Підручник Математика 5 клас - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§24. Площа прямокутника і квадрата

Щоб дізнатися, скільки фарби і шпалер знадобиться для ремонту квартири, треба знати площі підлоги, стелі та стін. Визначення площі є також важливим для розв’язування багатьох інших практичних задач.

За одиницю площі беруть площу одиничного квадрата, тобто такого квадрата, сторона якого дорівнює одиниці довжини. Наприклад, якщо довжина сторони квадрата дорівнює 1 м, то він має площу 1 квадратний метр (записують так: 1 м2); якщо довжина сторони квадрата 1 см (мал. 157), то його площа дорівнює 1 квадратному сантиметру (1 см2) тощо.

Мал. 157

Мал. 158

Якщо площу деякої фігури можна розбити на т квадратів зі стороною 1 см, то її площа дорівнює m см2. Так, площа фігури на малюнку 158 дорівнює З см2. Тобто визначити площу фігури — це означає дізнатися, скільки одиничних квадратів уміщується в даній фігурі.

З початкової ніколи відомо, що

! для обчислення площі прямокутника треба його довжину помножити на ширину.

Якщо позначимо сторони прямокутника а і b, а його площу — S1, то отримаємо формулу площі прямокутника (мал. 159):

S = а ∙ b.

Для обчислення площі прямокутника довжини його сторін треба виразити в одних і тих самих одиницях: якщо а і b виражено в метрах, то площа S вимірюється у квадратних метрах; якщо а і b виражено в сантиметрах, то S — у квадратних сантиметрах тощо.

Мал. 159

Приклад 1. Знайди площу прямокутника зі сторонами 1 дм і 8 см.

Розв’язання. 1 дм = 10 см, то

S = 10 ∙ 8 = 80 (см2).

1 Від латинського слова superficies — поверхня.

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні (мал. 160). Тоді площу квадрата S зі стороною а можна знайти так: S = а ∙ а, або S = а2. Саме тому другий степінь числа називають квадратом цього числа.

Мал. 160

Приклад 2. Знайди площу квадрата зі стороною 2 см 5 мм.

Розв’язання. 2 см 5 мм = 25 мм. Тому S = 252 = 25 ∙ 25 = 625 (мм2).

Розглянемо прямокутник ABCD, сторони якого дорівнюють 4 см і 5 см.

Мал. 161

Ламана KLMN розбиває його на дві частини (мал. 161). Одна із частин має площу 12 см2, а інша — 8 см2. Площа всього прямокутника 4 ∙ 5 = 20 см2. При цьому 20 = 12 + 8. Отже,

! площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

Установимо співвідношення між одиницями площ. На малюнку 162 зображено квадрат, сторона якого дорівнює 1 дм. Тому його площа 1 дм2. З іншого боку, квадрат складається зі 100 квадратиків із стороною 1 см. Тому його площа дорівнює 100 см2. Отже,

1 дм2 = 100 см2 .

Мал. 162

Це можна було встановити ще й так:

1 дм2 = 1 дм ∙ 1 дм = 10 см ∙ 10 см = 100 см2.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що

1 см2 = 100 мм2,

1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 .

Для вимірювання великих площ (території держав, материків) використовують квадратний кілометр — 1 км2. Це площа квадрата, сторона якого 1 км, або 1000 м. Площу такого квадрата можна знайти ще й так: 1000 м ∙ 1000 м = 1 000 000 м2. Отже,

1 км2 = 1 000 000 м2 .

Територія України становить 603 700 км2.

Площу садів, городів, інших ділянок землі вимірюють також в арах1 (ар) та гектарах2 (га). Ар (сотка) — площа квадрата зі стороною 10 м. Тому 1 а = 100 м2. Гектар — це площа квадрата зі стороною 100 м. Тому 1 га = 10 000 м2, 1 га = 100 а, 1 км2 = 100 га.

? Чому дорівнює площа фігури, якщо її можна розбити на 12 квадратів із стороною 1 см? Що означає знайти площу фігури? Якими одиницями вимірюється площа? Як обчислити площу прямокутника? квадрата? Поясни, чому 1 дм2 = 100 см2. У яких одиницях вимірюють площі земельних ділянок? Скільки квадратних метрів у арі? гектарі?

785. Знайди площу кожної фігури на малюнках 163—165, якщо довжина сторони кожного квадрата дорівнює 1 см.

Мал. 163

Мал. 164

Мал. 165

786. Обчисли площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 25 см і 20 см; 2) 3 м і 25 дм.

787. Обчисли площу прямокутника зі сторонами: 1) 14 дм і 8 дм; 2) 5 см і 34 мм.

788. Обчисли площу квадрата за формулою, якщо його сторона дорівнює: 1) 8 мм; 2) 14 см; 3) 5 дм.

789. Обчисли площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1) 12 м; 2) 15 см.

1 Від латинського слова area — площа.

2 Від грецького слова hekaton — сто.

790. Одна сторона прямокутника дорівнює 12 см, а інша — на 2 см більша за неї. Знайди площу прямокутника.

791. 1) Одна сторона прямокутника дорівнює 15 см, а інша — на 3 см менша від неї. Знайди площу прямокутника.

2) Одна сторона прямокутника дорівнює 8 дм, а інша — у 5 разів більша за неї. Знайди площу прямокутника.

792. Проаналізуй ланцюжок одиниць площі:

1 мм2 1 см2 1 дм2 1 м2 1 ар 1 га 1 км2.

У скільки разів кожна наступна одиниця більша за попередню?

793. Виконай потрібні вимірювання для прямокутників та квадрата (мал. 166—168) і знайди їхні периметри та площі.

Мал. 166

Мал. 167

Мал. 168

794. Накресли квадрат. Знайди його периметр і площу.

795. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює 20 м.

796. Як, знаючи площу прямокутника і одну зі сторін, знайти іншу? Заповни таблицю (а і b — сторони прямокутника, S — його площа).

а

15 см

13 см

b

24 см

36 дм

S

260 см2

900 дм2

797. Площа прямокутника дорівнює 840 см2, одна з його сторін дорівнює 35 см. Знайди іншу сторону.

798. У двокімнатній квартирі ширина кожної кімнати 4 м, а їхні довжини — 4 м і 6 м. Скільки квадратних метрів паркету потрібно, щоб повністю застелити в кімнатах підлогу?

799. Сторона металевого листа квадратної форми 11 дм. З нього треба вирізати квадратні пластини площею 1 дм2 кожна. Скільки можна вирізати таких пластин?

800. Вирази:

1) у квадратних сантиметрах: 17 дм2, 5 м2, 1200 мм2;

2) у квадратних метрах: 7 га, 15 а, 3 а 27 м2;

3) в арах: 12 га, 3 га 4 а, 2400 м2;

4) у гектарах: 370 000 м2, 42 000 а, 3 км2.

801. Вирази:

1) у квадратних метрах: 17 га, 8 а, 3 га 2 а, 4200 дм2;

2) у квадратних сантиметрах: 12 дм2, 3 м2, 27 000 мм2;

3) в арах: 2700 м2, 14 га;

4) у гектарах: 3 400 000 м2, 5200 а, 5 км2.

802. Заповни пропуски:

1) 4 дм2 =________ г,м2; 2) 8 м2 =_______ дм2;

3) 12 г,м2 =______ мм2; 4) 8 а =________ м2;

5) 18 гa =________ м2; 6) 5 км2 =_______ м2;

7) 2 м2 =_________ см2; 8) 7 дм2 =______ мм2.

803. Довжина дачної ділянки землі прямокутної форми 720 м, а ширина на 80 м менша. Знайди площу ділянки в арах.

804. Довжина ділянки землі прямокутної форми 600 м, а ширина на 350 м менша від довжини. Обчисли площу ділянки в гектарах.

805. Площа поля, що має прямокутну форму, дорівнює 54 га. Знайди ширину цього поля, якщо його довжина 900 м.

806. Площа поля, що має прямокутну форму, дорівнює 12 ар. Ширина ділянки 30 м. Знайди довжину ділянки.

807. Прямокутні плити для покриття доріжки мають розміри 120 см і 50 см. Скільки знадобиться таких плит, щоб покрити доріжку завдовжки 96 м і завширшки 3 м?

808. Периметр прямокутника дорівнює 116 см, а одна зі сторін — 38 см. Знайди площу прямокутника.

809. Периметр прямокутника дорівнює 56 см і в 7 разів більший за одну зі сторін. Знайди площу прямокутника.

810. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює периметру рівностороннього трикутника зі стороною 16 см.

811. Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює периметру прямокутника зі сторонами 32 см і 6 дм.

812. Виконай потрібні вимірювання та знайди площі фігур, заштрихованих на малюнках 169 і 170.

813. Знайди площі фігур, зображених на малюнку 171 і малюнку 172.

Мал. 169

Мал. 170

Мал. 171

Мал. 172

814. Заміни х таким числом, щоб утворилася правильна рівність:

1) х см2 = 1700 мм2; 2) 90 000 см2 = х м2;

3) 1500 м2 = х а; 4) х га = 27 000 а.

815. Постав у квадратики такі числа, щоб утворилися правильні рівності:

1) 5 га 3 а = □ а; 2) □ м2 = 180 000 см2;

3) □ мм2 = 2 см2 13 мм2; 4) 20 000 м2 = □ а.

816. Скільки теплиць завдовжки 20 м і завширшки 5 м можна розмістити на ділянці землі площею 2 га (відстанню між теплицями знехтувати)?

817. Земельну ділянку прямокутної форми, розміри якої 90 м і 120 м, поділили на дві частини так, що площа однієї частини у 2 рази більша за площу іншої. Знайди площі цих частин в арах.

818. Прямокутне поле завдовжки 1200 м і завширшки 650 м засіяно житом. На 1 га висівають по 125 кг зерна. Скільки потрібно жита, щоб засіяти поле?

819. Чому дорівнює сторона квадрата, якщо його площа:

1) 25 дм2; 2) 36 см2; 3) 100 мм2?

820. Знайди периметр квадрата, який має таку саму площу, як прямокутник зі сторонами 2 см і 8 см.

821. Два прямокутники мають рівні площі. Чи означає це, що сторони одного прямокутника дорівнюють сторонам іншого? Наведи приклади.

822. Два прямокутники мають рівні площі. Довжина першого дорівнює 16 см, а його ширина в 4 рази менша від довжини. Ширина другого прямокутника 2 см. Знайди його довжину. Знайди сторону квадрата, який має таку саму площу, як і прямокутники.

823. Периметр прямокутника дорівнює 120 м, його довжина на 10 м більша за ширину. Знайди площу прямокутника.

824. Ширина прямокутника у 3 рази менша від довжини, а його периметр дорівнює 80 дм. Знайди площу прямокутника.

825. Довжина прямокутника 20 см. Як і на скільки зміниться його площа, якщо ширину прямокутника збільшити на 2 см?

826. Ділянка землі прямокутної форми засіяна пшеницею. Ширина ділянки 800 м, а довжина у три рази більша за ширину. Із цієї ділянки зібрали 480 т пшениці. Скільки центнерів пшениці зібрали в середньому з 1 га?

827. Довжина прямокутника на 9 см більша за ширину, а його периметр дорівнює 66 см. Прямокутник поділено на 3 рівних прямокутники. Знайди площу одного такого прямокутника.

828. Кожну сторону квадрата ABCD збільшили у 2 рази й отримали квадрат DKPL (мал. 173). У скільки разів збільшився периметр квадрата і у скільки — площа? Як зміняться периметр і площа квадрата, якщо його сторону збільшити в т разів? Зроби висновок.

829. Знайди площі зображених на малюнках 174 і 175 шахових фігур (площу клітинки приймаємо за 1 см2).

Мал. 173

Мал. 174

Мал. 175

830. Знайди периметр прямокутника, складеного з восьми рівних квадратів, площа кожного з яких дорівнює 9 м2 (розглянь два випадки).

Перевір свою компетентність!

831. Нехай Р — периметр трикутника, а, b, с — його сторони. Знайди ці сторони, якщо Р = 42 см, а = 2Р - 72, b = (а + 22) : 2.

832. З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два автобуси. Швидкість першого автобуса дорівнює 48 км/год, а другого — 52 км/год. Перший автобус проїхав до зустрічі 192 км. Скільки кілометрів проїхав до зустрічі другий автобус? Яка відстань між містами?

833. Знайди значення невідомих а, b, с, d.

834. Склади умови і розв’яжи задачі, використовуючи рівняння (стрілка спрямована в бік більшого числа).

835. У магазині є печиво в коробках по 4 кг, 5 кг та 7 кг. Як придбати 62 кг печива, не розкриваючи коробок, щоб кількість коробок була найменшою?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити