Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 3. Дії другого ступеня з натуральними числами

§ 13. Ділення натуральних чисел

1. Дія ділення та її компоненти

Для поділу декількох предметів на однакові купки використовують дію ділення.

Запам'ятайте!

Поділити одне число на інше — означає знайти таке третє число, яке в добутку з другим дає перше.

а : b = с, бо с · b = а

Наприклад, під час ділення 8 груш на 2 купки одержали:

8 : 2 = 4, оскільки 4 · 2 = 8.

Ділення — це арифметична дія другого ступеня.

Зверніть увагу

Оскільки для будь-якого числа а виконується рівність: а · 1 = а, то:

а : 1 = а для будь-якого а;

а : а = 1, якщо а ≠ 0.

Множення і ділення — взаємно обернені дії. Саме тому множення перевіряють діленням, а ділення — множенням.

Чи завжди одне натуральне число можна поділити на інше націло? Не завжди. Наприклад, частку 5 : 3 неможливо виразити натуральним числом, оскільки не існує такого натурального числа, яке в добутку з числом 3 дає число 5.

2. Ділення і число 0

Чи можна знайти частку 0 : 0? Ні. Справді, помноживши будь-яке число а на 0, одержимо в добутку 0: а · 0 = 0.

Але число а може бути яким завгодно і таких чисел — безліч. Тому вважають, що частка 0 : 0 — не визначена.

Чи можна знайти частку 5 : 0? Ні. Справді, за змістом ділення для цього потрібно знайти таке число х, яке в добутку з числом 0 дасть число 5, тобто: x · 0 = 5. Але такого числа х не існує. Тому частки 5 : 0 не існує.

Узагалі вважають, що дія ділення на 0 не має змісту. Тому: на 0 ділити не можна!

Зверніть увагу

1) Добуток двох натуральних чисел можна знайти завжди;

2) частку двох натуральних чисел не завжди можна виразити натуральним числом;

3) на 0 ділити не можна.

Чи можна знайти частку 0 : 5? Так. Якщо число 0 поділити на будь-яке число, відмінне від нуля, то в частці одержимо 0:

0 : а = 0, якщо а ≠ 0.

3. Ділення багатоцифрових чисел

Багатоцифрові числа зручніше ділити у стовпчик. Ділення виконують порозрядно, починаючи з найстаршого розряду.

Задача 1. Знайдіть частку чисел:

1) 1 245 675 : 25;

2) 2 118 150 : 523.

Розв'язання

4. Особливі способи ділення

Зверніть увагу

Щоб поділити натуральні числа, які закінчуються нулями, треба:

1) закреслити однакову кількість нулів у кінці діленого й дільника;

2) виконати ділення.

Наприклад:

Щоб поділити число на 4, можна це число двічі поділити навпіл.

Наприклад, 108 : 4 = 108 : 2 : 2 = 54 : 2 = 27.

За допомогою дії ділення можна виконувати множення.

Зверніть увагу

1) Щоб помножити число на 5, можна число поділити навпіл і помножити на 10;

2) щоб помножити число на 25, можна число поділити на 4 і помножити на 100.

Наприклад,

1) 38 · 5 = 38 : 2 · 10 = 19 · 10 = 190;

2) 16 · 25 = 16 : 4 · 100 = 4 · 100 = 400.

5. Основні задачі на ділення

Задача 2. В Оленки є 10 грн. На скільки цукерок їй вистачить грошей, якщо одна цукерка коштує 2 грн?

Розв'язання. Позначимо кількість цукерок, яку зможе купити Оленка, буквою к. Тоді, за умовою задачі, одержимо: k · 2=10. Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник: k = 10 : 2. Звідси к = 5. Отже, Оленка зможе купити 5 цукерок.

Задача 3. Морозиво коштує 6 грн, а цукерка — у 2 рази дешевша від морозива. Скільки коштує цукерка?

Розв'язання. Щоб знайти ціну цукерки, треба ціну морозива зменшити у 2 рази: 6 : 2 = 3 (грн). Отже, цукерка коштує 3 грн.

Задача 4. В Оксанки 15 цукерок, а у Сергійка — 5 цукерок. У скільки разів більше цукерок в Оксанки, ніж у Сергійка?

Розв'язання. Щоб відповісти на запитання задачі, треба кількість цукерок, що має Оксанка, поділити на кількість цукерок, що є у Сергійка: 15 : 5 = 3 (р.). Отже, в Оксанки цукероку 3 рази більше.

Зверніть увагу

За допомогою ділення:

1) за відомим добутком і одним із множників знаходять інший множник;

2) дане число зменшують у вказану кількість разів;

3) з’ясовують, у скільки разів одне число більше за друге або менше від нього.

Дізнайтеся більше

Для обчислення частки чисел у нагоді можуть стати такі властивості ділення.

1. Щоб добуток двох чисел поділити на третє число, можна поділити на це число один із множників, а потім частку помножити на інший множник:

(а · b): с = (а : с) · b.

Наприклад, (36 · 15) : 9 = (36 : 9) · 15 = 4 · 15 = 60.

2. Щоб частку двох чисел поділити на третє число, можна ділене поділити на добуток двох дільників:

(а : b) : с = а : (b · с).

Наприклад, (250 : 2) : 5 = 250 : (2 · 5) = 250 : 10 = 25.

3. Щоб суму двох чисел поділити натрете число, можна поділити на це число кожен із доданків, а потім одержані частки додати:

(а + b) : с = а : с + b : с.

Наприклад, (81 + 45) : 9 = 81 : 9 + 45 : 9 = 9 + 5 = 14.

Дана властивість діє і для різниці двох чисел:

(а - b) : с = а : с - b : с.

Наприклад, (81 - 45) : 9 = 81 : 9 + 45 : 9 = 9 - 5 = 4.

Словничок

Українська

Англійська

Німецька

Французька

ділене

divided

Geteilt

divided

дільник

divider

Teiler

diviseur

частка

fraction

Teilen

partager

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Назвіть компоненти дії ділення.

2. Як називають результат дії ділення?

3. Що буде результатом ділення, якщо ділене дорівнює 0? А дільник?

4. Що буде результатом ділення, якщо дільник дорівнює діленому?

5. Що буде результатом ділення, якщо дільник дорівнює 1?

6. Як поділити натуральні числа, що закінчуються нулями?

Розв'яжіть задачі

406’. У рівності 100 : 25 = 4 назвіть: 1) ділене; 2) дільник; 3) частку.

407’. Чи правильно, що множення і ділення — взаємно обернені дії? Відповідь поясніть на прикладі.

408’. Сергійко сказав, що на 0 ділити не можна, а Юрко — що на 0 множити не можна. Хто із хлопчиків помиляється?

409’. Обчисліть усно:

1) 80 : 20;

2) 4500 : 500;

3) 200 : 40;

4) 0 : 46;

5) 48 : 48;

6) 34:14;

7) 38 : 2;

8) 148 : 2;

9) 64 : 4.

410°. Як зміниться результат дії ділення а : b = с, якщо число b збільшити у 3 рази?

411°. Ділене закінчується трьома нулями, а дільник — двома. Скількома нулями може закінчуватися частка?

412°. Чи зміниться частка, якщо в кінці діленого і дільника приписати нуль?

413°. Знайдіть частку чисел:

1) 782 і 23;

2) 7000 і 28;

3) 9840 і 1230;

4) 143 594 і 107;

5) 81 225 і 285;

6) 2 923 095 і 679;

414°. Виконайте ділення:

1) 12 180 : 42;

2) 22 250 : 250;

3) 5555 : 101;

4) 10 800 : 120;

5) 66 690 : 702;

6) 21 1 890 : 2018.

7) 2 076 162 і 5478;

8) 432 540 і 4005.

415°. За дванадцять зошитів у клітинку Ганнуся заплатила 14 грн 40 к. Скільки коштує один такий зошит?

416°. Поїзд, що складається з 15 однакових вагонів, може за одну поїздку перевезти 540 пасажирів. Скільки місць в одному такому вагоні?

417°. Відрізок АВ завдовжки 22 см поділено на 11 рівних відрізків. Знайдіть довжину відрізків, на які поділено відрізок АВ.

418°. Відрізок СD завдовжки 24 см поділено на 8 рівних відрізків. Знайдіть довжину відрізків, на які поділено відрізок СD.

419°. Кут COD, градусна міра якого дорівнює 108°, поділено на 4 рівні частини. Знайдіть градусну міру одного з одержаних кутів.

420°.Кут АОВ, градусна міра якого дорівнює 96°, поділено на 3 рівні частини. Знайдіть градусну міру одного з одержаних кутів.

421. Виконайте дії:

1) 12 год 30 хв : 6;

2) 10 м 50 см : 4;

3) 5кг 100г : 3.

422°. Виконайте дії:

1) 2 год 20 с : 2;

2) 4 кг 40 г : 8.

423. Кілограм цукерок коштує 26 грн, а кілограм печива — у 2 рази дешевше від цукерок. Скільки коштують 5 кг печива?

424. Альбом коштує 8 грн, а зошит у 4 рази дешевший від альбома. Скільки коштують 20 таких зошитів?

425. За три дні туристи подолали 48 км. Першого дня вони проїхали половину запланованого шляху, другого дня — відстань у 2 рази меншу, ніж першого дня. Яку відстань подолали туристи за третій день?

426. На трьох полицях 82 книги. На першій полиці стоїть 48 книг, а на другій — у 2 рази менше, ніж на першій полиці. Скільки книг стоїть на третій полиці?

427. За 25 днів на фабриці планували пошити 300 костюмів. Проте кожного дня шили на 3 костюми більше, ніж планували. За скільки днів на фабриці виконають план?

428. Під час весняних канікул Сергійко планував розв’язати 40 задач з математики за 5 днів. Проте він кожного дня розв’язував на 2 задачі більше. За скільки днів Сергійко розв’язав усі задачі?

429*. Знайдіть помилку в міркуваннях: «Розглянемо правильну рівність: 4 : 4 = 5 : 5.

Застосуємо розподільну властивість: 4 · (1 : 1) = 5 · (1 : 1).

(1 : 1) = (1 : 1), тому 4 = 5».

430*. Число m у 15 разів більше за натуральне число n. Чому дорівнює:

1) m : n;

2) m : 3n;

3) 2m : n;

4) Зm : 5.

431*. Порівняйте натуральні числа а і b, якщо:

1) а + 5 = b;

2) а = 4 · b;

3) а = b - 7;

4) а : 2 = b.

432*. Знайдіть усі двоцифрові числа, які зменшаться в 14 разів, якщо закреслити їх останню цифру.

433*. Знайдіть трицифрове число, яке зменшиться у 10 разів, якщо закреслити його середню цифру. Застосуйте на практиці

434. Під час руху навколо Сонця за добу Земля переміщується на 2 592 000 км. На яку відстань переміщується Земля за 1 год?

435. Скільки років становлять мільярд секунд?

436. Для приготування варення з малини на 3 частини ягід беруть 2 частини цукру.

1) Скільки цукру потрібно взяти для приготування 3 кг 600 г малини?

2) Скільки кілограмів малини було у бабусі, якщо для приготування варення вона використала 4 кг цукру?

3) Знайдіть вартість приготовленого варення, якщо 1 кг малини коштує 25 грн, а 1 кг цукру — 15 грн.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити