Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ 5 ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§22. ГРАФІК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ З ДВОМА ЗМІННИМИ

Ви знаєте, що кожній упорядкованій парі чисел відповідає певна точка на координатній площині. Оскільки кожний розв’язок рівняння з двома змінними х і у — це упорядкована пара чисел, то всі його розв’язки можна зобразити точками па координатній площині. У цих точок абсциса — це значення змінної х, а ордината — відповідне значення змінної у. Відтак дістанемо графік рівняння з двома змінними.

Запам’ятайте!

Графіком рівняння з двомa змінними називається зображення на координатній площині всіх точок, координати яких задовольняють дане рівняння.

Подивіться на малюнки 64 і 65. Ви бачите графік рівняння 0,5x - у = 2, де х — парне одноцифрове число (мал. 64), і графік рівняння х2 + у2 = 4 (мал. 65). Перший графік містить усього чотири точки, оскільки змінні х і у можуть набувати лише по чотири відповідні значення. Другий же графік є лінією на координатній площині. Він містить безліч точок, оскільки змінна х може набувати будь-яких значень від -2 до 2 і таких чисел - безліч. Відповідних значень у теж безліч. Вони змінюються від - 2 до 2.

7klas_1.files/image439.jpg

Мал. 64

7klas_1.files/image440.jpg

Мал. 65

На малюнку 66 зображено графік рівняння х + у = 4. На відміну від графіка рівняння х2 + у2 = 4 (див. мал. 65), кожній абсцисі точок даного графіка відповідає єдина ордината. А це означає, що на малюнку 66 зображено графік функції. Переконайтеся самостійно, що графік рівняння на малюнку 64 також є графіком функції.

7klas_1.files/image441.jpg

Мал. 66

Зверніть увагу

не в кожного рівняння його графік є графіком функції, проте кожен графік функції є графіком деякого рівняння.

Рівняння x + y = 4 є лінійним рівнянням із двома змінними. Розв’язавши його відносно у, дістанемо: у = -х + 4. Отриману рівність можна розуміти як формулу, що задає лінійну функцію у = -х + 4. Графіком такої функції є пряма. Отже, графіком лінійного рівняння х + у = 4, який зображено на малюнку 66, є пряма.

? Чи можна стверджувати, що графік будь-якого лінійного рівняння з двома змінними є прямою? Ні. Наприклад, лінійне рівняння 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0 задовольняє будь-яка пара чисел, а тому графік цього рівняння містить усі точки координатної площини.

З’ясуємо, що є графіком лінійного рівняння з двома змінними aх + bу + с = 0 , залежно від значень коефіцієнтів а, b і с. Можливими є такі випадки.

Нехай a ≠ 0, , b ≠ 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 можна подати у вигляді:

1.       y = 7klas_1.files/image137.gifx - 7klas_1.files/image434.gif.

Дістали рівність, що задає лінійну функцію у(х). Її графіком, а значить, і графіком даного рівняння, є пряма, що не проходить через початок координат (мал. 67).

2. Нехай а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + by + 0 = 0, або у = 7klas_1.files/image137.gifх.

Дістали рівність, що задає пряму пропорційність у(х). Її графіком, а значить, і графіком даного рівняння, є пряма, що проходить через початок координат (мал. 68).

3. Нехай a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + 0 ∙ у + с = 0, або х = -7klas_1.files/image142.gif.

7klas_1.files/image442.jpg

Maл. 67

7klas_1.files/image443.jpg

Мал. 68

Дістали рівність, що не задає функцію y(). Цю рівність задовольняють такі пари чисел (х; у), у яких х = 7klas_1.files/image435.gif, а у — будь-яке число. На координатній площині ці точки лежать на прямій, паралельній осі OY. Отже, графіком даного рівняння є пряма, паралельна осі ординат (мал. 69).

4. Нехай a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + 0  ∙ у + 0 = 0, або х = 0.

Цю рівність задовольняють такі пари чисел (x; у), у яких х = 0, а у — будь-яке число. На координатній площині ці точки лежать на осі OY. Отже, графіком даного рівняння с пряма, що збігається з віссю ординат.

5. Нехай а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. Тоді рівняння ах + bу + с = 0 набуває виглядy 0 ∙ х + by + с = 0, або у = -7klas_1.files/image434.gif. Ця рівність задає функцію y(x), що набуває тих самих значень для будь-яких значень x, тобто є сталою. Її графіком, а значить, і графіком даного рівняння, є пряма, паралельна осі абсцис (мал. 70).

6. Нехай а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + by + 0 = 0, або у = 0. Отримали сталу функцію у(х), у якої кожна точка графіка лежить на осі ОХ. Отже, графіком даного рівняння є пряма, що збігається з віссю абсцис.

7. Нехай a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, або 0 ∙ х + 0 ∙ у = с. А таке лінійне рівняння не має розв’язків, тому його графік не містить жодної точки координатної площини.

8. Нехай а = 0, b = 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, або 0 ∙ x + 0 ∙ у = 0. А таке лінійне рівняння має безліч розв’язків, тому його графіком с вся координатна площина.

Можемо підсумувати отримані результати.

7klas_1.files/image444.jpg

Мал. 69

7klas_1.files/image445.jpg

Мал. 70

Графік лінійного рівняння з двома змінними ах + bу +с = 0:

— є прямою, якщо або а ≠ 0, або b ≠ 0;

— є всією площиною, якщо а = 0, b = 0 і с = 0;

— не містить жодної точки координатної площини, якщо а = 0, b = 0 і с ≠ 0.

Задача. Побудуйте графік рівняння 2х - у - 3 = 0

Розв'язання. Рівняння 2х - у - 3 = 0 є лінійним. Тому його графіком є пряма у = 2х - 3. Для її побудови достатньо задати дві точки, що належать цій прямій. Складемо таблицю значень у для двох довільних значень х, наприклад, для х = 0 і х = 2(табл. 27).

Таблиця 27

x

0

2

y

-3

1

7klas_1.files/image446.jpg

Мал. 71

На координатній площині позначимо точки з координатами (0; -3) і (2; 1) та проведемо через них пряму (мал. 70). Ця пряма — шуканий графік рівняння 2х - у - 3 = 0.

? Чи можна ототожнювати графік лінійного рівняння з двома змінними і графік рівняння першого степеня з двома змінними? Ні, оскільки існують лінійні рівняння, що не є рівняннями першого степеня. Наприклад, такими є рівняння 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0 і 0 ∙ х + 0 ∙ у + 0 = 0.

Зверніть увагу:

— графік лінійного рівняння з двома змінними може бути прямою, всією площиною або не містити жодної точки координатної площини;

— графік рівняння першого степеня з двома змінними завжди є прямою.

Дізнайтеся більше

1. Нехай а ≠ 0. Тоді загальний розв’язок рівняння можна подати ще й у такому вигляді: Х = -7klas_1.files/image416.gif у -7klas_1.files/image435.gif. Дістали лінійну функцію х(у). Її графіком є пряма. Для побудови такого графіка треба по-іншому упорядкувати осі координат: першою координатною віссю (незалежної змінної) вважати вісь ОУ, а другою (залежної змінної)

—    вісь ОХ. Тоді вісь ОY зручно розташувати горизонтально, а вісь ОХ

—    вертикально (мал. 72). Графік рівняння у цьому випадку теж буде по-різному розміщуватися на координатній площині, залежно відзначень коефіцієнтів b і с. Дослідіть це самостійно.

7klas_1.files/image447.jpg

Мал. 72

2. Микола Миколайович Боголюбов (1909-1992) — видатний вітчизняний математик і механік, фізик-теоретик, засновник наукових шкіл з нелінійної механіки і теоретичної фізики, академік АН УРСР (від 1948) і АН СРСР (від 1953). Народився в м. Нижній Новгород Російської імперії. У 1921 р. сім’я переїхала до Києва. Після закінчення семирічної школи Боголюбов самостійно вивчав фізику та математику і з 14-ти років уже брав участь у семінарі кафедри математичної фізики Київського університету під керівництвом академіка Д. О. Граве. У 1924 р. в 15-річному віці Боголюбов написав першу наукову працю, а наступного року був прийнятий до аспірантури АНУРСР до академікам. М. Крилова, яку закінчив у 1929 р., отримавши у 20 років ступінь доктора математичних наук.

У 1929 p. М.М. Боголюбов став науковим співробітником Української академії наук, у 1934 почав викладати в Київському університеті (від 1936 р. — професор). Із кінця 40-х років XX ст. одночасно працював у Росії. Був директором Об'єднаного інституту ядерних досліджень, а згодом — директором Математичного інституту імені В. А. Стєклова в Москві, викладав у Московському державному університеті імені Михайла Ломоносова. У 1966 р. став першим директором створеного ним Інституту теоретичної фізики АН УРСР у Києві, одночасно (1963-1988) він — академік- секретар Відділу математики АН СРСР.

7klas_1.files/image448.jpg

М.М. Боголюбов —двічі Герой Соціалістичної Праці (1969,1979), нагороджений Ленінською премією (1958), Державною премією СРСР (1947.1953,1984), Золотою медаллю ім. М. В. Ломоносова АН СРСР (1985).

21 вересня 2009 р. на фасаді Червоного корпусу Київського національного університету імені Тараса Шевченка була відкрита меморіальна дошка геніальному вченому-академіку Миколі Боголюбову на честь століття від дня його народження.

У 1992 р. Національною академією наук України була заснована Премія НАН України імені М. М. Боголюбова, яка вручається Відділенням математики НАН України за видатні наукові роботи в галузі математики і теоретичної фізики. На честь вченого була названа мала планета «22616 Боголюбов».

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що є графіком лінійного рівняння з двома змінними?

2. У якому випадку графіком рівняння з двома змінними є пряма; площина?

3. У якому випадку графік лінійного рівняння з двома змінними проходить через початок координат?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1078. На якому з малюнків 73—74 зображено графік лінійного рівняння з двома змінними? Відповідь поясніть.

7klas_1.files/image449.jpg

Мал. 73

7klas_1.files/image450.jpg

Мал. 74

1079. За яких значень коефіцієнтів а, b і с пряма ах + bу + с =0.

1) проходить через початок координат;

2) паралельна осі абсцис;

3) паралельна осі ординат;

4) збігається з віссю абсцис;

5) збігається з віссю ординат?

1080. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, чи належить графіку лінійного рівняння з двома змінними 6х - 2у + 1 = 0 точка:

1)А(-1;2,5);    2)В(0;3,5);    3) С(-2; 5,5);        4)D(1,5;5).

1081. Не виконуючи побудови, з'ясуйте, чи належить графіку лінійного рівняння з двома змінними 3х + 3у - 5 = 0 точка:

1) A (-1; 7klas_1.files/image012.gif);   2) B (0; 17klas_1.files/image012.gif).

1082. Для даного лінійного рівняння з двома змінними знайдіть значення у, що відповідає заданому значенню х:

1) 2х + у - 4 = 0, якщо х = 0;         3) 3х + 3у - 1 = 0, якщо х = 2;

2) 4х - 2y + 5 = 0, якщо х = 0;        4)-5х - у + 6 = 0, якщо    х = 2.

1083. Для даного лінійного рівняння з двома змінними знайдіть значення у, що відповідає заданому значенню х:

1)3х - у + 2 = 0, якщо х = 0;       2) 6х - 5y - 7 = 0, якщо х = 2.

1084. Побудуйте графік лінійного рівняння з двома змінними:

1) 2х + у - 4 = 0;            4) -х + 2у + 8 = 0;          7) 5х - 10 = 0;

2) 6х - 2y + 12 = 0;        5)-7klas_1.files/image258.gifх - 2у + 4 = 0;          8)-2у + 4 = 0;

3) 5х - 10y = 0;               6)х - 7klas_1.files/image016.gifу = 0;            9) х - у = 0.

1085. Побудуйте графік лінійного рівняння з двома змінними:

1) 4х  + у - 3 = 0;           4) 10х - 5у - 17klas_1.files/image016.gif = 0;

2) 9х - 3у + 12 = 0;        5) 2х + 6 = 0;

3)-4х - 8у = 0;                6) у - 3 = 0.

1086. Знайдіть координати точки перетину графіка лінійного рівняння з двома змінними 2х - 3у - 18 = 0 з віссю:

1)   абсцис;                     2) ординат.

1087. Знайдіть координати точки перетину графіка лінійного рівняння з двома змінними 5х + 4у - 20 = 0 з віссю:

1)   абсцис;                     2) ординат.

1088. На прямій, що є графіком рівняння 0,5х + 2у - 4 = 0, позначено точку. Знайдіть ординату цієї точки, якщо її абсциса дорівнює:

1)4;                              2)-2.

1089. На прямій, що є графіком рівняння 4х + у- 1 =0, позначено точку, ордината якої дорівнює -3. Знайдіть абсцису цієї точки.

1090. Доведіть, що графіки рівнянь 4х - 3у - 11 = 0, 5х + 2у - 8 = 0 і 0,5х - у - 2 = 0 проходять через точку А (2; -1).

1091. Доведіть, що графіки рівнянь 2x - 5у + 11 = 0 i -x + 2у - 5 = 0 проходять через точку В (-3; 1).

1092. Побудуйте графік рівняння:

1) 2(х + 1) = у + 4;

2) 2(3y - 1,5) - 3(1 - 2х) = 0;

3) (x - y) + 2(x + y) = 5;

4) 3(х - 1) = 4у - 3;

5) 7klas_1.files/image451.gif = -2;

6) 7klas_1.files/image452.gif – 1 = y – 2;

7) х - 4 = 2(у + 0,5х);

8) 2у - х + 2(4х - у) = 6.

1093. Побудуйте графік рівняння:

1) х + 1 = 5(2у - 1);

2) 4(х - 2) = 2 - (y + 10);

3) 7klas_1.files/image453.gif = x – 1;

4) 7klas_1.files/image454.gif - 7klas_1.files/image455.gif = -20;

5) 4(х - у) = 4 - 4у;

6) 7х - 2у = 2(1 + 3,5х).

1094. Графік лінійного рівняння з двома змінними проходить через точку А(3; -2). Знайдіть невідомий коефіцієнт рівняння:

1) ах + 3у - 3 = 0;

2) 2х - by + 8 = 0;

3)-х + 3у - с = 0.

1095. Визначте вид чотирикутника, вершинами якого є точки перетину графіків рівнянь:

 х - y + 4 = 0,  х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0,   -х - у - 4 = 0

1096. Побудуйте графік рівняння:

1) а - 4b + 1 = 0;          3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0;    4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1097. Складіть лінійне рівняння з двома змінними за такими даними: 1) 3 кг цукерок і 2 кг печива коштують 120 грн; 2) 2 ручки дорожчі за 5 олівців на 20 грн. Побудуйте графік складеного рівняння.

1098. Побудуйте графік рівняння до задачі про: 1) кількість дівчат і хлопців у вашому класі; 2) покупку зошитів у лінійку й у клітинку.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1099. Турист пройшов 12 км за З год. За скільки годин турист подолає відстань 20 км із такою самою швидкістю руху?

1100. Якою має бути швидкість поїзда за новим розкладом, щоб він міг проїхати відстань між двома станціями за 2,5 год, якщо відповідно до старого розкладу, рухаючись зі швидкістю 100 км/год, він долав її за 3 год?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити