Розділ І НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

19. Ділення з остачею

Як поділити число 20 на число 6? Відповідь на це запитання можна отримати, розв’язавши таку задачу. Як поділити порівну 20 цукерок між шістьма друзями?

Найімовірніше, кожний отримає по 3 цукерки, але при цьому 2 цукерки залишаться.

Такий розподіл цукерок ілюструє рівність

20 = 6 ∙ 3 + 2.

Зазначимо, що 3 — це найбільше число, добуток якого на дільник 6 менший від діленого 20. У записі 20 = 6 ∙ 3 + 2 число З називають неповною часткою, а число 2 — остачею. Також говорять, що при діленні числа 20 на число 6 отримали неповну частку, яка дорівнює 3, і остачу, яка дорівнює 2. Зауважимо, що остача 2 менша від дільника 6.

Цукерки можна було розділити й іншим способом, наприклад, дати кожному по дві цукерки й залишити 8. Адже 20 = 6 ∙ 2 + 8. Але тут число 2 не є неповною часткою, а число 8 — остачею.

Остача завжди менша від дільника.

Поділимо число 189 на число 13:

Оскільки 7 < 13, то ми змушені припинити процес ділення. Це означає, що при діленні числа 189 на число 13 отримали неповну частку, яка дорівнює 14, і остачу, яка дорівнює 7. Тобто 189 = 13 ∙ 14 + 7.

Цей приклад ілюструє таке правило.

Щоб знайти ділене, треба дільник помножити на неповну частку й додати остачу.

У буквеному вигляді це правило записують так:

a = bq + r,

де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, r — остача, r < b.

Розглянемо рівність 21 = 7 ∙ 3. Її можна переписати так: 21 = 7 ∙ 3 + 0. Говорять, що при діленні числа 21 на число 7 остача дорівнює нулю. Також можна сказати, що число 21 ділиться наділо на число 7.

ПРИКЛАД Оленка поділила число 61 на деяке число й одержала остачу 5. На яке число ділила Оленка?

Розв’язання. Оскільки ділене дорівнює 61, а остача — 5, то добуток дільника та неповної частки дорівнює 61 - 5 = 56. Запишемо число 56 у вигляді добутку двох множників:

56 = 7 ∙ 8 = 14 ∙ 4 = 28 ∙ 2 = 56 ∙ 1.

Ураховуючи, що остача (у цьому випадку число 5) має бути меншою від дільника, бачимо, що дільником може бути будь-яке з чисел 7, 8, 14, 28 і 56.

?

1. Яку властивість має неповна частка при діленні з остачею?

2. Порівняйте остачу і дільник.

3. Сформулюйте правило знаходження діленого при діленні з остачею.

4. Як записують у буквеному вигляді правило знаходження діленого при діленні з остачею?

5. У яких випадках говорять, що одне натуральне число ділиться націло на друге?

Розв’язуємо усно

1. Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку обчислень:

2. У числі 72 560 000 закреслили три останніх нулі. Як змінилося, збільшилося чи зменшилося, це число і в скільки разів?

3. Один насос за 1 хв перекачує 120 л води, а другий — 180 л. За який час вони разом можуть наповнити водою цистерну, місткість якої дорівнює 6000 л?

4. Зменшуване на 129 більше за від’ємник. Чому дорівнює різниця?

5. Дільник у 48 разів менший від діленого. Чому дорівнює частка?

Вправи

528. Виконайте ділення з остачею:

1) 42 : 5; 3) 428 : 37; 5) 1372 : 13; 7) 3196 : 74;

2) 592 : 24; 4) 684 : 30; 6) 5721: 28; 8) 6516 : 204.

529. Виконайте ділення з остачею:

1) 54 : 7; 3)158 :12; 5) 2964 : 18;

2) 212 : 6; 4) 534 :15; 6) 4848 : 106.

530. 1) Знайдіть остачу при діленні на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750.

2) Знайдіть остачу при діленні на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2658; 54 769; 687 903.

531. Знайдіть остачу при діленні на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.

532. Запишіть остачі, які можна одержати при діленні на: 1) 7; 2) 13; 3) 24.

533. Запишіть остачі, які можна одержати при діленні на: 1) 5; 2)19.

534. Цукерка коштує 76 к. Яку найбільшу кількість цукерок можна купити за 4 грн 50 к.?

535. На одну вантажівку можна навантажити 5 т піску. Яка найменша кількість таких вантажівок потрібна, щоб перевезти 42 т піску?

536. В один ящик уміщується 20 кг яблук. Яка найменша кількість таких ящиків потрібна, щоб розкласти в них 176 кг яблук?

537. Заповніть таблицю:

Ділене	Дільник	Неповна частка	Остача
22	6
45	7
	5	2	3
	8	3	5

538. Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 12, неповна частка — 7, а остача — 9.

539. Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 18, неповна частка — 4, а остача — 11.

540. Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності а = bq + r, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, r — остача, якщо а = 82, b = 8.

541. Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності a = bq + r, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, r — остача, якщо а = 45, b = 7.

542. При якому найменшому натуральному а значення виразу:

1) 48 + а ділиться націло на 6;

2) 65 - а ділиться націло на 8;

3) 96 - а при діленні на 9 дає остачу 4?

543. При якому найменшому натуральному а значення виразу:

1) 53 + а ділиться націло на 7;

2) а + 24 при діленні на 5 дає остачу 2?

544. Катруся поділила число 211 на деяке число й одержала остачу 26. На яке число ділила Катруся?

545. Михайлик поділив число 111 на деяке число й отримав остачу 7. На яке число ділив Михайлик?

546. Павло поділив число 70 на деяке число й отримав остачу 4. На яке число ділив Павло?

547. Яка найбільша кількість понеділків може бути в році?

548. В одному осінньому місяці субот і понеділків виявилось більше, ніж п’ятниць. Який це був місяць? Яким днем тижня було дев’ятнадцяте число цього місяця?

549. Відомо, що число а — ділене, число b — дільник, причому а < b. Знайдіть неповну частку й остачу при діленні числа а на число b.

550. Доведіть, що остання цифра числа а дорівнює остачі при діленні цього числа на 10.

551. Придумайте буквений вираз, при підстановці в який замість букви будь-якого натурального числа буде отримано числовий вираз, значення якого при діленні на 3 дає в остачі 1.

Вправи для повторення

552. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 14а ∙ 6b, якщо а = 2, b = 3; 3) 5х + 8х - Зх, якщо х = 17;

2) 25m ∙ 3n, якщо m = 8, n = 1; 4) 16у - у + 5у, якщо у = 23.

553. Периметр прямокутника дорівнює 54 см, а його ширина на 3 см менша від довжини.

Знайдіть сторони прямокутника.

554. Розв’яжіть рівняння 8 (Зх - 16) = 208. Зверніть увагу, що корінь цього рівняння дорівнює віку, з якого дозволяється їздити велосипедом по вулицях міст і шосейних дорогах.

Задача від Мудрої Сови

555. Відомо, що мотузка згорає за 4 хв і горить при цьому нерівномірно. Як з допомогою:

1) однієї мотузки відміряти 2 хв;

2) двох таких мотузок відміряти 3 хв?