Підручник Математика 5 клас - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§25. Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда

Сірникова коробочка, цеглина, дерев’яний брусок, ящик, пенал дають уявлення про геометричну фігуру, яку називають прямокутним паралелепіпедом (мал. 176).

Мал. 176

Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників, які називають його гранями. Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда попарно рівні.

На малюнку 176 протилежними гранями є ABCD і MLKN, AMLB і DNKC, AMND і BLKC. Грані ABCD і MLKN називають ще основами паралелепіпеда.

Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, а вершини граней — вершинами паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед має 8 вершин. Усіх ребер є 12, по 4 рівних між собою. На малюнку 176: АВ = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN і AD = = ВС = LK = MN. Ребра AM, BL, CK і DN називають ще висотами паралелепіпеда.

З кожної вершини прямокутного паралелепіпеда виходять три ребра. Довжини цих ребер — це довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда (мал. 176), або його виміри.

! Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда — це сума площ усіх його граней.

Задача 1. Знайди площу поверхні S прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють а, b і с.

Розв’язання. Нехай АВ = a, MN = b, AM = с (мал. 176). У двох граней довжини сторін дорівнюють а і b. Площа кожної з них дорівнює аb. Площа кожної з двох наступних граней — bс, а двох, що залишилися, дорівнює ас. Тому площу поверхні S можна знайти так: S = 2аb + 2bс + 2ас, або

S = 2(аb + bс + ас) .

Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називають кубом (мал. 177). Усі грані куба — рівні квадрати. Очевидно, що площа поверхні куба з ребром а дорівнює:

S = 6а2.

Мал. 177

Ще однією важливою і цікавою фігурою є піраміда (мал. 178—180). Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Бічні грані піраміди — трикутники, що мають спільну вершину, яку називають вершиною піраміди, а основа піраміди — довільний многокутник, протилежний до цієї вершини.

Мал. 178

Мал. 179

Мал. 180

Називають піраміду по кількості сторін многокутника, який є основою піраміди. Наприклад, на малюнку 178 зображено шестикутну піраміду, а на малюнку 179 — чотирикутну піраміду.

Найпростішою пірамідою є трикутна піраміда (мал. 180). Усі її грані трикутники. Тому кожна з них може вважатися основою.

Так само, як і у прямокутному паралепіпеді, сторони граней називають ребрами піраміди.

Бічні грані разом з основою піраміди називають гранями піраміди.

Наприклад, у трикутній піраміді: 6 ребер і 4 грані.

Форму пірамід мають, наприклад, давньоєгипетські піраміди. Одна з найвідоміших — піраміда Хеопса, висота якої 147 м (мал. 181).

Мал. 181

? Наведи приклади предметів, які мають форму прямокутного паралелепіпеда. Скільки граней має прямокутний паралелепіпед? Яку форму мають ці грані? Скільки ребер у прямокутного паралелепіпеда? Скільки в нього вершин? На моделі прямокутного паралелепіпеда покажи його грані, ребра, вершини, протилежні грані, рівні грані та рівні ребра. Який прямокутний паралелепіпед називають кубом? Із чого складається поверхня піраміди? Якими фігурами є бічні грані й основа піраміди? На моделі піраміди покажи її грані, ребра, вершину.

836. Знайди площу однієї грані та площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 7 см.

837. Знайди загальну довжину всіх ребер куба, якщо довжина одного ребра:

1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 13 мм.

838. Площа однієї грані куба 25 см2. Обчисли площу його поверхні.

839. На малюнку 182 зображено одну з граней куба. Виміряй ребро куба і знайди:

1) суму довжин усіх ребер куба;

2) площу поверхні куба.

Мал. 182

840. На малюнку 183 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDEFGH. Назви:

1) усі грані цього паралелепіпеда;

2) усі ребра цього паралелепіпеда;

3) усі вершини цього паралелепіпеда;

4) ребра, що є сторонами грані AEFB;

5) ребра, що дорівнюють ребру НЕ;

6) грань, що дорівнює грані EFGH;

7) грані, яким належить вершина Н;

8) грані, для яких АВ є спільним ребром.

Мал. 183

841. Скільки в шестикутної піраміди (мал. 178):

1) усього граней; 2) усього ребер?

842. Скільки в чотирикутної піраміди (мал. 179):

1) усього граней; 2) усього ребер?

843. Знайди площі граней ABCD, FBAE, CGFB паралелепіпеда, зображеного на малюнку 183.

844. Обчисли суму довжин усіх ребер та площу поверхні паралелепіпеда, зображеного на малюнку 183.

845. Обчисли площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 5 см, 3 см і 2 см; 2) 3 дм, 4 дм і 7 дм.

846. Обчисли суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 8 см, ширина 5 см, висота 3 см.

847. Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 1 м, 2 дм, 40 см; 2) 80 мм, 5 см, 1 дм.

848. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 4 см і 7 см. Знайди площу:

1) найменшої грані; 2) найбільшої грані.

849. Прямокутний паралелепіпед, склеєно з паперу, розрізали вздовж його ребер. Грані його зображено на малюнку 184.

1) Обчисли площу кожної грані.

2) Скільки квадратних сантиметрів паперу треба для виготовлення цього прямокутного паралелепіпеда (без урахування запасів для склеювання)?

Мал. 184

850. Обчисли площу поверхні сірникової коробки або пенала, який має форму прямокутного паралелепіпеда.

851. Сума довжин усіх ребер куба 60 дм. Яка довжина одного ребра?

852. Чи можуть деякі чотири грані прямокутного паралелепіпеда мати площі 2 м2, 3 м2, 6 м2 і 7 м2?

853. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда 120 см2, 70 см2 і 84 см2. Обчисли площу його поверхні.

854. Піраміда має 2017 граней. Скільки сторін має многокутник, який є основою піраміди?

855. Основою піраміди є двадцятисемикутник. Скільки граней має ця піраміда?

856. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 36 дм. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.

857. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 15 см, що на 5 см більше за ширину і у 2 рази менше від довжини. Знайди суму довжин усіх ребер паралелепіпеда та площу його поверхні.

858. Знайди формулу для обчислення суми довжин ребер L прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, b і с.

859. З жерсті виготовлено бак без кришки. Він має форму прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 80 см, ширина 50 см, а висота 40 см. Бак треба пофарбувати ззовні та всередині. Яку площу треба пофарбувати?

860. Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Його бічні стінки скляні. Визнач площу поверхні скла, якщо довжина акваріума 50 см, ширина 20 см, а висота 40 см.

861. Чи існує піраміда, у якої:

1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер?

Якщо відповідь позитивна, укажи многокутник, який є основою піраміди.

862. Чи існує піраміда, у якої:

1) 107 ребер; 2) 250 ребер?

Якщо відповідь позитивна, укажи многокутник, який є основою піраміди.

863. Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Довжина паралелепіпеда 12 см, що у 3 рази більше за висоту і на 3 см більше за ширину. Знайди ребро куба.

864. Ребро одного куба вдвічі більше за ребро іншого. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого?

865. Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда, треба пофарбувати. Виміри бруска 80 см, 70 см і 50 см. Скільки потрібно фарби, якщо на 1 дм2 поверхні витрачають 3 г фарби?

866. Сума всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 288 см, причому висота вдвічі менша від ширини і втричі менша від довжини. Знайди площу поверхні цього паралелепіпеда.

Перевір свою компетентність!

867. Микита Кожум’яка вичинив 106 шкур. Перші чотири години він вичиняв по 16 шкур за годину, а потім почав вичиняти по 14 шкур за годину. Скільки часу Кожум’яка потратив на вичинку всіх шкур?

868. Склади та розв’яжи задачі за схемами (стрілка спрямована в бік більшого числа):

869. У двох бідонах разом 48 л молока, причому в одному з них удвічі менше, ніж в іншому. Скільки літрів молока в кожному бідоні?

870. Периметр трикутника дорівнює 40 см, одна сторона — а см, а інша — 15 см. Склади вираз для обчислення третьої сторони трикутника. Обчисли її довжину, якщо а = 8. Чи може а дорівнювати 5? дорівнювати 21?

871. Обчисліть, скільки потрібно картоплі, щоб посадити її на шкільній ділянці, довжина якої 90 м, ширина 20 м, а на 1 а у середньому йде 40 кг картоплі.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити