Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 4. Квадрат і куб числа. Площі та об'єми фігур

§ 20. Прямокутний паралелепіпед і куб. Об'єми

1. Прямокутний паралелепіпед

Подивіться на малюнок 138. Ви бачите різноманітні предмети, які використовують у побуті. Усі вони мають одну й ту саму форму — прямокутного паралелепіпеда (мал. 139).

Мал. 138

Мал. 139

Прямокутний паралелепіпед є просторовою фігурою. Він має три виміри — довжину, ширину і висоту. Це — довжини трьох ребер паралелепіпеда, що сходяться в одній вершині (мал. 141). Поверхню паралелепіпеда утворюють 6 прямокутників, які називають гранями.

Мал. 140

Мал. 141

Коротко говорять: прямокутний паралелепіпед із ребрами а, b і с.

Зверніть увагу

У прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, b і с (мал. 140):

• 8 вершин. 12 ребер і 6 граней;

• 4 ребра завдовжки а, 4 ребра завдовжки b і 4 ребра завдовжки с;

• протилежні грані — попарно рівні прямокутники зі сторонами а і b, b і с та а і с.

2. Куб

Із початкової школи ви знаєте особливий вид прямокутного паралелепіпеда — куб (мал. 142).

У нього всі ребра мають однакову довжину, а поверхню утворюють 6 квадратів.

Коротко говорять: куб із ребром а.

Чи кожен прямокутний паралелепіпед є кубом? Ні, оскільки існують прямокутні паралелепіпеди, в яких ребра не дорівнюють одне одному. Наприклад, прямокутний паралелепіпед на малюнку 141.

Мал. 142

Зверніть увагу

У куба з ребром а:

• 8 вершин, 12 ребер і б граней;

• усі ребра — рівні відрізки завдовжки а;

• усі грані — рівні квадрати зі стороною а.

3. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Уявіть кімнату з шафою і тумбочкою. Кожен предмет займає певну частину простору кімнати і ми можемо порівняти, який з них займає більше місця, а який — менше. Математики сказали б, що ми порівнюємо предмети за об’ємом, який вони займають у кімнаті.

Одиницею вимірювання об’єму вважають об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини. Такий куб називають одиничним кубом. У таблиці 19 ви бачите одиниці довжини і відповідні їм одиниці об’єму, якими ми користуємося.

Таблиця 19

Запис 1 см3 читають так: «один кубічний сантиметр».

Визначити об'єм прямокутного паралелепіпеда означає з’ясувати, скільки одиничних кубів у ньому вміщується (мал. 143). На малюнку 144 ви бачите, що в прямокутному паралелепіпеді з ребрами З см, 4 см і 5 см уміщується 60 одиничних кубів з об’ємом 1 см3. Це означає, що об’єм цього паралелепіпеда дорівнює 60 см3.

Мал. 143

Мал. 144

Коротко записують: V = 60 см3. Буквою V заміняють слово «об’єм».

Запам'ятайте!

Об'єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і с дорівнює добутку цих ребер.

V = abc

4. Об'єм куба

Чи можна за формулою об’єму прямокутного паралелепіпеда обчислити об’єм куба? Так, оскільки куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні (мал. 145). Якщо ребро куба дорівнює а, то його об’єм становить а ∙ а ∙ а = а3. Отже, одержали формулу об'єму куба.

Мал. 145

Запам'ятайте!

Об'єм куба з ребром а дорівнює кубу його ребра.

V = а3

Скориставшись формулою об’єму куба, одержимо зв’язок між одиницями вимірювання об’єму:

3 = 1000 дм3 = 1 000 000 см3 = 1 000 000 000 мм3.

5. Піраміда

Подивіться на малюнок 146. Ви бачите головоломку Рубіка й об’ємний пазл. Ці предмети мають особливу форму — піраміди. Головоломка Рубіка є прикладом трикутної піраміди (мал. 147), а об’ємний пазл — чотирикутної піраміди (мал. 148).

На відміну від прямокутного паралелепіпеда і куба, кількість вершин, ребер і граней не є однаковою для всіх пірамід, а залежить від того, якого виду піраміда. Про інші види пірамід і їх властивості ви дізнаєтесь у старшій школі.

Мал. 146

Мал. 147

Мал. 148

Дізнайтеся більше

1. Єгипетські піраміди — архітектурні пам’ятки Стародавнього Єгипту, серед яких одне із Семи чудес світу — піраміда Хеопса (мал. 149). Піраміди будувалися як гробниці для фараонів Стародавнього Єгипту.

2. Цікаво, що піраміди-усипальниці є і в Україні, на Полтавщині. Вони були збудовані під враженням від побачених піраміду Єгипті. На малюнку 20.17 зображено одну з таких пірамід, яка знаходиться в Березовій Рудці. її вік — більше ста років (1898-1899 рр.). Висота піраміди — 9 м.

3. Основною одиницею вимірювання об’ємів вважають кубічний дециметр. Для вимірювання об’єму рідини найчастіше використовують таку одиницю, як літр: 1 л = 1 дм3. Цікаво, що маса 1 л води становить 1 кг.

Мал. 149

Словничок

Українська

Англійська

Німецька

Французька

куб

cube

Würfel

cube

об’єм

volume

Volumen

volume

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Наведіть приклад із довкілля прямокутного паралелепіпеда; куба.

2. Що таке виміри прямокутного паралелепіпеда?

3. Яку форму мають грані куба?

4. Що таке одиничний куб?

5. Якими одиницями вимірюють об'єм?

6. Яка формула об’єму прямокутного паралелепіпеда?

7. Запишіть формулу об’єму куба.

8. Наведіть приклад піраміди, що зустрічається в довкіллі.

Розв'яжіть задачі

Мал. 150

631’. Дано прямокутний паралелепіпед (мал, 150 Скільки уданого паралелепіпеда:

1) вершин, ребер, граней;

2) ребер, що сходяться в одній вершині?

632’. Чи правильно, що грань прямокутного паралелепіпеда є:

1) трикутником;

2) прямокутником?

633'. Дано куб (мал. 151). Скільки у даного куба:

1) вершин, ребер, граней;

2) ребер, що сходяться в одній вершині?

634'. Чи правильно, що грань куба є:

1) трикутником;

2) квадратом?

Мал. 151

635*. Чи правильно, що об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами m, n і р можна знайти за формулою:

1) 2mnр;

2) 2m + 2n + 2р;

3) mnр?

636'. Чи правильно, що об’єм куба з ребром m дорівнює:

1) m3;

2) 4m;

3) m2?

637’. Наведіть приклад предметів із довкілля, які мають форму піраміди:

1) трикутної;

2) чотирикутної.

638°. На малюнку 152 зображено прямокутний паралелепіпед. З’ясуйте:

1) які виміри паралелепіпеда;

2) скільки ребер має паралелепіпед завдовжки З см; 4 см; б см;

3) яка сума довжин усіх ребер паралелепіпеда?

Мал. 152

Мал. 153

639°. На малюнку 153 зображено прямокутний паралелепіпед. З’ясуйте:

1) які виміри паралелепіпеда;

2) скільки ребер має паралелепіпед завдовжки 5 см; 6 см; 8 см;

3) яка сума довжин усіх ребер паралелепіпеда?

640°. Відомо, що сума довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60 см. Знайдіть висоту, якщо ширина паралелепіпеда дорівнює 12 см, а довжина — 25 см.

641°. У прямокутного паралелепіпеда виміри m, n і р. За даними таблиці 20 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 20

m

4 см

7 см

8 м

2 м

6 м

10 м

n

6 см

3 см

10 м

8 м

6 м

2 м

p

5 см

3 см

6 м

4 м

4 м

2 м

Сума довжин усіх ребер

642°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7 см, ширина — у 2 рази більша за висоту, довжина — на 10 см більша за ширину. Знайдіть ширину і довжину прямокутного паралелепіпеда.

643°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, ширина — у 3 рази більша за висоту, довжина — у 2 рази більша за ширину. Знайдіть ширину і довжину прямокутного паралелепіпеда.

644'. На малюнку 154 зображено куб. З’ясуйте:

1) яка висота куба; ширина; довжина;

2) скільки у куба ребер завдовжки 10 см;

3) яка сума довжин усіх ребер куба;

4) які площі мають грані куба?

645°. На малюнку 155 зображено куб. З’ясуйте:

1) яка висота куба; ширина; довжина;

2) скільки у куба ребер завдовжки 7 см;

3) яка сума довжин усіх ребер куба;

4) які площі мають грані куба?

Мал. 154

мал. 155

646°. Довжина ребра куба дорівнює 5 см. Знайдіть:

1) периметр однієї грані куба;

2) площу однієї грані куба.

647°. Периметр однієї грані куба дорівнює 64 см, Знайдіть довжину ребра куба.

648°. Довжина ребра куба дорівнює а. Запишіть формулу для знаходження суми довжин усіх ребер куба.

649°. Довжина ребра куба дорівнює а. Запишіть формулу для знаходження суми площ усіх граней куба.

650°. У прямокутного паралелепіпеда виміри n, m і р. За даними таблиці 21 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 21

n

4 см

7 см

8 м

2 м

6 м

m

6 см

3 см

10 м

8 м

6 м

p

5 см

3 см

6 м

4 м

4 м

Об’єм паралелепіпеда

651°. Прямокутний паралелепіпед має виміри 10 см, 2 см, 2 см. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

652°. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 124 см3. Чи можуть ребра прямокутного паралелепіпеда дорівнювати:

1) 2 см, 12 см і 100 см;

2) 2 см, 31 см і 2 см;

3) 4 см, 31 см і 1 см?

653°. Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед із ребрами:

1) 3 см, 4 см, 6 см;

2) 10 см, 5 см, 2 см?

654°. Знайдіть висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 1000 см3, а ширина і довжина дорівнюють 125 см і 8 см.

655°. Знайдіть довжину прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 720 см3, а ширина і висота дорівнюють 15 см і 24 см.

656°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, ширина — у 3 рази менша від висоти, а довжина — на 13 см більша за висоту. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

657°. Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10 см, довжина — у 2 рази більша за ширину, а висота — на 15 см більша за ширину. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

658°. Ребро куба дорівнює а см. Обчисліть об’єм куба, якщо:

1) а = 3;

2) а = 5;

3) а = 6;

4) а=10.

659°. Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює:

1) 2м;

2) 4см.

660°. У скільки разів об’єм куба з ребром 2 см більший за об’єм куба з ребром 1 см?

661°. На скільки об’єм куба з ребром 12 см більший за об’єм куба з ребром 5 см?

662°. Запишіть 2 дм3:

1) у кубічних сантиметрах;

2) у кубічних міліметрах.

663°. Запишіть 7 м3:

1) у кубічних дециметрах;

2) у кубічних сантиметрах;

3) у кубічних міліметрах.

664°. Виразіть у кубічних метрах:

1) 5 000 000 см3;

2) 780 000 000 см3;

3) 60 000 дм3.

665°. Виразіть у кубічних сантиметрах:

1) 20 000 мм3;

2) 1 900 000 мм3;

3) 400 000 000 мм3.

666°. Дано піраміду (мал. 156). За малюнком з’ясуйте:

1) скільки всього вершин, ребер, граней у піраміди;

2) форму якої фігури мають грані піраміди?

Мал. 156

667°. Дано піраміду (мал. 157). За малюнком з’ясуйте:

1) скільки всього вершин, ребер, граней у піраміди;

2) форму якої фігури мають грані піраміди?

Мал.157

668. Знайдіть площі усіх граней прямокутного паралелепіпеда з вимірами 12 см, 5 см, 3 см,

669 Знайдіть площі усіх граней прямокутного паралелепіпеда з вимірами 9 см, 10 см, 4 см.

670. Сума довжин двох ребер куба дорівнює 18 см, Знайдіть суму:

1) довжин усіх ребер куба;

2) площу грані куба.

671. Довжина ребра куба дорівнює 8 см. Знайдіть суму:

1) довжин усіх ребер куба;

2) площу грані куба.

672. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 60 см. Довжина ребра іншого куба удвічі більша. Знайдіть довжину ребра другого куба.

673. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 36 см. Довжина ребра іншого куба утричі більша. Знайдіть довжину ребра другого куба.

674. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 2 см, 5 м і 10 дм.

675. Довжина прямокутного паралелепіпеда у 2 рази більша за висоту, а ширина — на 10 см більша за висоту. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сума його довжини, ширини і висоти дорівнює 50 см.

676. Довжина прямокутного паралелепіпеда на 8 см більша за висоту, а ширина — на 2 см більша за висоту. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сума його довжини, ширини і висоти дорівнює 40 см.

677. Знайдіть об’єм куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює:

1) 84 м;

2) 144 см.

678. Знайдіть об’єм куба, якщо периметр однієї його грані дорівнює:

1) 32 м;

2) 48 см.

679. Скільки км3 одержали, якщо 10 м3 п’ять разів помножили на 100?

680. Запишіть 100 м3 2 дм3 15 см3:

1) у кубічних міліметрах;

2) у кубічних сантиметрах.

681. Сума довжин ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 64 м. Знайдіть довжини його ребер, якщо у нього один із вимірів на 3 см більший за другий і на 20 см менший від третього.

682. Обчисліть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин ребер однієї грані дорівнює 20 см.

683. Обчисліть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 144 см.

684. У чотирикутної піраміди всі її ребра рівні, кожне з них дорівнює 5 см. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди.

685. У трикутної піраміди всі її ребра рівні, кожне з них дорівнює 8 см. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди.

686. У чотирикутної піраміди всі її ребра рівні, а їх сума дорівнює 32 см. Знайдіть довжину ребра піраміди.

687. У трикутної піраміди всі її ребра рівні, а їх сума дорівнює 42 см. Знайдіть довжину ребра піраміди.

688*. Периметри двох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 34 см і 26 см, довжина їх спільного ребра дорівнює 9 см. Обчисліть довжини інших ребер прямокутного паралелепіпеда.

689*. Прямокутний паралелепіпед має виміри 2 см, 8 см і 3 см. Його розрізали на кубики з ребром 1 см і розмістили в один ряд, поставивши їх один до одного. Якої довжини одержали ряд? Застосуйте на практиці.

690. Наведіть приклади предметів довкілля, які мають форму:

1) прямокутного паралелепіпеда;

2) куба;

3) піраміди.

691. Скільки треба метрів дроту, щоб виготовити каркас прямокутного паралелепіпеда з розмірами 5 м, 6 м і 8 м (витрати на з’єднання не враховувати)?

692. На конкурс шоколаду кондитерська фабрика виготовила дві великі плитки шоколаду. Перша плитка була зроблена із чорного шоколаду і мала розміри 150 см х 65 см х 70 см. Друга плитка була зроблена із білого шоколаду і мала розміри 250 см х 50 см х 120 см. На скільки відрізняються об’єми даних шоколадних плиток?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити