Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ 4 ФУНКЦІЇ

§18. ПРЯМА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ

Ви знаєте, що залежність вартості р цукерок від їх кількості т, якщо їх ціна становить 25 грн за кілограм, можна виразити формулою р = 25m, або в загальному вигляді у = kх. Така залежність є особливим випадком лінійної функції y = Kх + b, коли b = 0, a k ≠ 0. Кожне значення такої функції пропорційне відповідному значенню її аргументу з коефіцієнтом пропорційності к.

Запам’ятайте!

Функція, яку можна задати формулою виду у = kх, де х — аргумент, k — число (k ≠ 0), називається прямою пропорційністю.

? Чому не можна вважати прямою пропорційністю функцію у = kx, якщо k = 0? Тому що за такого значення коефіцієнта k дана функція є сталою. Тобто зі зміною аргументу значення функції не змінюється, а отже, немає пропорційної залежності у від х.

Оскільки пряма пропорційність є різновидом лінійної функції, то вона має всі властивості останньої. Розглянемо особливі властивості прямої пропорційності.

1. Пара чисел (0; 0) задовольняє формулу у = kx за будь-якого значення k. Тому графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат (мал. 50).

2. Графік прямої пропорційності не може збігатися з віссю ординат, оскільки будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, не відображає функціональної залежності.

3. Графік прямої пропорційності не може збігатися з віссю абсцис, оскільки функція у = 0 не є прямою пропорційністю.

Звідси випливає, що кожна пряма, яка проходить через початок координат і не збігається з осями координат, с графіком прямої пропорційності.

7klas_1.files/image370.jpg

Мал. 50

Запам’ятайте!

Властивості функції у = kх:

1) область визначення — усі числа;

2) область значень — усі числа;

3) функція зростає, якщо k > 0;

4) функція спадає, якщо k < 0;

5) графіком є пряма, що проходить через початок координат;

6) графік не збігається з осями координат.

? Чи можна вважати число k кутовим коефіцієнтом прямої пропорційності? Так, оскільки пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції.

Подивіться на малюнки 51 і 52. Ви бачите графік функції у = 0,5х (мал. 51) і графік функції у = -0,5x (мал. 52). Перший графік утворює з додатним променем осі ОХ гострий кут, а другий графік — тупий кут. Формули, що задають ці функції, відрізняються знаком коефіцієнта k: у першої функції k > 0, а в другої — k < 0.

7klas_1.files/image371.jpg

Мал. 51

7klas_1.files/image372.jpg

Мал. 52

Зверніть увагу:

графік функції у = kx утворює з додатним променем осі ОХ:

— гострий кут, якщо k > 0;

— тупий кут, якщо k < 0.

Дізнайтеся більше

1. Владислав Кирилович Дзядик (1919 - 1998) — український математик, доктор фізико-математичних наук (1960), професор, член-кореспондент НАН України (з 1969 р.), Соросівський професор.

Народився в смт. Сахновщина Харківської області. Вищу освіту здобув на механіко-математичному факультеті Дніпропетровського університету (1951).

Працював учителем у школі на Волині, викладачем у Луцькому педагогічному інституті та Київському університеті, а з 1960 - в Інституті математики НАН України. У 1963 році створив відділ теорії функцій Інституту математики, яким керував до 1990 року. Цей відділ існує й дотепер. В. К. Дзядик довгий час працював переважно в галузі теорії функцій. Розробив спеціальні математичні методи та перетворення, які названо на його честь «методи Дзядика» і «перетворення Дзядика».

7klas_1.files/image373.jpg

2. Нехай функцією у = kx задано залежність шляху у, який проходить той чи інший об'єкт, від часу х. Значення цієї функції може змінюватися в часі або швидше, або повільніше, залежно від значення коефіцієнта функції:

—   для k > 0 — що більше k, то швидше збільшується значення функції;

—   для k < 0 — що менше k, то швидше зменшується значення функції.

Виходить, що коефіцієнт k показує, наскільки швидко змінюється функція у = kx. Тому по-іншому цей коефіцієнт називають швидкістю зміни функції «пряма пропорційність». Спираючись на графіки функцій, наприклад, для k > 0 (див. мал. 50, 51), можна сказати і так: що більша швидкість зміни функції у = kx, то «крутіший» її графік.

Наприклад, якщо у функцію y = kx замість коефіцієнта k підставити значення швидкості сапсана (320 км/год), літака (наприклад, для Ан-124 Руслан — це 865 км/год) і супутника (28 440 км/год), то очевидно, що найшвидше функція, яка задає залежність шляху від часу, зростає в супутника, а найповільніше — у сапсана (мал. 53—55).

7klas_1.files/image374.jpg

Мал. 53

7klas_1.files/image375.jpg

Мал. 54

7klas_1.files/image376.jpg

Мал. 55

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Яка функція називається прямою пропорційністю?

2. Назвіть властивості прямої пропорційності.

3. Що є графіком прямої пропорційності?

4. Які властивості графіка прямої пропорційності?

5. У якому випадку графік функції у = kx утворює з додатним променем осі ОХ гострий кут; тупий кут?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

946. Чи правильно, що функція y = kx + b є прямою пропорційністю, якщо:

1) k = 0;         2)b = 0,k ≠ 0;   3) k = 1;   4) b = 1?

947. Чи правильно, що графіком прямої пропорційності є пряма, яка:

1) паралельна осі абсцис;         5) проходить через початок

2) паралельна осі ординат;       координат і не збігається       з

3) збігається з віссю ординат;      осями координат?

4) збігається з віссю абсцис;

948. На якому з малюнків 56—58 зображено графік прямої пропорційності?

7klas_1.files/image377.jpg

Мал. 56

7klas_1.files/image378.jpg

Мал. 57

7klas_1.files/image379.jpg

Мал. 58

949. Чи правильно, що точка О (0; 0) належить графіку функції:

1)у = 3х - 3;     2)у = 2х;        3)у = 5?

950. Назвіть кутовий коефіцієнт функції:

1) y = 4х;         2) у = -0,7х; 3) y = 7klas_1.files/image004.gifx.

951. Чи правильно, що дана функція зростає:

1) у = -3х;       2)у = 2х;         3)у = 5?

952. Чи правильно, що дана функція спадає:

1)у = 4х;          2) у = -7х;       3)у = -6?

953. Який кут - тупий чи гострий — утворює з додатним променем осі ОХ графік функції:

1)у = 3х;          2)у = -7х;        3)у = -0,6х?

954. Чи є прямою пропорційністю дана функція:

1) у = -t + 2;    2) x = 4t;         3) t = -2?

Відповідь поясніть.

955. Яка з точок A (1; 1), В (2; 2), С (-3; 3), D (2; -2), E (-2; -2) належить графіку функції у = х?

956 . Яка з точок A (1; 2), В (2; 1),С (-3; 6), D (-3; -6), Е (-2; -1) належить графіку функції у = 2х?

957. На малюнку 59 зображено графік прямої пропорційності. Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення у, якщо х = -1; 0; 1; 2;

2) значення х, за якого у = 0;

3) три значення аргументу, за яких значення функції додатне;

4) три значення аргументу, за яких значення функції від’ємне.

7klas_1.files/image380.jpg

Мал. 59

958. На малюнку 60 зображено графік прямої пропорційності. Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення у, якщо х = -2; -1; 0; 1;

2) значення х, за якого у = 0;

3) три значення аргументу, за яких значення функції додатне;

4) три значення аргументу, за яких значення функції від’ємне.

7klas_1.files/image381.jpg

Мал. 60

959. Функцію задано формулою у = 3х. Накресліть у зошиті таблицю 25 та заповніть її.

Таблиця 25

x

-2

-1

0

1

2

y

         

960. Відомо, що деяка функція є прямою пропорційністю з кутовим коефіцієнтом k = 1,5. Виконайте такі завдання:

1) задайте дану функцію формулою;

2) складіть таблицю значень функції для всіх цілих значень аргументу від -3 до 6;

3) побудуйте графік даної функції.

961. Відомо, що деяка функція є прямою пропорційністю з кутовим коефіцієнтом k = -2,1. Виконайте такі завдання:

1) задайте дану функцію формулою;

2) складіть таблицю значень функції для всіх цілих значень аргументу від -4 до 3;

3) побудуйте графік даної функції.

962. Чи проходить через початок координат графік функції:

1) у = 5х - 1;       2)у = -3х + 1;      3) у = 1;        4)     у = -7klas_1.files/image034.gifх?

963. Чи належить графіку функції у = 7klas_1.files/image008.gif х точка:

1)A (3;-2, 5); 2) В (6; 1); 3) С (6; 5);    4)25 (12; 10)?

964. Чи належить графіку функції у = -1,3х точка:

1)K (-1; 1,3);    2)L(1; 1,3);       3) М (3; 3,9);               4) N (-3; 3,9)?

965. Яка з точок М (-1; -0,4), N (1; -0,4), Р (5; 2), R (-5; 2) належить графіку функції у = -0,4х?

966. Знайдіть будь-які три точки, що належать графіку функції:

1) у = -1,2х;       2) у = 3,5х;    3) у = -7klas_1.files/image060.gifх.

967. Побудуйте графік функції:

1) y = х;             2) у = -3х;    3) у = 0,25х.

968. Побудуйте графік функції:

1) y = 4х;           2) у =-2х,       3) у = -7klas_1.files/image004.gifх.

969. Графік функції у = nх проходить через точку М (-2; 5). Знайдіть значення n.

970. Графік функції y = kx проходить через точку К (-3; 2). Знайдіть значення k.

971. Графік функції у = bх проходить через точку В (-1; 7klas_1.files/image173.gif). Знайдіть значення b.

972.  Задайте формулою функцію, що є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку:

1)А(1; 4);         3) С (-2;-3);   5)E(3;-2);

2) В (-2; 5);     4)D(2; -1);     6) F (-7klas_1.files/image062.gif7klas_1.files/image382.gif).

Побудуйте графік одержаної функції.

973. Задайте формулою функцію, що є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку:

1)А (2; 7);    2) В (-6; 4); 3) С (-7klas_1.files/image383.gif7klas_1.files/image159.gif).

Побудуйте графік одержаної функції.

974. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку, ордината якої втричі менша від відповідної абсциси. Побудуйте графік одержаної функції.

975. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку, абсциса якої у 8 разів більша за відповідну ординату. Побудуйте графік одержаної функції.

976. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її кутовий коефіцієнт дорівнює середньому арифметичному всіх парних додатних одноцифрових чисел. Побудуйте графік одержаної функції.

977. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її кутовий коефіцієнт є числом, протилежним десятій частині середнього арифметичного всіх двоцифрових чисел, кратних числу 5 і менших від числа 42. Побудуйте графік одержаної функції.

978. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її кутовий коефіцієнт є числом, протилежним дев’ятій частині середнього арифметичного всіх двоцифрових чисел, кратних числу 9 і менших від числа 55. Побудуйте графік одержаної функції.

979. Задайте формулою пряму пропорційність, графік якої проходить через точку:

1) A (-1; 7klas_1.files/image006.gif); 2) B (4,4; - 5,5);  3) C (27klas_1.files/image004.gif; 17klas_1.files/image049.gif).

Побудуйте графік одержаної функції.            

980. Побудуйте графік функції:

1)у = 2|х|;   2) у = -4|х| - х;   3) у =3 |х - 1 |- 3х - 3.

981. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку, ордината якої на 3 більша за абсцису, а кутовий коефіцієнт є цілим числом. Скільки випадків треба розглянути? Побудуйте графіки всіх одержаних функцій.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

982. Щодня магазин продає товару на суму 8000 грн. Запишіть у вигляді формули залежність кількості грошей, одержаної за проданий товар від кількості робочих днів. Визначте, на яку суму грошей у магазині буде продано товару за місяць, якщо в ньому було 28 робочих днів. Побудуйте графік одержаної функції.

983. Щоб покласти 1 м2 плитки майстер використовує 2 кг спеціального будівельного клею. Задайте формулою залежність маси клею від площі стіни, яку треба облицювати плиткою. Визначте, скільки клею знадобиться для облицювання у ванній кімнаті трьох стін прямокутної форми з розмірами 2,5 м х 3 м кожна.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

984. Скільки триметрових стрибків потрібно зробити кенгуру, щоб подолати шлях завдовжки 450 м + 450 дм + 450 см + 450 мм?

985. Пeршe число в 3,5 рази більше за друге, а третє — на 2,8 менше від першого. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 13,2. Знайдіть ці числа.

986. Розв'яжіть рівняння:

(7klas_1.files/image384.gif - y) ∙ 17klas_1.files/image109.gif = 7klas_1.files/image385.gif + 7klas_1.files/image016.gif.

987. Знайдіть найбільше трицифрове число, якщо воно ділиться на 3, 5, 9 і його запис містить цифру 7.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Поясніть, як побудувати прямокутну систему координат на площині.

2. Яку назву мають осі координат; точка їх перетину?

3. Що називають координатною площиною?

4. Поясніть, як визначити координати точки.

5. Які координати має початок координат?

6. На скільки координатних чвертей розбивають площину координатні осі?

7. Сформулюйте означення функції.

8. Що називають аргументом функції?

9. Що таке область визначення функції?

10. Що таке область значень функції?

11. Назвіть способи задания функцій.

12. Що називають графіком функції?

13. Чи будь-яка геометрична фігура може бути графіком функції?

14. Як побудувати графік функції?

15. Як визначити, чи належить точка графіку функції?

16. Поясніть, яка функція називається зростаючою? Спадною?

17. Яка функція називається лінійною?

18. Що є графіком лінійної функції?

19. Як побудувати графік лінійної функції?

20. За яких значень k лінійна функція у = kx + b є зростаючою; спадною; сталою?

21. Як характеризує лінійну функцію число b?

22. Яка функція називається прямою пропорційністю?

23. Яка пряма є графіком прямої пропорційності?

24. У якому випадку графік функції y = kx утворює з додатним променем осі ОХ гострий кут; тупий кут?

25. Яке число називають кутовим коефіцієнтом?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі і знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10-15 хв.

1. Знайдіть значення функції у = 2х- 3, якщо х = -2.

А.-5.            

Б. 5.

В. 1.

Г.-11.

2. У якій точці перетинає вісь абсцис графік функції у = 5х - 12?

A. A (7klas_1.files/image128.gif; 0).  Б. B (0; 12). B. C(2,4; 0).  Г. D (0; 7klas_1.files/image128.gif).

3. Яка з точок А (-1; -1), В (-1; -3), С (-1; 1) чи D (1; -1) належить графіку функції у = -2х+ 1?

А. А            Б. В.            B.C.           Г. D.

4. На малюнку 61 зображено графіки чотирьох лінійних функцій а(х), b(х), с(х) і d(x). У яких функцій кутові коефіцієнти додатні?

7klas_1.files/image386.jpg

Мал. 61

A. а і с.

Б. b i d.

B. a i b.

Г. c i d.

5. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її кутовий коефіцієнт є числом, протилежним до середнього арифметичного всіх додатних двоцифрових чисел, кратних числу 4 і менших від числа 41.

А. у = 24х + b.              В. у = -220х.

Б. у = -26 х.                  Г. у = -40х.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити