Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 3. Дії другого ступеня з натуральними числами

У розділі дізнаєтесь:

· про дії множення і ділення натуральних чисел та їх властивості;

· як виконувати ділення з остачею;

· який порядок виконання дій у виразах, що містять дії двох ступенів;

· що таке рівняння та його корінь;

· про арифметичний та алгебраїчний способи розв’язування задач;

· як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 11. Множення натуральних чисел

1. Множення натуральних чисел

Додавання кількох однакових множників можна замінити дією множення. Наприклад, 25 +25 + 25 + 25 = 25 ∙ 4.

Множення — це арифметична дія другого ступеня.

Запам'ятайте!

Помножити число а на натуральне число b означає знайти суму b однакових доданків, кожний з яких дорівнює а.

2. Множення багатоцифрових чисел

Багатоцифрові числа зручніше множити у стовпчик. Множення виконують порозрядно, починаючи з найменшого розряду — одиниць.

Задача 1. Знайдіть добуток чисел:

1) 123456-312;

2) 251 390-405.

Розв'язання

Зверніть увагу

Щоб помножити натуральне число на 10, 100, 1000требадо цього числа приписати праворуч стільки нулів, скільки їх у числі, на яке множимо.

Наприклад, 28 ∙ 1000 = 28 000.

Зверніть увагу

Щоб помножити натуральні числа, які закінчуються нулями, треба:

1) виконати множення, не звертаючи уваги на нулі в кінці чисел;

2) до знайденого добутку приписати праворуч стільки нулів, скільки їх у всіх множниках разом.

Наприклад, 120 ∙ 400 = 48 000.

3. Переставний закон множення

Чи зміниться добуток, якщо поміняти місцями множники 3 і 2? Ні. Справді:

Таку властивість множення називають переставним законом множення, який діє для будь-яких чисел а і b.

Запам'ятайте!

Переставний закон множення Від перестановки множників добуток не змінюється.

а ∙ b = b - а

Зверніть увагу

• Якщо один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює іншому множнику:

а ∙ 1 = 1 ∙ а = а;

• якщо один із множників дорівнює 0, то добуток дорівнює 0:

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0.

4. Сполучний закон множення

Чи зміниться добуток (3 ∙ 2) ∙ 4, якщо дужки поставити в інший спосіб: 3 ∙ (2 ∙ 4)? Ні. Справді:

Таку властивість множення називають сполучним законом множення, який діє для будь-яких чисел а, b і с.

Запам'ятайте!

Сполучний закон множення.

Від порядку групування множників добуток не змінюється.

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b∙ с)

Зверніть увагу

Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього.

Для групування множників зручно використовувати такі добутки:

2 ∙ 5 = 10

4 ∙ 25= 100

125 ∙ 8 = 1000

5. Спрощення буквених виразів

Множити можна не тільки числа і числові вирази, а й числа і буквені вирази. За допомогою законів множення спрощують буквені вирази.

Задача 2. Спростіть вираз: 15 ∙ с ∙ 3 ∙ d.

Розв'язання

Застосувавши переставний і сполучний закони множення, згрупуємо окремо числові множники і буквені множники:

15 ∙ с ∙ 3 ∙ d = (15 ∙ 3) ∙ (с ∙ d) = 45 ∙ cd =45cd.

У буквених виразах, таких як 45cd, множники c i d називають буквеними множниками, а множник 45 — числовим множником або числовим, коефіцієнтом, Як правило, числовий коефіцієнт записують першим множником.

6. Основні задачі на множення

Задача 3. Три п’яті класи вирішили провести спортивні змагання. У кожній команді має бути по 10 учасників. Скільки п’ятикласників братимуть участь у змаганнях?

Розв'язання

Щоб знайти кількість учасників змагань, потрібно знайти суму однакових доданків: 10 + 10 + 10. Суму можна замінити множенням: 10 ∙ 3 = 30 (уч.). Отже, у змаганнях братимуть участь 30 п’ятикласників.

Задача 4. Ласун Карлсон знову завітав до Малюка. Цього разу він з’їв 2 тістечка, а цукерок — у 5 разів більше, ніж тістечок. Скільки цукерок з’їв Карлсон цього разу?

Розв'язання

Щоб знайти кількість цукерок, які з’їв Карлсон, треба кількість тістечок збільшити у 5 разів. Звідси 2 ∙ 5 = 10 (ц.). Отже, Карлсон з’їв 10 цукерок.

Зверніть увагу

За допомогою множення:

1) знаходять суму однакових доданків;

2) дане число збільшують у кілька разів.

Дізнайтеся більше

Знак множення «х» — навскісний хрест — знаходимо у праці англійського математика Вільяма Оутреда «Математичний ключ», яка побачила світ 1631 року.

Згодом, 1698 року, видатний німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц запропонував дію множення позначати крапкою « ∙ ». Трохи раніше, 1684 року, він запровадив дві крапки « : » для позначення ділення.

Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у XVIII ст. завдяки підручникам німецького математика Хрістіана Вольфа.

Вільям Оутред

Словничок

Українська

Англійська

Німецька

Французька

множник

multiplier

Multiplizierer

multiplicateur

добуток

product

Produkt

produit

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Назвіть компоненти дії множення.

2. Як називають результат дії множення?

3. Як виконують множення натурального числа на 10, 100, 1000 тощо?

4. Як виконують множення натуральних чисел, які закінчуються нулями?

5. Сформулюйте і запишіть переставний закон множення.

6. Чому дорівнює добуток, якщо один із множників дорівнює 1 ?

7. Чому дорівнює добуток, якщо один із множників дорівнює 0?

8. Сформулюйте і запишіть сполучний закон множення.

Розв'яжіть задачі

339'. Замініть дію додавання надію множення:

1) 35 + 35 + 35;

2) 12 + 12 + 12 + 12 + 12;

3) а + а + а + а.

340'. Чи правильно, що в рівності 24 ∙ 5 = 120 множником є число:

1) 5;

2) 120?

341’. Чому дорівнює добуток числа m на 1? На 0?

342'. Що можна сказати про множники, якщо їх добуток дорівнює 0? Наведіть приклади.

343'. Обчисліть усно:

1) 15 ∙ 2;

2) 12 ∙ 3;

3) 26 ∙ 10;

4) 84 ∙ 1;

5) 0 ∙ 65;

6) 34 ∙ 100.

344'. Обчисліть усно зручним способом:

1) 9 ∙ 2 ∙ 5;

2) 25 ∙ 7 ∙ 4;

3) (2 ∙ 16) ∙ 5;

4) 25 ∙ (4 ∙ 22).

345'. Назвіть числовий коефіцієнт у виразі:

1) 2аb;

2) 4х ∙ 3у;

3) 2m ∙ 5n ∙ 3р.

346°. Якими діями можна збільшити число у 5 разів?

347°. Сума яких двох чисел дорівнює їх добутку? Сума яких двох чисел більша за їх добуток?

348°. Як зміниться результат дії множення а ∙ b = с, якщо:

1) число а зменшити у 2 рази;

2) число b збільшити у 3 рази?

349°. Як зміниться добуток двох чисел, якщо до кожного з них приписати нуль?

350°. Дано числа: 0, 1,2, 3, 4, 5. 6, 7, 8 і 9. Що більше: добуток цих чисел чи їх сума?

351°. Знайдіть значення виразу:

1) 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48;

2) 405 + 405 + 405 + 405 + 405;

3) 201 + 15 + 201 +201 + 201 + 15;

4) 82 + 12 + 12 + 82 + 82 + 82 + 82.

352°. Знайдіть значення виразу:

1) 17 + 17+ 17+ 17 + 17;

2) 45 + 123 + 123 + 45 + 123 + 123.

353°. Знайдіть добуток чисел:

1) 32 і 248;

2) 107 і 25;

3) 153 і 450;

4) 2985 і 124;

5) 204 і 2045;

6) 30 450 і 252;

7) 801 і 4019;

8) 459 810 і 4050.

354°. Виконайте множення:

1) 54 і 342;

2) 250 і 28;

3) 365 ∙ 2010;

4) 1025 ∙ 25 201.

355°. Обчисліть зручним способом:

1) 156 ∙ 2 ∙ 5;

2) 25 ∙ 37 ∙ 4;

3) 74 ∙ 125 ∙ 8;

4) (50 ∙ 68) ∙ 2;

5) 50 ∙ (245 ∙ 20);

6) 40 ∙ (496∙25).

356°. Обчисліть зручним способом

1) 2 ∙ 44 ∙ 5;

2) 40 ∙ 72 ∙ 25;

3) (241 ∙ 8) ∙ 125;

4) 20 ∙ (84 ∙ 5).

357°. Спростіть вираз:

1) 8 ∙ а ∙ 4 ∙ b;

2) 16 ∙ с ∙ 5 ∙ d;

3) m ∙ 5 ∙ n ∙ 12 ∙ 5;

4) 7х ∙ 5у ∙ 2;

5) 5p ∙ 3k ∙ 12?;

6) Заb ∙ 2с ∙ 10.

Назвіть числовий коефіцієнт в одержаному виразі.

358°. Спростіть вираз:

1) 6 ∙ а ∙ 20 ∙ b;

2) 8 ∙ с ∙ 5 ∙ d ∙ 2;

3) 4m ∙ 7n ∙ 2;

4) Зр ∙ 6k ∙ 4t.

Назвіть числовий коефіцієнт в одержаному виразі.

359°. У першому ящику 17 кг яблук, а в другому — у 3 рази більше. Скільки яблук у другому ящику?

360°. На першій полиці стоїть 12 книг, а на другій — у 2 рази більше. Скільки книг стоїть на другій полиці?

361°. Відрізок АВ поділено на 5 відрізків, довжина кожного з яких 2 см. Знайдіть довжину відрізка АВ.

362°. Відрізок СD поділено на 4 відрізки, довжина кожного з яких 3 см. Знайдіть довжину відрізка СD.

363°. Кут СОВ поділено на 5 кутів, градусна міра кожного з яких дорівнює 12°. Знайдіть градусну міру ∠ СОВ.

364°. Кут АОВ поділено на 4 кути, градусна міра кожного з яких дорівнює 20°. Знайдіть градусну міру ∠ АОВ.

365. Сергійко у 4 рази старший за свого брата Сашка й у 5 разів молодший від свого батька. Скільки років батьку, якщо Сашку — 2 роки?

366. Тетянка у 2 рази старша за свою сестричку Ганнусю й у 4 рази молодша від своєї мами. Скільки років матері, якщо Ганнусі — 5 років?

367. Учню необхідно помножити 58 на 67. Він перемножив окремо десятки і одержав 3000, а потім перемножив окремо одиниці й

одержав 56. Після цього він додав обидва добутки й одержав 3056. Чому він помилився?

368. Першого дня туристи подолали 15 км запланованого шляху, другого дня — у 3 рази більше, ніж першого, а третього дня — у 2 рази більше, ніж першого і другого дня разом. Яку відстань подолали туристи за три дні?

369°. Першого дня Тарасик прочитав 7 сторінок цікавої книги про подорожі, другого дня — у 2 рази більше, ніж першого, а третього дня — у 2 рази більше, ніж першого і другого дня разом. Скільки сторінок прочитав Тарасик за 3 дні?

370. Виконайте дії:

1) 12 год 24 хв · 2;

2) 6 хв 36 с · 5;

3) 2 м 50 см · 4;

4) 15 кг 50 г · 6.

371°. Виконайте дії:

1) 5 год 5 хв - 3;

2) 15 хв 30 с - 2;

3) 34 м 65 см - 3;

4) 30 кг 450 г · 4.

372*. Знайдіть три числа, сума яких дорівнює їх добутку.

373*. Добуток двох чисел у 8 разів більший за одне з них. Чи можна, знаючи це, знайти одне із чисел?

374*. Якою цифрою закінчується добуток:

101. 102 · 103 · 104 · 105 · 106 · 107 · 108 · 109?

375*. Сергійко перемножив усі натуральні числа від 1 до 50 включно. Скількома нулями закінчується добуток? Відповідь поясніть.

376*. При множенні двох двоцифрових чисел учень допустив помилку: у першому множнику замінив у цифрі одиниць 4 на 1, тому у відповіді одержав 525 замість 600. Які числа мав множити учень?

377*. Миколка і Василько мешкають в одному будинку. На кожному поверсі в усіх під’їздах по 4 квартири. Миколка живе на п’ятому поверсі у квартирі № 83, а Василько — на третьому поверсі у квартирі № 139. Скільки поверхів у цьому будинку?

Застосуйте на практиці

378. Спостерігач помітив, що через 5 с після того, як він побачив блискавку, | почувся удар грому. На якій відстані від спостерігача відбувається гроза, якщо швидкість звуку 330 м/с?

379. Тетянка порахувала, що в одному тижні 604 800 с. Перевірте, чи правильну відповідь одержала Тетянка.

380. У бак влили 100 банок води. У кожній банці поміститься 20 склянок води. 5 склянок складають 1 л. Скільки літрів води влили в бак?

381. Бабуся купила на базарі 4 кг яблук і 2 кг груш. Ціна 1 кг яблук — 15 грн, а груші удвічі дорожчі.

1) Знайдіть ціну 1 кг груш.

2) Що дорожче: яблука чи груші?

3) Скільки гривень бабуся заплатила за покупку?

4) Скільки гривень бабуся заплатила б за покупку, якби купила 2 кг яблук і 4 кг груш?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити