Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 3. Дії другого ступеня з натуральними числами

§ 12. Розподільний закон

1. Розподільний закон множення відносно додавання

Компоненти виразу, у якому є додавання і множення, можна групувати по-різному. Розглянемо приклад:

Виходить, що при множенні суми на число можна помножити на це число кожний доданок, а одержані результати додати.

Така властивість справджується для будь-яких чисел а, b і с. Її називають розподільним законом множення відносно додавання.

Запам'ятайте!

Розподільний закон множення відносно додавання Добуток суми і числа дорівнює сумі добутків кожного до данка і цього числа.

(а + b) · с = а · с + b · с

Чому дорівнює добуток різниці двох чисел і третього числа? Різниці добутків зменшуваного і третього числа та від’ємника і третього числа:

(а - b) · с = а · с - b · с.

2. Спрощення виразів

Розподільний закон множення також використовують для спрощення буквених виразів.

Задача 1. Спростіть вираз: 3 · (12 + m).

Розв'язання

Перетворимо добуток у суму згідно з розподільним законом:

3 · (12 + m) = 3 · 12 + 3 · m = 36 + 3m.

Перетворення виразу з дужками 3 · (12 + m) у вираз без дужок 36 + 3m називають розкриттям дужок.

Обернену дію, тобто перетворення суми або різниці в добуток, називають винесенням множника за дужки.

Задача 2. Винесіть множник за дужки:

1) 5с - 25с?;

2) 5а + За;

3) 10n + 5nm.

Розв'язання

1) У виразі 5с - 25d спільним є числовий множник 5. Застосувавши розподільний закон, винесемо його за дужки:

5с - 25 d = 5с - 5 · 5d = 5 (с - 5d).

2) У виразі 5а + 3а спільним є буквений множник а. Винесемо його за дужки:

5а + За = а · (5 + 3) = а · 8 = 8а.

3) У виразі 10n + 5nm спільним є множник 5n. Винесемо його за дужки:

10n + 5nm = 2 · 5n + 5nm = 5n(2 + m).

3. Особливі способи множення

Помножити двоцифрове число на одноцифрове можна за допомогою розподільного закону множення відносно додавання. Наприклад:

26 · 9 = (20 + 6) · 8 = 20 · 8 + 6 · 8 = 160 + 48 = 208.

Цей добуток можна обчислити і в інший спосіб:

26 · 8 = (30 - 4) · 8 = 30 · 8 - 4 · 8 = 240 - 32 = 208.

Так само можна діяти, якщо треба помножити багатоцифрове число на одноцифрове. Наприклад:

425 · 4 = (400 + 20 + 5) · 4 = 400 · 4 + 20 · 4 + 5 · 4 = 1600 + 80 + 20 = 1700.

Дізнайтеся більше

До появи дужок у математичних творах ставили риски над виразом, якого вони стосувались, або ж під ним. Це було дуже незручно під час друкування. У 1550 році італійський математик P. Бомбеллі почав використовувати квадратні дужки, правда, писав замість дужок літеру L і перевернуту L. Круглі дужки з’явились у XVI ст. у працях німецького математика М. Штифеля, італійського математика Н. Тартальї та інших.

Назва «дужки» походить від німецького терміна «klammer», який увів Л. Ейлер 1770 року.

Словничок

Українська

Англійська

Німецька

Французька

множення

multiplication

Multiplication

multiplication

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Сформулюйте і запишіть розподільний закон множення відносно додавання.

2. Для чого використовують розподільний закон?

3. Що називають розкриттям дужок?

4. Що називають винесенням множника за дужки?

Розв'яжіть задачі

382’. Обчисліть усно, застосовуючи розподільний закон:

1) 7 · 8 + 7 · 2;

2) 6 · 9 + 4 · 9;

3) 17 · 28 - 7 · 28;

4) 21 · 25 - 21 · 15.

383'. Обчисліть усно, застосовуючи розподільний закон:

1) 12 · 2;

2) 26 · 2;

3) 18 · 3;

4) 23 · 4.

384°. Розкрийте дужки:

1) 5 · (а + 11);

2) c · (7 - d);

3) (2n + m) · 6;

4) (n - 5m) · р;

5) 3 · (5p + k + 6t);

6) (2p - 3k + 6t) · 2а.

385°. Розкрийте дужки:

1) 5 · (х + 11);

2) с · (12 - m);

3) (4с + d) · 8;

4) 6 · (p + 3k - 9t).

386°. Винесіть спільний множник за дужки:

1) 11а + 11b;

2) 4с + 12d;

3) 6n + 15m;

4) 12n + 18m;

5) 5р + 10k + 15t;

6) 8р + 10k + 6t.

387°. Винесіть спільний множник за дужки:

1) 9а + 9b;

2) 7с + 14d;

3) 18n + 12m;

4) 3p + 9k + 27t.

388°. Спростіть вираз:

1) 11а + 10а;

2) 14с - 12с;

3) 6n + 15n;

4) 12m + m;

5) 25р - 10р + 15р;

6) 8K + 10k - k.

389°. Спростіть вираз:

1) 5b + 9b;

2) 17d - 4d;

3) n + 12n;

4) 3к - к + 7к.

390. Обчисліть зручним способом:

1) 45 · 73 + 45 · 23;

2) 32 · 65 + 68 · 65;

3) 78 · 123 - 78 · 23;

4) 251 · 49 - 151 · 49;

5) 72 · 24 + 72 · 26;

6) 68 · 41 - 48 · 41.

391°. Обчисліть зручним способом:

1) 31 · 61 + 31 · 39;

2) 115 · 17 - 15 · 17;

3) 48 · 62 - 28 · 62;

4) 45 · 13 + 45 · 17.

392. Чи правий був Сергійко, коли стверджував, що може знайти, не виконуючи множення, наскільки 265 · 28 менше, ніж 265 · 38? Відповідь поясніть.

393. Спростіть вираз:

1) 6 · (a + 5) + 10;

2) (y + 4) · 12 + 5y;

3) 4 · (с + d) + 10с + 5d?;

4) 14 · (m + n) + 9 · (m + n);

5) (Зm + 2) · 6 + (Зm - 2) · 9;

6) (4m + 5) · 2 + 5- (m - 2).

394°. Спростіть вираз:

1) 4 · (7 + а) + 12;

2) (5 + y) · 7 + 6у;

3) 4 · (с + d) + 8 · (с - d);

4) (2m + 5) · 3 + 3 · (Зm - 5).

395. Обчисліть зручним способом:

1) 345 · 73 + 23 · 25 + 345 - 27 + 77 · 25;

2) 32 · 65 - 65 · 29 + 29 · 62 - 62 · 26 + 26 · 59 - 59 · 23 + 23 · 56 - 56 · 20 + 20 - 53 - 53 · 17 + 17 · 50 - 50 - 14.

396°. Обчисліть зручним способом:

1) 162 · 54 + 12 · 18 + 88 · 18 + 162 · 46;

2) 15 · 34 - 15 · 14 + 10 · 25- 15 · 10 + 10 · 75.

397. Знайдіть значення виразу:

1) 5а + 5b, якщо а + b = 28;

2) х · 11 + у · 11, якщо х + у = 17;

3) 2с - 6d, якщо с - Зd = 25;

4) 10m - 15n, якщо 2m - 3n- 20.

398. Що потрібно поставити замість зірочок, щоб одержати правильні рівності?

1)7 · (5 + 8) =7 · * + * · 8;

2) * · (12 - 5) = * - 15.

399°. Що потрібно поставити замість зірочок, щоб одержати правильні рівності?

1) (* - *) · 11 = 88 - 66m;

2) (15 + *) · 4 = * + 4а.

400. Знайдіть помилку в розв’язанні:

1) 5 · (а + 2) + 7 · (a + 10) = 5а + 2 + 7а + 10= 12а + 12;

2) 4 · (6 + 3) + 2 · (8 - b) = 46 + 12 + 16 + 2b = 6b + 28.

401*. Добуток чисел 17 і 18 можна знайти в такий спосіб:

17 + 8 = 25;

25 · 10 = 250;

7 · 8 = 56;

250 + 56 = 306.

Отже, 17 · 18 = 306.

Цей спосіб множення можна застосувати до чисел, менших від 20. Поясніть, чому так можна діяти.

402*. Знайдіть помилку в міркуваннях:

«Розглянемо правильну числову рівність: 35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54. Застосуємо розподільний закон: 5 · (7 + 2 - 9) = 6 · (7 + 2 - 9). Поділимо обидві частини цієї рівності на множник (7 + 2 - 9). Одержимо: 5 = 6».

Застосуйте на практиці

403. Годиннику з боєм знадобиться 30 с, щоб пробити шість годин. Скільки секунд годинник буде пробивати дванадцять годин?

404. Відомо, що дріжджові бактерії розмножуються з великою швидкістю, збільшуючи кількість удвічі за кожну хвилину. У пробірку помістили одну дріжджову бактерію, яка, розмножуючись, заповнила пробірку за 30 хв.

За скільки хвилин заповнять пробірку дві дріжджові бактерії?

405. Для приготування рисової каші на частину рису беруть дві частини води.

1) Скільки грамів води потрібно взяти на 100 г рису?

2) Скільки грамів води потрібно взяти для приготування 500 г рису (випаровуванням знехтувати)?

3) Чи можна для полегшення розрахунків у другій задачі використати результат першої? Відповідь поясніть.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити