х) ділиться на х - с . без остачі, то число с є коренем многочлена Р(х).

Доведення. Якщо Р(х) ділиться на х - с без остачі, то у рівності Р(х) = (х - с)Q(х) + r маємо, що r = 0. Але r = Р(с), тому Р(с) = 0. Отже, с - корінь многочлена Р(х).

Наслідок 3. Якщо с1, с2, с3,..., сn — попарно різні корені многочлена Р(х), то

Доведення. Оскільки с1 — корінь многочлена Р(х), то Р(х) = (х - c1)Q1(x) (за наслідком 1). Але с2 - також корінь многочлена Р(х), тому Р(с2) = 0. У рівність Р(х) = (х - c1)Q1(x) підставимо х = с2, матимемо Р(с2) = (с2 - c1)Q1(c2); тобто 0 = (с2 - c1)Q1(c2). Оскільки с2 ≠ c1 то Q1(c2) = 0, а тому с2 - корінь многочлена Q1(x). Тоді Q1(x) = (х - c2)Q2(x), а Р(х) = (х - с1)(х - c2)Q2(x).

Міркуючи так само далі, матимемо:

Наслідок 4. Многочлен n-го степеня має не більше ніж n різних коренів.

Доведення. Нехай многочлен n-го степеня Р(х) має (n + 1) різних коренів с1, с2,...,сn, сn+1. Тоді (за наслідком 3):

Р(х) = (х - с1)(х - с2)...(х - сn)(х - cn+1)Q(x). У лівій частині рівності маємо многочлен n-го степеня, а у правій — не менш ніж (n + 1)-го, що неможливо. Тому многочлен n-го степеня має не більше ніж n різних коренів.

Розглянемо вправи на застосування теореми Безу та її наслідків.

Приклад 4. Знайти остачу від ділення многочлена х3 - х2 + 7х - 2 на двочлен х + 3.

Розв’язання. Нехай Р(х) = х3 - х2 + 7х - 2, r — остача від ділення Р(х) на х + 3. Ураховуючи, що х + 3 = х - (-3) та теорему Безу, матимемо, що r = Р(-3).

Тоді r = Р(-3) = (-3)3 - (-3)2 + 7 · (-3) - 2 = -59.

Відповідь. -59.

Приклад 5. Довести, що вираз Р(х) = х15 + (х - 1)16 - 1 ділиться на вираз х2 - х.

Розв’язання. Оскільки Р(0) = 015 + (-1)16 - 1 = 0 і Р(1) = = 115 + 016 -1 = 0, то Р(х) ділиться і на х, і на х - 1.

Нехай вираз Р(х) тотожно рівний многочлену Р1(х). Тоді за наслідком 3 маємо: Р1(х) = х(х - 1)Q(x) = (х2 - x)Q(x). Це означає, що Р1(х), а отже і Р(х), ділиться на вираз х2 - х.

Приклад 6. Многочлен Р(х) при діленні на х + 1 дає в остачі 6, а при діленні на х -1 дає в остачі 2. Яку остачу отримаємо від ділення многочлена Р(х) на х2 -1?

Розв’язання. 1) Оскільки степінь многочлена х2 -1 дорівнює 2, то степінь шуканої остачі - не більший за 1 або взагалі в остачі 0 (нульовий многочлен).

Для розв’язування задачі застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Припустимо, що остача є многочленом першого степеня, отже, має вигляд ах + b (а і b і є невизначеними, тобто поки невідомими, коефіцієнтами).

2) Нехай Р(х) = (х2 - 1)Q(x) + (ах + b). Оскільки при діленні многочлена Р(х) на х + 1 в остачі маємо 6, то Р(-1) = 6, а тому 6 = 0 · Q(-1) + (а · (-1) + b) - 0 + (-а + b), отже, b - а = 6.

Аналогічно, Р(1) = 2, тоді 2 = 0 · Q(1) + (а + b), отже, а + b = 2.

3) Маємо систему рівнянь:

звідки

4) Отже, остачею від ділення Р(х) на х2 - 1 є двочлен -2х + 4.

Відповідь. -2х + 4.

4. Теорема Безу і зведене алгебраїчне рівняння

Рівняння вигляду

де аn ≠ 0, аn, аn-1, ..., а1, а0 - деякі числа, називають алгебраїчним рівнянням n-го степеня.

Числа аn, аn-1,..., а1, а0 називають коефіцієнтами алгебраїчного рівняння n-го степеня, аn - старшим коефіцієнтом, а0 - вільним членом.

У такому вигляді можна записати і відомі нам лінійне рівняння: а1х + а0 = 0 та квадратне: а2х2 + а1х + а0 = 0. Алгебраїчні рівняння, степінь яких більший за 2, прийнято називати алгебраїчними рівняннями вищих степенів. Раніше ви вже розглядали ті алгебраїчні рівняння вищих степенів, які можна було розв’язати розкладанням на множники, степінь яких не перевищував 2, або введенням нової змінної, чим також зводили рівняння до квадратного.

Розглянемо ще один спосіб розв’язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів із цілими коефіцієнтами.

Нехай аnхn + аn-1xn-1 + ... + а1х + а0 = 0 - алгебраїчне рівняння із цілими коефіцієнтами, а х = с — його цілий корінь. Тоді, за наслідком 3, маємо:

де Q(х) - деякий многочлен (n - 1)-го степеня, наприклад Q(х) = bn-1хn-1 + bn- 2хn-2 + ... + b1х + b0. Із процесу ділення многочленів «куточком» зрозуміло, що якщо многочлен із цілими коефіцієнтами ділиться на двочлен х - с, то часткою теж буде многочлен із цілими коефіцієнтами, тому, наприклад, b0— ціле число. Оскільки многочлени в рівності (*) між собою рівні, то рівні і їх вільні члени, тобто: а0 = -сb0. А оскільки а0, b0 і с - цілі числа, то число с є дільником числа а0. Дійдемо важливого висновку:

якщо алгебраїчне рівняння із цілими коефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного члена.

Це дає можливість шукати цілі корені алгебраїчного рівняння серед дільників вільного члена (якщо корені існують). Але це ще не означає, що дільники вільного члена обов’язково будуть коренями рівняння. Наприклад, для рівняння Зх2 + 2х - 5 = 0 дільниками вільного члена є числа ±1; ±5, проте коренем рівняння є лише число 1. Для рівняння 6х2 - 3х - 1 = 0 дільниками вільного члена є числа 1 і -1, проте жодне з них не є коренем рівняння.

Отриманий висновок можна застосувати до будь-яких алгебраїчних рівнянь вищих степенів. Найбільш зручно його використовувати для зведеного рівняння.

Нагадаємо, що алгебраїчне рівняння загального вигляду називають зведеним, якщо аn = 1.

Приклад 7. Розв’язати рівняння: х4 - х3 - х2 + 7х - 6 = 0.

Розв’язання. 1) Цілі корені рівняння будемо шукати серед дільників числа -6, тобто серед чисел ±1; +2; ±3; ±6. Достатньо знайти хоча б один корінь. Наприклад, у нашому випадку х = 1 — корінь рівняння. Зверніть увагу, що коли коренем алгебраїчного рівняння є число 1, то сума всіх його коефіцієнтів дорівнює нулю.

2) Виконаємо ділення многочлена х4 - х3 - х2 + 7х - 6 на двочлен х - 1 «куточком», отримаємо, що:

х4 - х3 - х2 + 7х - 6 = (х - 1)(х3 - х + 6).

3) Маємо рівняння, рівносильне початковому:

(х - 1)(х3 - х + 6) = 0.

4) Тепер шукаємо корені многочлена х3 - х + 6 серед дільників числа 6, а саме, серед чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Отримаємо, що х = -2 - корінь многочлена (упевніться в цьому самостійно). Поділимо х3 - х + 6 на х + 2 «куточком», отримаємо, що: х3 - х + 6 = (х + 2)(х2 - 2х + 3).

5) Маємо рівняння, рівносильне початковому:

(х - 1)(х + 2)(х2 - 2х + 3) = 0.

Квадратний тричлен х2 - 2х + 3 коренів не має.

Отже, х1 = 1; х2 = -2 - корені початкового рівняння.

Відповідь. 1; -2.

Для розв’язування незведених алгебраїчних рівнянь вищих степенів можна застосувати висновок з попереднього пункту. Досить часто незведене рівняння цілих коренів не має, проте має раціональні корені. Можна довести, що

5. Розв’язування незведених алгебраїчних рівнянь вищих степенів

якщо алгебраїчне рівняння із цілими коефіцієнтами має корінь вигляду , то р є дільником вільного члена, а q — дільником старшого коефіцієнта.

Проте цей спосіб призводить до доволі громіздких обчислень, оскільки корінь доведеться шукати серед великої кількості чисел. Так, наприклад, для рівняння 5х3 + 6х2 + 11x + 2 = 0 чисельниками дробу можуть бути числа ±1; ±2, а знаменниками - числа ±1; ±5.

Розглянемо більш зручний спосіб розв’язування такого рівняння, який полягає у введенні нової змінної так, щоб рівняння стало зведеним.

Приклад 8. Розглянемо цей спосіб на прикладі.

Розв’язати рівняння: 5х3 + 6х2 + 11х + 2 = 0.

Розв’язання. Помножимо ліву і праву частини рівняння на 52. Маємо: 53х3 + 6 · 52х2 + 11 · 52х + 2 · 52 = 0, тобто (5х)3 + 6 · (5х)2 + 55 · 5х + 50 = 0. Нехай 5х = t, тоді маємо зведене рівняння 3-го степеня: t3 + 6t2 + 55t + 50 = 0. Далі шукаємо корені цього рівняння серед дільників вільного члена (зробіть це самостійно), t = -1 - єдиний корінь цього рівняння. Повертаючись до заміни, матимемо: t = -1, тому 5х = -1, отже, х = -0,2.

Відповідь. -0,2.

• Який вираз називають многочленом n-го степеня з однією змінною; його степенем; старшим членом; старшим коефіцієнтом; вільним членом?

• Що називають коренем многочлена?

• У якому випадку кажуть, що многочлен Р(х) ділиться на В(х); ділиться на многочлен В(х) з остачею?

• Сформулюйте і доведіть теорему Безу.

• Сформулюйте і доведіть наслідки з теореми Безу.

• Що називають алгебраїчним рівнянням n-го степеня; його старшим коефіцієнтом; вільним членом?

• Яке алгебраїчне рівняння називають зведеним?

• Серед яких чисел можна шукати цілі корені зведеного алгебраїчного рівняння?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

7.1. Чи є коренем многочлена х3 - 4х2 + х + 6 число:

1) -3;

2) -2;

3) -1;

4) 1;

5) 2;

6) З?

7.2. Чи є коренем многочлена х3 + х2 - 2х число:

1) -2;

2) -1;

3) 0;

4) 1;

5) 2;

6) З?

2. Знайдіть остачу від ділення многочлена Р(х) на двочлен В(х) якщо (7.3-7.4):

7.3.

7.4.

Виконайте ділення многочлена Р(х) на многочлен В(х) (7.5—7.6):

7.5.

7.6.

Виконайте ділення з остачею многочлена Р(х) на многочлен В(х) і знайдіть неповну частку та остачу (7.7—7.8):

7.7.

7.8.

Чи ділиться многочлен Р(х) на двочлен В(х), якщо (7.9 — 7.10):

7.9.

7.10.

З. 7.11. Знайдіть вільний член і суму всіх коефіцієнтів многочлена Р(х), який тотожно дорівнює виразу

7.12. Знайдіть вільний член і суму всіх коефіцієнтів многочлена Р(х), який тотожно дорівнює виразу

7.13. При якому значенні параметра m остача від ділення многочлена 2х5 - Зх3 + 11х2 - х + m на х + 2 дорівнює З?

7.14. При якому значенні параметра с остача від ділення многочлена х3 - Зх2 +5х + с на х + 1 дорівнює 4?

7.15. Знайдіть, при якому значенні параметра а многочлен х4 - ах3 + х2 - 5х + 3 ділиться на многочлен х - 1?

7.16. Знайдіть, при якому значенні параметра k многочлен х4 - 4х3 + kх2 - 13х + 6 ділиться на многочлен х - 2?

Виділіть цілу частину з дробу (7.17—7.18):

7.17.

7.18.

7.19. Доведіть, що вираз (х - 1)2n - 1 ділиться на многочлен х2 - 2х для будь-якого натурального значення n.

7.20. Доведіть, що вираз (х + 1)2019 + х2020 - 1 ділиться на многочлен х2 + х.

7.21. При яких значеннях параметрів а і b остача від ділення многочлена х3 - 2х2 + ах + b на х + 1 дорівнює числу -15, а від ділення на х - 2 - числу З?

7.22. При яких значеннях параметрів а і b остача від ділення многочлена х3 + ах2 + 3х + b на х + 2 дорівнює числу -5, а від ділення на х - 1 - числу 7?

Розкладіть на множники многочлен (7.23 — 7.24):

7.23.

7.24.

Розв’яжіть рівняння (7.25 — 7.26):

7.25.

7.26.

Розв’яжіть нерівність (7.27—7.28):

7.27.

7.28.

4. 7.29. При яких значеннях параметрів а і b многочлен ах3 + bх2 - 37х + 14 ділиться на многочлен х2 + х - 2?

7.30. При яких значеннях параметрів а і b многочлен х3 + ах2 + bх + 2 ділиться на многочлен х2 - 1?

Розкладіть на множники многочлен (7.31—7.32):

7.31

7.32.

Розв’яжіть рівняння (7.33—7.34):

7.33.

7.34.

7.35. Многочлен Р(х) при діленні на х - 1 дає в остачі 1, а при діленні на х - 2 дає в остачі 4. Яку остачу отримаємо від ділення многочлена Р(х) на х2 - 3х + 2?

7.36. Многочлен Р(х) як при діленні на х + 1, так і при діленні на х - 2 дає в остачі 2. Яку остачу отримаємо від ділення многочлена Р(х) на х2 - х - 2?

Розв’яжіть нерівність (7.37—7.38):

7.37.

7.38.

7.39. Гумові покришки коліс автомобіля стираються, і щорічно кожен автомобіль розсіює в повітря 10 кілограмів гумового пилу. Скільки такого пилу здатні виробити за рік всі автомобілі невеликого містечка, у якому проживає 3000 родин і чверть із них має по одному автомобілю?

7.40. Знайдіть усі функції f(х), визначені на множині всіх дійсних чисел, таких, що для будь-якого х ∈ R справджується рівність:

1) Аf(х) + Bf(-х) = Сх2k-1, де А, В, С - числа, причому А ≠ 0, В ≠ 0, А ± В ≠ 0, С ≠ 0, k ∈ R,

2) Аf(х) + Bf(-х) = Сх2k, де А, B, С - числа, причому А ≠ 0, В ≠ 0, А ± В ≠ 0, С ≠ 0, k ∈ R.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити