Підручник Математика 5 клас - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§12. Текстові задачі на рух

Розглянемо основні види текстових задач на рух. Ми вже багато разів розв’язували задачі на рух і знаємо формулу шляху

S = v ∙ t ,

що виражає взаємозв’язок величин: s — пройдена відстань (шлях); v — швидкість руху, тобто відстань, яку долають за одиницю часу; t — час руху.

Також знаємо формули, за якими можна знайти швидкість, якщо відомі пройдена відстань та час руху:

v = 8 : t ,

та час, якщо відомі пройдена відстань та швидкість:

t = 8 : v .

Зауваження: 1. У задачах на рух будемо вважати, що швидкість руху на всьому шляху не змінювалася.

2. Одиниці вимірювання швидкості (км/год, м/хв, м/с тощо) залежать від умови задачі. Якщо, наприклад, жук за 5 хв проповзає 10 м, то його швидкість 10 : 5 = 2 (м/хв).

Розглянемо тепер, як розв’язуються задачі на рух по річці. У цих задачах є своя особливість: потрібно розрізняти швидкість руху за течією та швидкість руху проти течії.

Нехай, наприклад, власна швидкість човна (тобто його швидкість у стоячій воді) дорівнює 15 км/год, а швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Тоді швидкість, з якою човен пливе за течією, складається з його власної швидкості та швидкості течії: 15 + 2 = 17 (км/год). А швидкість, з якою човен пливе проти течії, отримуємо відніманням швидкості течії від власної швидкості човна: 15 - 2 = 13 (км/год).

Розглянемо задачі, у яких діють два учасники руху.

Рух з одного пункту з відставанням. Нехай два об’єкти одночасно починають рух в одному напрямі з однієї точки з різними швидкостями v1 = 5 км/год і v2 = 3 км/год.

Тоді за першу годину об’єкт випередить об’єкт на 2 км.

!Відстань, на яку віддаляються об’єкти за одиницю часу, називають швидкістю віддалення vвід.

У випадку руху з одного пункту з відставанням

vвід = v1 - v2 (якщо v1 > v2).

Через t год між об’єктами буде відстань

ід = vвід ∙ t = (v1 - v2)t.

Задача 1. Два автомобілі одночасно виїхали в одному напрямі. Швидкість першого автомобіля 60 км/год, швидкість другого 72 км/год. Яка відстань буде між автомобілями через 9 год?

Розв’язання. vвід = (72 - 60) ∙ 9 = 12 ∙ 9 = 108 (км).

Рух з одного пункту в протилежних напрямах. Нехай два об’єкти одночасно починають рух з однієї точки в протилежних напрямах зі швидкостями v1 = 5 км/год і v2 = 3 км/год.

Тоді за першу годину об’єкт віддаляється від об’єкта на 8 км. У цьому випадку швидкість віддалення

vвід = v1 + v2.

Через t год між об’єктами буде відстань

sвід = vвід ∙ t = (v1 + v2)t.

Задача 2. Дві черепахи одночасно почали рухатись у протилежних напрямах зі швидкостями 6 дм/хв і 4 дм/хв. Яка буде відстань між черепахами через 35 хв?

Розв’язання. sвід = (6 + 4) ∙ 35 = 10 ∙ 35 = 350 дм.

Рух двох об’єктів назустріч одне одному. Нехай два об’єкти одночасно починають рух назустріч одне одному зі швидкостями v1 = 5 км/год і v2 = 3 км/год, причому початкова відстань між об’єктами більша за 8 км.

Тоді за першу годину відстань між об’єктами скоротиться на 8 км.

! Відстань, на яку зближаються об’єкти за одиницю часу, називають швидкістю зближення vзбл.

У випадку руху двох об’єктів назустріч одне ОДНОМУ vзбл = v1 + v2.

Якщо початкова відстань між об’єктами дорівнює s кілометрів і об’єкти зустрілися через tзycт год, то очевидно, що

S = vзбл ∙ tзуст = (v1 + v2)tзуст.

Якщо t < tзуст, то через t год відстань між об'єктами скоротиться на відстань

s = vзбл ∙ t = (v1 + v2)t

Задача 3. Два автобуси виїхали одночасно з двох міст і зустрілися через 5 год. Швидкість одного 45 км/год, а другого на 10 км/год більша. Знайди відстань між містами.

Розв’язання. 1) 45 + 10 = 55 (км/год) — швидкість другого автобуса;

2) (45 + 55) ∙ 5 = 500 (км) — відстань між містами.

Рух в одному напрямі навздогін. Нехай два об’єкти одночасно починають рух з різних точок в одному напрямі зі швидкостями v1 = 5 км/год і v2 = = 3 км/год, причому об’єкт, що має більшу швидкість, рухається позаду і початкова відстань між об’єктами більша за 2 км.

Тоді за першу годину об’єкт стане ближче до об’єкта на 2 км. У цьому випадку vзбл = v1 - v2 (якщо v1 > v2).

Якщо початкова відстань між об’єктами дорівнює s км і об’єкт наздогнав об’єкт через tзycт год, то очевидно, що

s = vзбл ∙ tзyст = (v1 - v2)tзуст.

Якщо t < зycт, то через t год відстань між об’єктами скоротиться на відстань

s = vзбл ∙ t = (v1 - v2)t.

Задача 4. З двох пунктів, відстань між якими 120 км, одночасно почали рух в одному напрямі пішохід зі швидкістю 5 км/год і автобус, який наздоганяв пішохода. Знайди швидкість автобуса, якщо він наздогнав пішохода через 2 год.

Розв’язання. vзбл = s : t; vзбл = 120 : 2 = 60 (км/год). Тоді швидкість автобуса дорівнює 60 + 5 = 65 (км/год).

? Як знайти невідому відстань, якщо відомі швидкість і час? Як знайти невідому швидкість, якщо відомі відстань і час? Як знайти невідомий час, якщо відомі відстань і швидкість? Як знайти швидкість руху човна за течією та проти течії, якщо відомі власна швидкість човна та швидкість течії? Як знайти швидкість віддалення, якщо відомі швидкості v1 та v2об’єктів, що віддаляються (розглянути два випадки)? Якою буде відстань sвід між цими об’єктами через t год? Як знайти швидкість зближення, якщо відомі швидкості v1 та v2об’єктів, що зближуються (розглянути два випадки)? На яку відстань s скоротиться відстань між об’єктами через t год? Як знайти час tзуст, через який об’єкти зустрінуться, якщо початкова відстань між ними дорівнює s?

415. (Усно). 1) Юний мандрівник з’ясував, що на шлях за течією річки було витрачено менше часу, ніж на той самий шлях проти течії. Чим це можна пояснити, якщо мотор човна працював однаково справно під час усієї подорожі?

2) На шлях по річці від пункту А до пункту В теплохід витратив 3 год, а на зворотний шлях — 2 год 30 хв. У якому напрямі тече річка?

416. Знайди невідому величину.

Відстань,

s

140 км

120 км

?

750 м

570 м

?

Час, t

?

3 год

2 год

6 хв

?

5 с

Швидкість, v

28 км/год

?

32 км/год

?

95 м/с

12 м/с

417. 1) Один з автомобілів рухався 5 год зі швидкістю 72 км/год, а другий — 4 год зі швидкістю 85 км/год. Який з автомобілів подолав більшу відстань? На скільки?

2) Один з велосипедистів за 4 год подолав 56 км, а другий за 3 год подолав 45 км. Який з велосипедистів мав більшу швидкість? На скільки?

3) Один з поїздів подолав відстань 300 км зі швидкістю 75 км/год, а другий — відстань 204 км зі швидкістю 68 км/год. Який з поїздів витратив на дорогу менше часу? На скільки?

418. Склади задачі за коротким записом та розв’яжи їх.

1)

Поїзд

Швидкість v, км/год

Час t, год

Відстань s, км

Товарний

42

6

Однакова

Пасажирський

?

4

2)

Транспортний

засіб

Швидкість v, км/год

Час t, год

Відстань s, км

Автомобіль

80

4

Однакова

Мотоцикл

64

?

419. Склади задачі за коротким записом і розв’яжи їх.

1)

Учасник руху

Швидкість v, км/год

Відстань s, км

Час t, год

Велосипедист

15

60

Однаковий

Автомобіліст

?

296

2)

Тварина

Швидкість v, км/год

Відстань s, км

Час t, год

Олень

12

36

Однаковий

Кінь

15

?

420. Швидкість катера в стоячій воді становить 14 км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год. Визнач:

1) швидкість катера за течією річки;

2) швидкість катера проти течії річки;

3) шлях, який долає катер за 2 год за течією річки;

4) шлях, який долає катер за 3 год проти течії річки.

421. Визнач, яких малюнків стосуються формули (v1 > v2):

422. 1) Велосипедисти рухаються у протилежних напрямах. На скільки кілометрів вони віддаляться один від одного за 1 год? 2 год? 5 год?

2) Один з пішоходів наздоганяє іншого. На скільки кілометрів скоротить відстань цей пішохід через 1 год? 2 год? 5 год?

423. 1) Машини рухаються в одному напрямі. Яка буде відстань між ними через 1 год? 2 год? 7 год?

2) Велосипедисти рухаються назустріч один одному. На скільки кілометрів наблизяться вони один до одного за 1 год? 2 год? 4 год?

424. Від двох пристаней, відстань між якими 144 км, одночасно вирушили назустріч один одному два пароходи. Перший парохід плив зі швидкістю 25 км/год, другий — зі швидкістю 23 км/год. Через скільки годин вони зустрілись?

425. Від однієї пристані в протилежних напрямах вирушають два катери, швидкості яких відповідно 23 км/год та 28 км/год. Через який час відстань між ними дорівнюватиме 153 км?

426. Катер, власна швидкість якого 18 км/год, плив 2 год за течією річки і 3 год проти течії. Яку відстань за цей час подолав катер, якщо швидкість течії річки 2 км/год?

427. Власна швидкість теплохода 22 км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год. Скільки часу витрачає теплохід на шлях між двома пристанями, відстань між якими 120 км, якщо він буде пливти:

1) за течією; 2) проти течії?

428. Човен, власна швидкість якого 21 км/год, проплив річкою шлях від пункту А до пункту В і повернувся назад. Скільки часу витратив човен, якщо відстань між пунктами А і В становить 72 км, а швидкість течії — 3 км/год?

429. Склади умову задачі за малюнком. Розв’яжи її.

430. Склади задачі за малюнками. Розв’яжи їх.

431. Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному з двох міст, відстань між якими 78 км. Велосипедисти зустрілися через 3 год. Знайди швидкість першого велосипедиста, якщо швидкість другого 12 км/год.

432. Оля вийшла зі школи і пішла додому зі швидкістю 80 м/хв. Через 2 хв зі школи вийшла Іра і пішла в тому самому напрямі зі швидкістю 100 м/хв. Через скільки хвилин після свого виходу Іра наздожене Олю?

433. Відстань між містами А і В дорівнює 232 км. З міста В у бік, протилежний до А, виїхав велосипедист зі швидкістю 14 км/год. Одночасно з ним з міста А в тому самому напрямі виїхав мотоцикліст, який наздогнав велосипедиста через 4 год після початку руху. Знайди швидкість мотоцикліста.

434. Відстань між пристанями 72 км. Власна швидкість човна становить 21 км/год. За який час подолає відстань між пристанями цей човен, рухаючись проти течії, якщо, рухаючись за течією, він подолав відстань за 3 год?

435. Перший автомобіль був у дорозі 6 год, другий — 3 год. їхали вони з однаковою швидкістю. Перший автомобіль проїхав на 258 км більше, ніж другий. Яку відстань проїхав кожний автомобіль?

Розв’язання. Перший автомобіль рухався на 3 год довше і за цей час проїхав на 258 км більше. Оскільки швидкості автомобілів однакові, то їх можна знайти так: 258 : (6 - 3) = 86 км/год. Тоді перший автомобіль проїхав 86 ∙ 6 = 516 км, а другий 86 ∙ 3 = 258 км.

436. З Чигирина до Києва одночасно виїхали два автомобілі. Через 3 год відстань між ними була 24 км. Знайди швидкість другого автомобіля, якщо швидкість першого 85 км/год. Скільки випадків слід розглянути?

437. З міста М у місто N одночасно виїхали два автомобілі зі швидкостями 80 км/год та 85 км/год. Знайди відстань між містами М і N, якщо в момент прибуття другого автомобіля в місто N першому ще залишилося проїхати 15 км.

Перевір свою компетентність!

438. Заповни «віконця». Знайди невідоме слово.

439. Знайди корені рівнянь: х + 62 = 115 і у - 42 = 97 та обчисли значення виразу 3х - у.

440. Обчисли значення виразу найзручнішим способом:

1) 314 ∙ 66 + 314 ∙ 34;

2) 942 ∙ 175 - 174 ∙ 942;

3) 43 ∙ 59 + 69 ∙ 43 - 28 ∙ 43;

4) 114 ∙ 197 - 114 ∙ 96 - 114.

441. Проектна діяльність. Маса рюкзака з підручниками учня молодших класів має становити десяту частину маси тіла дитини (згідно із санітарними нормами). Зважте свій рюкзак. Чи відповідає його маса санітарним нормам?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити