Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 3. Дії другого ступеня з натуральними числами

§ 17. Типи задач та способи їх розв'язування

image1

Під час розв'язування задач важливо знати, які є типи задач, якими способами їх можна розв'язувати та яким з них краще скористатися.

Задачі поділяють за кількістю величин: на одну, дві або три величини.

Кожну задачу можна розв'язати за діями (арифметичний спосіб) або склавши рівняння (алгебраїчний спосіб).

1. Задачі з однією величиною

Задача 1. На полиці стояли книги. Після того, як з полиці взяли 12 книг, а поставили — 9, книг на полиці стало 39. Скільки книг стояло на полиці спочатку?

Розв'язання

Було

Взяли

Поставили

Стало

?

12 книг

9 книг

39 книг

Арифметичний спосіб

Кількість книг на полиці змінювали двічі.

1) 39 - 9 = 30 (кн.) — стояло перед другою зміною;

2) 30 + 12 = 42 (кн.) — було спочатку.

Отже, спочатку на полиці стояли 42 книги.

Алгебраїчний спосіб

image2

image3

2. Задачі з двома однойменними величинами

Задача 2. На двох полицях стоять 72 книги. Скільки книг на кожній полиці, якщо на другій полиці книг у 2 рази більше, ніж на першій?

Розв'язання

image4

Арифметичний спосіб

Книги, що стоять на першій полиці, становлять 1 частину, а на другій полиці — 2 такі частини.

1) 1 +2 = 3 (част.) — становлять 72 книги;

2) 72 : 3 = 24 (кн.) — на 1-й полиці;

3) 24 ∙ 2 = 48 (кн.) — на 2-й полиці.

Отже, на 1 -й полиці стоять 24 книги, а на 2-й полиці — 48 книг. Алгебраїчний спосіб

Нехай х — кількість книг, що стоять на 1-й полиці, тоді 2х — кількість книг, що стоять на 2-й полиці. Складемо та розв’яжемо рівняння:

х + 2х = 72,

Зх = 72,

х = 72 : 3,

х = 24.

Отже, якщо на 1-й полиці стоїть 24 книги, то на 2-й полиці — 2 ∙ 24 = = 48 (кн.).

3. Задачі з трьома залежними величинами

До задач на три величини відносять задачі:

1) на вартість;

2) на роботу;

3) на рух.

У таких задачах одна величина дорівнює добутку двох інших і таку залежність можна задати формулою.

3.1. Задачі на вартість

Зверніть увагу

Вартість покупки знаходять як добуток ціни товару на його кількість: С = а ∙ n, де С — вартість, а — ціна, n — кількість.

Задача 3. За 2 кг яблук і 3 кг груш заплатили 65 грн. Скільки коштує кілограм яблук, якщо ціна кілограма груш — 15 грн?

Розв'язання

image5

Арифметичний спосіб

1) 15 ∙ 3 = 45 (грн) — вартість груш;

2) 65 - 45 = 20 (грн) — вартість яблук;

3) 20 : 2 = 10 (грн) — ціна 1 кг яблук.

Отже, 1 кг яблук коштує 10 грн.

Алгебраїчний спосіб

Нехай х — вартість 1 кг яблук. Складемо і розв’яжемо рівняння:

х 2 + 15 ∙ 3 = 65,

2х + 45 = 65,

2х = 65 - 45,

2х = 20,

x = 20 : 2,

х = 10.

Отже, 1 кг яблук коштує 10 грн.

3.2. Задачі на роботу

Зверніть увагу

Обсяг виконаної роботи знаходять як добуток продуктивності праці на час: А = р ∙ t, де А — обсяг роботи, р — продуктивність праці, t — час роботи.

Задача 4. Необхідно виготовити 24 деталі. Один майстер може виконати завдання за 3 год. Знайдіть час, необхідний для виконання цього завдання другим майстром, якщо за годину він виконує на 2 деталі менше, ніж перший майстер.

Розв'язання

Майстри

Продуктивність праці

Час

Робота

1 майстер

?

3 год

24 дет.

2 майстер

?, на 2 деталі менше, ніж 1 майстер

?

24 дет.

Арифметичний спосіб

1) 24 : 3 = 8 (дет./год) — продуктивність праці 1-го майстра;

2) 8 - 2 = 6 (дет./год) — продуктивність праці 2-го майстра;

3) 24 : 6 = 4 (год) — час роботи 2-го майстра.

Отже, для виконання завдання 2-му майстру потрібно 4 год.

Алгебраїчний спосіб

Нехай х — час, потрібний 2-му майстру на виконання завдання. Складемо і розв’яжемо рівняння:

(24 : 3 - 2) - х = 24,

6х = 24,

х = 24 : 6,

х = 4.

Отже, для виконання завдання 2-му майстру потрібно 4 год.

3.3. Задачі на рух

Зверніть увагу

Шлях знаходять як добуток швидкості на час: S = v ∙ t, де S — шлях, v — швидкість, t — час.

Задача 5. Два велосипедисти одночасно виїхали назустріч один одному із сіл, відстань між якими становить 50 км. Зустрілися вони через 2 год. Перший їхав зі швидкістю 12 км/год. Знайдіть швидкість другого велосипедиста.

Розв'язання

image6

Короткий запис можна подати у вигляді графічної моделі (мал. 126).

image7

Мал. 126

Арифметичний спосіб

1) 12 ∙ 2 = 24 (км) — шлях 1-го велосипедиста;

2) 50 - 24 = 26 (км) — шлях 2-го велосипедиста;

3) 26 : 2 = 13 (км/год) — швидкість 2-го велосипедиста.

Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.

Цю задачу можна розв'язати арифметичним способом і по-іншому.

1) 50 : 2 = 25 (км/год) — швидкість зближення;

2) 25 - 12 = 13 (км/год) — швидкість 2-го велосипедиста.

Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.

Алгебраїчний спосіб

Нехай х — швидкість другого велосипедиста.

Складемо і розв’яжемо рівняння:

12 - 2 + х ∙ 2 = 50,

24 + 2х = 50,

2х = 50 - 24,

2х = 26, х = 26 : 2,

х = 13.

Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.

Зверніть увагу

1) Під час зустрічного руху швидкість зближення дорівнює сумі швидкостей учасників руху;

2) під час руху в протилежних напрямках швидкість віддалення дорівнює сумі швидкостей учасників руху;

3) під час руху в одному напрямку швидкість зближення (чи віддалення) дорівнює різниці швидкостей учасників руху.

Задача 6. Катер проплив 51 км за течією річки і витратив на це 3 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 15 км/год.

Розв'язання

Швидкість катера за течією річки дорівнює сумі власної швидкості катера і швидкості течії річки.

Рух

Швидкість

Час

Шлях

За течією

15 + ?

Згод

51 км

Арифметичний спосіб

1) 51 : 3 = 17 (км/год) — швидкість катера за течією;

2) 17 - 15 = 2 (км/год) — швидкість течії.

Отже, швидкість течії річки 2 км/год.

Алгебраїчний спосіб

Нехай х — швидкість течії річки. Складемо і розв’яжемо рівняння:

(15 + х) ∙ 3 = 51,

15 + х = 51 : 3,

15 + х= 17,

х =17 - 15,

х = 2.

Отже, швидкість течії річки 2 км/год.

Зверніть увагу

1) швидкість судна за течією річки дорівнює сумі власної швидкості судна і швидкості течії річки;

2) швидкість судна проти течії річки дорівнює різниці власної швидкості судна і швидкості течії річки.

Дізнайтеся більше

Одним із найбільш відомих підручників з математики, за яким навчалися розв’язувати задачі протягом двох століть, є «Арифметика» Леонтія Пилиповича Магницького (1669-1739). Цей підручник вийшов друком 1703 року тиражем 2400 примірників і призначався для майбутніх офіцерів армії і флоту, які навчались у Школі навігаційних і математичних наук. Книга була написана простою, образною і зрозумілою мовою. Вивчати за нею математику, за наявності початкових знань, можна було і самостійно. У книзі, яка містить більш ніж 600 сторінок, автор докладно розглянув арифметичні дії з цілими і дробовими числами, дав відомості про грошові розрахунки, вимірювання та зважування, включив багато практичних задач.

Дізнайтеся більше

Леонтій Пилипович прагнув дохідливо роз’яснити математичні правила і викликати в учнів інтерес до навчання. Навіть складні задачі він намагався формулювати так, щоб вони нагадували веселі історії з хитромудрим математичним сюжетом.

Словничок

Українська

Англійська

Німецька

Французька

задача

task

Aufgabe

tâche

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Поясніть, як розв’язують задачі за допомогою арифметичного способу.

2. Поясніть, як розв’язують задачі за допомогою алгебраїчного способу.

3. Поясніть, як розв’язують задачі на вартість.

4. Поясніть, як розв’язують задачі на роботу.

5. Поясніть, як розв’язують задачі на рух.

6. Поясніть, як розв’язують задачі на рух за течією річки; проти течії річки.

Розв'яжіть задачі

509’. Розв’яжіть задачу усно. Сергійко задумав число. Якщо це число помножити на 8, а до добутку додати 10, то одержимо 34. Яке число задумав Сергійко?

510’. Знайдіть ціну цукерок, якщо:

1) за 2 кг заплатили 40 грн;

2) за 3 кг заплатили 36 грн;

3) за 4 кг заплатили 100 грн.

511’. Знайдіть продуктивність праці токаря, якщо:

1) за 2 год він виточує 8 деталей;

2) за 4 год він виточує 40 деталей;

3) за 2 дні він виточує 60 деталей.

512’. Знайдіть швидкість руху автобуса, якщо:

1) за 1 год він проїжджає 60 км;

2) за 2 год він проїжджає 120 км;

3) за 4 год він проїжджає 240 км.

513’. Знайдіть швидкість руху катера за течією річки і проти течії, якщо:

1) власна швидкість катера 12 км/год, а швидкість течії — 4 км/год;

2) власна швидкість катера 14 км/год, а швидкість течії—5 км/год;

3) власна швидкість катера 15 км/год, а швидкість течії — 2 км/год.

514’. Складіть рівняння до задач.

1) У кошику лежали яблука. Після того, як до кошика поклали 8 яблук, у кошику їх стало 19. Скільки яблук було у кошику спочатку?

2) У кошику лежали яблука. Після того, як із кошика взяли 7 яблук, у кошику їх залишилося 12. Скільки яблук було у кошику спочатку?

3) У кошику лежали яблука. Після того, як до кошика поклали яблук у 2 рази більше, ніж їх було спочатку, то у кошику яблук стало 18. Скільки яблук було у кошику спочатку?

4) У кошику лежали яблука. Після того, як до кошика поклали на 3 яблука менше, ніж їх було спочатку, то у кошику стало 20 яблук. Скільки яблук було у кошику спочатку?

515'. За таблицями 12-13 складіть рівняння.

Таблиця 12

Таблиця 13

516'. За малюнками 127-128 складіть рівняння.

Мал. 127

Мал. 128

517'. Учні 5-Б класу розв’язували алгебраїчним способом задачу: «Марійка задумала число. Якщо до цього числа додати 12, а результат помножити на 3, то одержимо 63. Яке число задумала Марійка?» У Тарасика вийшло рівняння х + 12 ∙ 3 = 63, а у Петрика — (х + 12) ∙ 3 = 63. Хто із хлопців склав рівняння правильно? Відповідь поясніть.

518°. Від задуманого числа відняли 16, різницю помножили на 12 і одержали число 108. Яке число задумали?

519°. Задумане число помножили на 4, до добутку додали 52 і одержали число 100. Яке число задумали?

520°. Знайдіть два послідовні числа, якщо їх сума дорівнює 283.

521°. Одне із чисел у 5 разів більше за інше. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 366.

522°. Сума двох чисел дорівнює 167. Одне із чисел на 27 більше за інше. Знайдіть ці числа.

523°. Одне із чисел у 7 разів менше від іншого. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 224.

524°. Різниця двох чисел дорівнює 189. Знайдіть ці числа, якщо одне з них у 10 разів менше від іншого.

525°. Одне із чисел у 12 разів більше за інше. Знайдіть ці числа, якщо різниця між ними дорівнює 132.

526°. Турист пройшов за два дні 40 км, причому за другий день він пройшов на 2 км більше, ніж за перший день, Скільки кілометрів турист пройшов за другий день?

527°. Тетянка на канікулах за два дні прочитала 20 сторінок цікавої книги. По скільки сторінок читала кожного дня Тетянка, якщо за перший день вона прочитала на 4 сторінки більше, ніж за другий день?

528°. Удвох п’ятих класах навчаються 48 учнів. У 5-А класі на 6 учнів більше, ніж у 5-Б класі. Скільки учнів навчається в кожному класі?

529°. У двох коробках є 36 цукерок. У першій коробці на 8 цукерок більше, ніж у другій. Скільки цукерок є в кожній коробці?

530°. За 5 зошитів і 3 ручки заплатили 25 грн. Скільки коштує зошит, якщо ціна ручки 5 грн?

531°. Купили 3 кг печива і 2 кг цукерок. За покупку заплатили 301 грн. Скільки коштує кілограм цукерок, якщо ціна 1 кг печива — 41 грн?

532°. У фруктовому саду необхідно посадити 12 дерев. Один робітник може виконати завдання за 6 год. Знайдіть час, необхідний для виконання цього завдання другим робітником, якщо за годину він саджає на 1 дерево більше, ніж перший робітник.

533°. На фабриці потрібно пошити 60 суконь. Одна майстриня може виконати це завдання за 20 днів. За скільки днів зможе виконати це завдання друга майстриня, якщо за день вона шиє на 1 сукню більше, ніж перша майстриня?

534°. Два автомобілі виїхали одночасно з Дніпра в протилежних напрямках. Перший автомобіль їхав зі швидкістю 70 км/год, а другий — зі швидкістю, на 10 км/год меншою, ніж перший автомобіль. На якій відстані один від одного будуть знаходитися автомобілі через 2 год після виїзду?

535°. Два автобуси одночасно і в протилежних напрямках виїхали із сіл, відстань між якими становить 30 км. Перший автобус їхав зі швидкістю 60 км/год, а другий — зі швидкістю, на 10 км/год більшою, ніж перший автобус. На якій відстані один від одного будуть знаходитись автобуси через 3 год після виїзду?

536°. Відстань від Вінниці до Києва становить 260 км. Два автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість першого автомобіля, якщо швидкість другого — 60 км/год.

537°. Відстань від Житомира до Черкас становить 320 км. Із цих міст одночасно виїхали два автомобілі назустріч один одному і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість другого автомобіля, якщо швидкість першого — 85 км/год.

538°. Відстань між двома пристанями 48 км. Швидкість течії річки 4 км/год. Скільки часу витратить катер, власна швидкість якого 12 км/год, на шлях від однієї пристані до іншої: 1) за течією; 2) проти течії?

539°. Катер курсує річкою між двома містами, відстань між якими 63 км. Власна швидкість катера 15 км/год, а швидкість течії — 6 км/год. Знайдіть, який час витратить катер на один рейс туди і назад.

540. Сума двох чисел дорівнює 246, а різниця — 32. Знайдіть ці числа.

541. Різниця двох чисел дорівнює 40, а сума — 200. Знайдіть ці числа.

542. Число 240 треба розкласти на три доданки так, щоб перший доданок був на 20 більший за другий, а третій — дорівнював би сумі двох перших. Знайдіть ці доданки.

543. Сума трьох чисел дорівнює 92. Різниця першого і другого дорівнює 5, а різниця другого і третього — 18. Знайдіть ці числа.

544. Сума двох чисел дорівнює 450, а їх частка дорівнює 8. Знайдіть ці числа.

545. Різниця двох чисел дорівнює 150, а їх частка дорівнює 4. Знайдіть ці числа.

546. На трьох полицях стоїть 96 книг. На другій полиці книг у 3 рази більше, ніж на першій полиці, а на третій полиці — на 2 книги менше, ніж на другій. Скільки книг стоїть на кожній полиці?

547. У трьох п'ятих класах навчається 74 учні. У 5-Б класі на 6 учнів більше, ніж у 5-А класі, а в 5-В — на 2 учня більше, ніж у 5-Б класі. Скільки учнів навчається в кожному класі?

548. Мама купила 6 кг цукерок двох видів за ціною 80 грн і 65 грн. Скільки кілограмів цукерок кожного виду купила мама, якщо покупка коштує 420 грн?

549. Купили 20 зошитів у лінію за ціною 2 грн і в клітинку за ціною 3 грн. Скільки купили зошитів у лінію і скільки у клітинку, якщо за покупку заплатили 45 грн?

550. За планом робітник повинен зробити 96 деталей за 12 днів. Проте він щодня робив на 4 деталі більше. Наскільки днів раніше робітник зможе виконати план?

551. За 15 днів кравчиня має пошити 30 костюмів. Проте вона щодня шила на 1 костюм більше. На скільки днів раніше кравчиня виконала завдання?

552. Із міста виїхав мотоцикліст зі швидкістю 40 км/год. Через 2 год у тому самому напрямку з міста виїхав автомобіль зі швидкістю 80 км/год. Через який час після виїзду автомобіль наздожене мотоцикліста? На якій відстані від міста це станеться?

553. Два велосипедисти одночасно і в одному напрямку виїхали з двох населених пунктів, відстань між якими 30 км. Перший їхав зі швидкістю 12 км/год, а другий — зі швидкістю, більшою на 2 км/год. На якій відстані один від одного будуть знаходитися велосипедисти через 2 год після виїзду?

554. Із містечка вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год. Через 3 год слідом за ним виїхав велосипедист зі швидкістю, більшою в 2 рази. За скільки годин велосипедист наздожене пішохода?

555. Відстань між двома пристанями 72 км. Катер долає цю відстань за течією річки за 6 год, а проти течії — за 9 год. Знайдіть швидкість течії річки і власну швидкість катера.

556. Відстань між двома пристанями 60 км. Моторний човен долає цю відстань за течією річки за 3 год, а проти течії — за 6 год. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки.

557. Сергійко спитав у батька: «Котра година?» Батько відповів: «Порахуй: до кінця доби залишилося втричі менше часу, ніж пройшло від її початку». Котра зараз година?

558. Через 18 років Петрик стане в 3 рази старший, ніж тепер. Скільки років Петрикові зараз?

559. Тарас привітав Лесю з днем народження. Його запитали, скільки років Лесі. Тарас відповів так: «Через три роки Леся буде удвічі старша, ніж три роки тому». Скільки років Лесі зараз?

560. Старовинна задача. Учень на запитання, скільки йому років, відповів: «Я в три рази молодший за свою матір і в чотири рази молодший за свого батька. Якщо до суми наших років, взятих разом, додати 12 років, то вийде рівно 100 років». Скільки років учневі, його матері та батькові?

561. Донька на 4 роки молодша від сина і в 4 рази молодша від мами, а син у 4 рази молодший від батька. Скільки років кожному, якщо їм усім разом 100 років?

562*. Старовинна задача. Поміщик, розраховуючи на те, що корова в 4 рази дорожча за собаку, а кінь у 4 рази дорожчий за корову, взяв 200 карбованців, коли поїхав на базар. На ці гроші він купив собаку, дві корови і коня. Скільки коштує кожна із тварин?

563*. Петрик і Миколка грали у шашки. Петрик замислився над своїм ходом, а Миколка тим часом порахував, що на дошці (64 клітинки) порожніх клітинок утричі більше, ніж зайнятих, і що у нього на 2 шашки більше, ніж у Петрика. Скільки шашок було у хлопчиків на той час?

564*. Старовинна задача. Дідусь говорить онукам: «Ось вам 130 горіхів. Поділіть їх на дві частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази». Як поділити горіхи?

565*. На шкільній олімпіаді з математики було запропоновано для розв’язування 7 задач. За кожну задачу, розв’язану правильно, нараховували 5 балів, а за кожну задачу, розв’язану неправильно, знімали З бали. Скільки задач правильно розв’язав Сашко, якщо він одержав на олімпіаді з математики 19 балів? Застосуйте на практиці

566. Складіть і розв’яжіть задачу про свій вік та вік інших членів власної родини.

567. Складіть і розв’яжіть задачу про кількість хлопців і дівчат у вашому класі.

568. Складіть і розв’яжіть задачу про купівлю печива і цукерок, якщо кілограм печива коштує 40 грн, а кілограм цукерок — 62 грн.

569. Складіть і розв’яжіть задачу про купівлю канцелярських товарів, потрібних вам для школи.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити