Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§6. Властивості множення

На малюнку 1 зображено ящик, що містить 6 рядів по 5 пакетів соку в кожному. Загальну кількість пакетів можна обчислити, помноживши 6 на 5, або 5 на 6. Результати однакові: 6 ∙ 5 = 30 і 5 ∙ 6 = 30. Отже, 6 ∙ 5 = 5 ∙ 6. У буквеному вигляді:

а ∙ b = b ∙ а.

Тут справджується переставна властивість множення.

! від перестановки множників добуток не змінюється.

Нехай у кожному пакеті, зображеному на малюнку 1, 2 л соку. Як обчислити загальну кількість соку?

1- й спосіб. Відомо, що пакетів усього 5 ∙ 6, і в кожному — по 2 л соку. Тому всього в ящику 2 ∙ (5 ∙ 6) л соку.

2- й спосіб. В одному ряду 5 пакетів, а соку в кожному 2 л, тому всього в цих 5 пакетах соку (2 ∙ 5) л. Однак рядів 6, тому всього в ящику: (2 ∙ 5) ∙ 6 л соку.

Отже, (2 ∙ 5) ∙ 6 = 2 ∙ (5 ∙ 6). У буквеному вигляді:

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с).

Маємо сполучну властивість множення:

! щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.

З переставної і сполучної властивостей множення випливає, що при множенні кількох чисел можемо групувати множники на свій розсуд. Це дає змогу спрощувати обчислення.

Приклади:

1) 14 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 20 = (14 ∙ 7) ∙ (5 ∙ 20) = 98 ∙ 100 = 9800;

2) 1 200 ∙ 30 000 = 12 ∙ 100 ∙ 3 ∙ 10 000 = (12 ∙ 3) х

х (100 ∙ 10 000) = 36 ∙ 1 000 000 = 36 000 000.

Переставну та сполучну властивості множення можна використовувати і для спрощення виразів.

Приклади:

1) 7 ∙ х ∙ 9 = (7 ∙ 9) ∙ х = 63 ∙ х = 63х;

2) 8 ∙ а ∙ 7 ∙ b = (8 ∙ 7) ∙ а ∙ b = 56аb.

На використанні переставної і сполучної властивостей множення ґрунтується і наступне правило множення натурального числа, на розрядну одиницю, яке ти знаєш з молодших класів.

! Щоб помножити натуральне число на розрядну одиницю (10, 100, 1000...), треба приписати справа до цього числа стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці.

Приклади:

54 100 = 5400, 237 ∙ 1000 = 237 000,

3809 ∙ 10 000 = 38 090 000.

Повернемося до малюнка 1. Нехай маємо 4 ряди пакетів з яблучним соком і 2 — з апельсиновим. Тоді кількість пакетів можна обчислити двома способами:

(4 + 2) ∙ 5 і 4 ∙ 5 + 2 ∙ 5.

В обох випадках загальна кількість дорівнюватиме 30. Запишемо це в буквеному вигляді:

(а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с.

Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно додавання:

! щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і ці добутки додати.

Цей закон правильний для будь-якої кількості доданків.

(а + b + х) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с + х ∙ с;

(а + b + х + у) с = ас + b ∙ с + хс + у ∙ с тощо.

Однакові значення мають також вирази (7 - 2) ∙ 5 і 7 ∙ 5 - 2 ∙ 5, оскільки (7 - 2) ∙ 5 = 5 ∙ 5 = 25 і 7 ∙ 5 - 2 - 5 = 35 - 10 = 25.

Тому розподільну властивість можна застосовувати і для віднімання. У буквеному вигляді її записують так:

(а - b) ∙ с = а ∙ с - b ∙ с.

Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно віднімання:

! щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від'ємник помножити на це число і від першого добутку відняти другий.

Розподільну властивість множення можна використовувати для обчислень та спрощення виразів.

Приклад 1. Обчисли:

1) 49 113 + 51 ∙ 113;

2) 42 ∙ 125 - 22 ∙ 125;

3) 37 ∙ 312 + 42 ∙ 312 - 69 ∙ 312;

4) 97 ∙ 18.

Розв’язання.

1) 49 ∙ 113 + 51 ∙ 113 = (49 + 51) ∙ 113 = 100 ∙ 113 = 11 300;

2) 42 ∙ 125 - 22 ∙ 125 = (42 - 22) ∙ 125 = 20 ∙ 125 = 2500;

3) 37 ∙ 312 + 42 ∙ 312 - 69 ∙ 312 = (37 + 42 - 69) ∙ 312 = 10 ∙ 312 = 3120;

4) 97 ∙ 18 = (100 - 3) ∙ 18 = 100 ∙ 18 - 3 ∙ 18 = 1800 - 54 = 1746.

Приклад 2. Спрости вираз:

1) 3х + 9х; 2) 8а + За - 2а; 3) 7х - 2х + х - 8.

Розв’язання. 1) 3х + 9х = (3 + 9)х = 12х;

2) 8а + За - 2а = (8 + 3 - 2)а = 9а;

3) 7х - 2х + х - 8 =7х - 2х + 1х - 8 = (7 - 2 + 1)х - 8 = 6х - 8.

Використовуючи розподільну властивість множення для виразів (а + b) ∙ с і (а - b) ∙ с, отримаємо вираз, що не містить дужок. Кажуть: розкрили дужки.

Приклад 3. Розкрий дужки:

1) 5(х + 7); 2) 3(2b - 13).

Розв’язання.

1) 5(х + 7) = 5 ∙ х + 5 ∙ 7 = 5х + 35;

2) 3(2b - 13) = 3 ∙ 2b - 3 ∙ 13 = 6b - 39.

? Сформулюй переставну властивість множення, наведи приклади. Сформулюй сполучну властивість множення, наведи приклади. Сформулюй правило множення на розрядну одиницю. Сформулюй розподільну властивість множення відносно додавання і відносно віднімання. Поясни, як за допомогою цих властивостей спрощуються вирази 3х + 5х, 7а - 2а. Що означає «розкрити дужки»?

231. Обчисли (усно):

1) 572 ∙ 10; 2) 100 ∙ 7982; 3) 1000 ∙ 52;

4) 8 ∙ 7 ∙ 5; 5)7 ∙ 20 ∙ 5; 6) 4 ∙ 8 ∙ 25;

7) 43 ∙ 10 ∙ 2; 8) 5 ∙ 9 ∙ 2 ∙ 7; 9) 10 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 50.

232. Обчисли зручним способом:

1) 4 ∙ 89 ∙ 25; 2) 2 ∙ 472 ∙ 5; 3) 5 ∙ 72 ∙ 4;

4) 50 ∙ 15 ∙ 2; 5)125 ∙ 14 ∙ 8; 6) 8 ∙ 37 ∙ 25.

233. Обчисли зручним способом:

1) 25 ∙ 17 ∙ 4; 2) 5 ∙ 137 ∙ 20; 3) 6 ∙ 5 ∙ 39;

4) 500 ∙ 19 ∙ 2; 5) 8 ∙ 115 ∙ 125; 6) 80 ∙ 113 ∙ 5.

234. Спрости вираз:

1) 6 ∙ 7 ∙ b; 2) 8 ∙ 9а; 3) 3 ∙ а ∙ 4 ∙ b;

4) 5х ∙ 7у; 5) 3 ∙ m ∙ 2а ∙ 7 ∙ t; 6) 2а ∙ 3z ∙ 4n.

235. Спрости вираз:

1) 8 ∙ 7 ∙ х; 2) 17х ∙ 2;

3) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ m; 4) 9а ∙ 11b;

5) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ 8 ∙ a ∙ m; 6) 10b ∙ 20с ∙ 17р.

236. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 387 ∙ 73 + 387 ∙ 27; 2) 842 ∙ 39 + 158 ∙ 39;

3) 18 ∙ 918 - 18 ∙ 818; 4) 7292 ∙ 27 - 7292 ∙ 26.

237. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 452 ∙ 499 + 452 ∙ 501; 2) 192 ∙ 2005 - 192 ∙ 1005;

3) 83 ∙ 47 + 917 ∙ 47; 4) 4592 ∙ 217 - 4592 ∙ 216.

238. Спрости вираз:

1) 4m + 5m; 2) 9х - 5х;

3) 10с - 2с; 4) 7а + 8а - 5а.

239. Спрости вираз:

1) 9а + 2а; 2) 15b - 3b;

3) 4х + 2х - 3х; 4) 10t - 2t - 5t.

240. Розкрий дужки:

1) 5 ∙ (х + 2); 2) (7 - а) ∙ 9;

3) 2 ∙ (3b + 8с); 4) (5а - 6k) ∙ 2.

241. Розкрий дужки:

1) 7 ∙ (а - 3); 2) (6 + 7) ∙ 11;

3) 15(2х + 3у); 4) (7m - 2n) ∙ 20.

242. Спрости вираз 5х ∙ 20 та знайди його значення, якщо х = 37.

243. Спрости вираз 7а ∙ 18b та знайди його значення, якщо а = 5, b = 100.

244. Спрости вираз і знайди його значення:

1) 125х ∙ 4, якщо х = 27;

2) 4р ∙ 25k, якщо р = 20, k = 113.

245. Обчисли зручним способом:

1) 24 ∙ 25; 2) 28 ∙ 125; 3) 15 ∙ 120; 4) 32 ∙ 17 ∙ 125.

Розв’язання. 1) 24 ∙ 25 = 6 ∙ 4 ∙ 25 = 6 ∙ (4 ∙ 25) = 6 ∙ 100 = 600.

246. Обчисли зручним способом:

1) 48 ∙ 125; 2) 400 ∙ 25;

3) 140 ∙ 35; 4) 50 ∙ 32 ∙ 5.

247. Порівняй:

1) 8 ∙ 23 ∙ 182 і 8 ∙ 22 ∙ 182; 2) 30 ∙ 92 і 5 ∙ 92 ∙ 6;

3) 42 ∙ 72 і 6 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 10; 4) 28 ∙ 2 ∙ 9 і 4 ∙ 14 ∙ 9.

248. Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:

1) 17а + 25а - 32а, якщо а = 12;

2) 37b + b - 8b, якщо b = 1001;

3) 20х + 7х - х - 21х, якщо х = 214;

4) 4m + 2m - 3m + 9, якщо m = 142.

249. Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:

1) 29m + 31m - 40m, якщо m = 211;

2) 15а - а + 10а, якщо а = 40;

3) 30х + 31х + 32х - 90х, якщо х = 140;

4) 10 + 5а + 6а - а, якщо а = 11.

250. Обчисли значення виразу найзручнішим способом:

1) 4972 ∙ 17 + 28 ∙ 4972 - 35 ∙ 4972;

2) 14 592 + 14 592 ∙ 2 + 14 592 ∙ 3 + 14 592 ∙ 4;

3) 5983 ∙ 14 + 598 ∙ 11 - 4983 ∙ 25;

4) 7182 ∙ 164 - (6182 ∙ 127 + 6182 ∙ 37).

251. Обчисли, використовуючи розподільну властивість:

1) 102 ∙ 13; 2) 997 ∙ 15;

3) 71 ∙ 80; 4) 88 ∙ 600.

252. Обчисли, використовуючи розподільну властивість:

1) 99 ∙ 17; 2) 1002 ∙ 21;

3) 82 ∙ 60; 4) 59 ∙ 700.

253. На складі готової продукції сорочки упаковували в коробки по 25 штук у кожну. Коробки розмістили в х рядів по у коробок у кожному ряді. Запиши вираз для визначення кількості всіх сорочок на складі. Обчисли значення цього виразу, якщо х = 26, y = 40.

254. У школі чотири п’ятих класи. У кожному класі навчається а учнів. Кожний з них має по b підручників. Склади вираз для обчислення кількості підручників в усіх п’ятих класах. Обчисли цю кількість, якщо а = 25, b = 17.

255. Як зміниться добуток двох чисел, якщо:

1) один множник збільшити в 3 рази;

2) один множник збільшити в 5 разів, а другий — у 4 рази.

Розв’язання. 2) Розглянемо добуток а ∙ b. Після збільшення множників маємо:

(5а) ∙ (4b) = (5 ∙ 4) ∙ (а ∙ b) = 20аb.

Отже, добуток збільшився у 20 разів.

256. Не виконуючи дій, порівняй вирази:

1) 11(752 + 979) і 11 ∙ 752 + 10 ∙ 979;

2) (7372 - 599) ∙ 5 і 7372 ∙ 4 - 599 ∙ 5.

Перевір свою компетентність!

257. Видатні українці. Запиши числа в порядку спадання та знайди ім’я жінки - однієї із засновників Києва.

(I) 325 259; (Ь) 325 099; (Л) 327 429;

(Б) 325 529; (Д) 325 159; (И) 327 425.

258. Фермер продав першого дня 1 т 250 кг картоплі, а другого — 1 т 150 кг картоплі і отримав за два дні виручку 6720 грн. За якою ціною продавав фермер картоплю?

259. У наборі 5, 7, □ одна цифра загубилася. Знайди її, якщо сума двох найменших трицифрових чисел, що складені із цифр цього набору (цифри в числі не можуть повторюватися), дорівнює 1165.